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用函数的观点证明初等几何的定值问题,(特别是定值问题的定值未知时)是一种很有效的方法,既简明扼要,又有规律可循,其基本思路是将对应关系逐层析出,找出数量变化关系,将要解决的问题转化为证明函数为某一常数。 相似文献
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我们知道,每一解析函数式,当把其中的变量看成未知数时,它就是方程;反之,每一方程,当把其中的未知数看成变量时,它就是函数或函数的特殊情形.方程 f(x)=0就可说是函数y=f(x)在 y=0时的情形.对于方程 f(x)=g(x)的解,可看成是函数 y_1=f(x)和函数 y_2=g(x)在 y_1=y_2时的 x 值.用研究函数的观点去研究方程,可使一些难题的解答具有直观性,方法别致、巧妙. 相似文献
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函数是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能使问题更简捷地得到解决,对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质.1函数自身的对称性结论1函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x) f(?x)=0(即f(x)为奇函数).(证明略)推广函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x) f(2a?x)=2b.结论2函数y=f(x)的图像关于y… 相似文献
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正函数是中学数学中最为重要的思想方法,一些不等式的证明常常运用函数思想进行求解.下面通过一些典型问题谈谈其在不等式证明中的应用.一、一元不等式的证明对于一元不等式的证明问题可考虑把问题转化为求函数的最大(小)值问题.1.证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)min0;证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)max0.例1当x0时,证明:ln(1+x)x-12x2.分析:不等式ln(1+x)x-12x2可化为ln(1+x)-x+ 相似文献
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函数思想是中学数学的基本思想之一,是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题转化问题,从而使问题获得解决的一种重要数学思想,它贯穿于整个中学数学的教学与研究中. 导数中的双零点问题是各类型考试中的热点题型,尤其是这样一类问题:已知含有ex或ln x的函数f(x),且存在x1,x2,x1≠x2,满足f(x1)=f(x2),证明有关x1与x2的不等式或求某个参数的取值范围. 相似文献
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范广法 《河北理科教学研究》2014,(6):46-48
正题1设函数f(x)1=lnx+1/x,已知xf(x1)=f(x2),x2x10.求证:x1+x22.参考答案的思路是用函数的单调性证明x1+x22,主要步骤有:一是引入函数g(x)=f(2-x)与h(x)=f(x)-g(x),并结合导数研究其单调性;二是证明当x1时h(x)0即f(x)g(x);三是结合已知并根据以上两步推出x1+x22.详细过程类似于 相似文献
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殷堰工 《昭通师范高等专科学校学报》1986,(Z1)
用作辅助函数来证明一些结论,是数学分析的一个重要手段和技巧,师范院校的学生懂得和掌握这种技巧是一件有益的事情.现以数例说明.一、关于函数介值的问题一些涉及到函数介值的问题,可以用辅助函数加以解决.[例1]设函数f(x)在[0,1]上可导,且00,F(1)=f(1)-1<0,而F(x)在[0,1]上是连续函数,依介值定理知(?)x_0∈(0,1),使F(x_0)=0,即f(x_0)=x_0 相似文献
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托勒密定理是几何中的著名定理.本文通过托勒密定理揭示—类函数的特殊性质,从而给出其值域的一种巧妙的求法.函数f(x)=aA(x) bB(x),(a≥b≥0,A(x)≥0,B(x)≥0)的定义域.为D,A~2(x) B~2(x)=d~2,(d>0为定值),那么,以AC=d为直径作圆O,如图,令AB=A(x),BC=B(x),CD=a/(a~2 b~2)~(1/2)·d=kd,DA=b/(a~2 b~2)~(1/2)·d=hd.则四边形ABCD内接于圆O,且f(x)=(a~2 b~2)~(1/2)·(AB·CD BC·DA)/d 相似文献
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张涛 《新疆教育学院学报》1987,(3)
在[※]中讨论了双曲正弦与双曲余弦的特征方程本文将用更简捷的方法给出基本初等函数与双曲函数的特征方程及其证明。 1.若实函数f(x)在x=0点可导且对任意x,y∈R满足 f(x y)=f (x) f(y)则f(x)为线性函数。 证明:在(※)式中令y=0得 f(x)=f(x) f(0)(?)f(0)=0 相似文献
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不等式的证明方法有比较法、分析法、综合法、归纳法等等,但对于一类不等式,有时不如利用函数性质及图象来证明更显得直观形象。我们知道,若在含有字母的式子中,如若认定某一字母为自变量,而另一些字母看成是一定范围内的常数,那么不等式便成了以选定为自变量的那个字母的一元一次或一元高次不等式,进而可以以此字母为变量构成函数。因此,我们可利用函数的性质来证明某些不等式。 (一) 利用函数的单调性证明不等式大家知道,若函数y=f(x)定义在x∈[m,n]上(m0;同样,如若y=f(x)在x∈[m,n]上是单调递减函数,又f(n)≥0,那么y=f(x)在x∈(m,n)上恒有f(x)>0。根据此性质可证明如下的一些问题。 相似文献
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用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在… 相似文献
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笔者最近对递推函数的周期作了些探究,得到了一组十分优美的结论,且在国内外数学竞赛中有着广泛的用途,在此给出来与读者共赏.结论1若函数f(x)(x∈R)满足f(x m)=11-f(x),则函数f(x)是周期为3m的周期函数.证明因为f(x m)=1-1f(x),①用x m代替①式中的x,则有f(x 2m)=1-f(1x m).②①式代入②式化简,得f(x 2m)=f(fx()x)-1.③用x m代替③式中的x,则有f(x 3m)=f(fx( x mm))-1.④①式代入④式化简,得f(x 3m)=f(x).所以函数f(x)是周期为3m的周期函数.结论2若函数f(x)(x∈R)满足f(x m)=1 f(x)1-f(x),则函数f(x)是周期为4m的周期函数.证明因为f(x m)=… 相似文献
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分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数 .已知一个函数在某一区间上的解析式 ,求它在另一个区间上的表达式 ,这是分段函数中最常见的问题 .由于给出条件的不同 ,常有如下分类 .1 关于直线 x=a对称若题设中有函数图象关于直线 x=a对称的条件 ,则有 f (x) =f (2 a- x) ,特别地 ,当 a=0时 ,则 f (x) =f(- x) ,即此函数为偶函数 .例 1 已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 ,若当 x≤ 1时 ,y=x2 + 1,则当x>1时 ,y=.(1991年上海高考题 )解 当 x>1时 ,则 2 - x<1,依题设有f(2 - x) =(2 - x) 2 + 1.又 y=f (x)的图象关于 x=1对称 ,… 相似文献
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若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同 ,可用几个式子来表示函数 ,这种形式的函数叫分段函数。已知一个分段函数在某一区间上的解析式 ,求此函数在另一区间上的解析式 ,这是分段函数中最常见的问题。由于给出条件的不同 ,常有如下一些题型。1 分段函数关于直线对称的情形例 1 设函数 y =f(x)的图像关于直线x =1对称 ,若x≤ 1时 ,y =x2 +1。求x >1时 f(x)的解析式。解 设x >1 ,则 2 -x <1 ,由已知条件 ,得f( 2 -x) =( 2 -x) 2 +1 =x2 -4x +5。因为函数y =f(x)关于x =1对称 ,故 f(x) =f( 1 -(x -1 ) ) ,即 f(x) =f( 2 -x) ,所以当x >1… 相似文献
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马幸华 《苏州教育学院学报》1999,(3)
一、问题的提出 中师五年制现用大学专科小学教育专业教材《数学分析》中有这样的一个关于复合函数的习题:已知:f(x (1/x))=x~2 (1/x~2),求:f(x)。习题的答案是:f(x)=x~2-2。 这里,就本题及所给答案,提出问题如下:问题一,答案中f(x)=x~2-2这个函数是定义在哪儿的?当我们用变量代换方法或其它方法解题时,从解题过程来分析,可以得到的答案应为:f(x)=x~2-2,|x|≥2;问题之二,与函数x (1/x)复合可以得到结果x~2 (1/x~2)的外函数是否唯一?若设f(x)=x~2-2,|x|≥1,则有f(x (1/x))=x~2 (1/x~2),其实,对函数f(x)=x~2-2 |x≥2,g(x) |x|<2(其中g(x)是任意函数)而言,显然都有f(x (1/x))=x~2 (1/x~2),可见,满足条件的函数f(x)不唯一。综上可知,习题的答案并不确切。下面,我们对此进行较深入的剖析。 相似文献
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何苗 《中学生数理化(高中版)》2006,(6)
单调性是函数重要的性质,判断函数单调性应看函数的图象.从左向右,若图象上升,则函数递增;若图象下降,则函数递减.用定义证明函数单调性的方法是作差比较法,要在证明的区间内设任意x10;(2)a<0.(此题为高中课本习题)分析:投石问路,取a=1时,函数y=x3的图象如右图,观察图象知,在R内x增大y增大.猜测当a>0时,函数y=ax3在R上是增函数.(1)证法1:设任意-∞相似文献