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构造平面向理 巧解最值问题 总被引：1，自引：0，他引：1
最值问题是数学奥林匹克中的热门试题 .它技巧性强 ,难度大 ,解法活 .本文利用高中数学新教材中新增的重要内容———平面向量 ,巧解一类最值问题 .1 求不等式恒成立时的参数最值例 1 (1992年上海市高三数学竞赛试题 )若正数使不等式 :ｘ +ｙ≤ａｘ +ｙ对一切正数ｘ、ｙ成立 ,则ａ的最小可能值是＿＿＿＿＿ .解 构造向量 ａ =(ｘ ,ｙ) , ｂ=(1,1) .由 ｜ ａ· ｂ｜≤｜ ａ｜｜ ｂ｜ ,得 ｘ+ ｙ≤ 2 · ｘ+ｙ.当且仅当 ａ与 ｂ同向 ,即ｘ =ｙ时 ,等号成立故ａ的最小可能值是 2 .例 2 (2 0 0 0年第 11届“希望杯”全国数学邀请赛高… 相似文献
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构造向量求函数最值 总被引：2，自引：2，他引：2
函数最值问题 ,屡屡出现在国内外各类竞赛试题中 .适当构造向量 ,可使一类函数最值问题的思路清晰 ,解题方法简捷巧妙 ,并富于规律性、趣味性 .定理 m,n为两个向量 ,则| m| 2 ≥ ( m· n) 2| n| 2 .证明 设两向量的夹角为θ,则| m| 2 =| m| 2· | n| 2| n| 2 ≥ | m| 2 | n| 2 cos2θ| n| 2 =( m· n) 2| n| 2 ,证毕 .1 构造向量 ,求整函数最值例 1 求实数 x,y的值 ,使得 ( y- 1 ) 2 +( x+ y- 3) 2 + ( 2 x+ y- 6 ) 2 达到最小值 .( 2 0 0 1年全国初中数学联赛试题 )解 构造 m=( y- 1 ,x+ y- 3,2 x+ y-6 ) ,n=( - 1 ,2 ,- 1 ) ,依定理 … 相似文献
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例说向量的广泛应用 总被引：1，自引：0，他引：1
高考命题中对知识综合性的考查 ,往往在知识网络交汇点上设计试题 ,而向量则是三角函数、解析几何等多学科知识的交汇点 ,因此也是新高考的命题热点 .例 1 已知 (ｘ-1) 2 + (ｙ-2 ) 2 =2 5 ,求3ｘ+ 4ｙ的最值 .解 设ａ =(3 ,4) ,ｂ =(ｘ-1,ｙ -2 ) ,ａ与ｂ的夹角为θ,则3ｘ + 4ｙ =ａ·ｂ + 11=｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ+ 11=2 5ｃｏｓθ + 11.∴ 3ｘ+ 4ｙ的最大值为 3 6,最小值为-14 .例 2 已知ｘ2 + ｙ2 =4,ａ2 +ｂ2 =6,求ａｘ +ｂｙ的最值 .解 设ａ=(ｘ ,ｙ) ,ｂ=(ａ ,ｂ) ,ａ与ｂ的夹角为θ ,则ａｘ +ｂｙ =ａ·ｂ=｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ… 相似文献
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杜锋丽 《中学生数理化(高中版)》2003,(1):26-26
“求最值”常常在小题中出现 ,但如果方法不对 ,既费时 ,结果也不一定对 .其实 ,只要认真观察式子的结构 ,有些问题就会迎刃而解 ,“1”的作用就是个例子 .例 1 设ａ、ｂ为正数 ,且ａ +ｂ =2 ,求 52ａ+ 8ｂ的最小值 .解 :因ａ +ｂ =2 ,故 ａ2 + ｂ2 =1.∴ 原式 =1· 52ａ+ 8ｂ =ａ2 + ｂ252ａ+ 8ｂ =54 + 4 + 4ａｂ + 5ｂ4ａ≥2 14 +2 5 (即最小值 ) .上式当且仅当4ａｂ =5ｂ4ａ时取等号 .例 2 在△ＡＢＣ中 ,Ａ、Ｂ、Ｃ分别是它的三个内角的值 ,求 1Ａ + 1Ｂ + 1Ｃ 的最小值 .分析 :题中只有一个条件 :Ａ +Ｂ +Ｃ =π ,那么下一步就是如… 相似文献
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最值问题是初等数学中经常碰到的一类问题 .有些最值问题用常规代数方法较难入手 ,但若把问题适当变形 ,揭示其相应的几何意义 ,问题实质就直观清楚 ,易于解决 .例 1 已知ｘ2 +2ｙ2 =1 ,求ｚ =ｘ2 + ｙ2 -4ｘ + 4最值 .解 由条件知ｘ2+ 2 ｙ2 =1是中心在原点 ,长轴在ｘ轴上的椭圆 ,它与ｘ轴交于Ｍ(-1 ,0 ) ,Ｎ(1 ,0 ) .设Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆上任一点 ,则ｚ =(ｘ-2 ) 2 + ｙ2 就是Ｐ(ｘ ,ｙ)与点Ａ(2 ,0 )距离 ｜ＡＰ｜ ,由图易知 ｜ＰＡ｜≤｜ＡＭ ｜ ,｜ＰＡ｜≥｜ＡＮ｜ .∴ｚｍａｘ =｜ＡＭ｜=2 + 1 =3 , ｚｍｉｎ =｜ＡＮ｜=2 -1 =1 .… 相似文献
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文 [1]的定理 1,2分别为 :定理 1 设 a≠ - 1,b≠ - 1,则 11+ a+11+ b=1成立的充要条件是 ab=1.定理 2 设 a≠ - 1,b≠ - 1,则 a1+ a+b1+ b=1成立的充要条件是 ab=1.我们可将定理 1,2推广为 :定理 3 设 xy≠ 0 ,则 ax+ by=1成立的充要条件是 (x- a) (y- b) =ab(证明略 ) .把定理 3中的 a,b,x,y分别换成 1,1,1+ 1+ b,则得定理 1;把定理 3中的 x,y分别换成 1+ a,1+ b,则得定理 2 .用定理 3解某些最值题或证明某些不等式是比较方便的 ,下面举例说明 .1 求最值例 1 已知 x,y∈ (0 ,+∞ )且 2 x+ y=4,求 1x+ 1y的最小值 .(文 [2 ]例 2 )解 … 相似文献
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一、利用三角函数的有界性利用正弦函数、余弦正数的有界性:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),(A≠0,φ≠0)的函数的最值.例1.(2000年全国高考题)已知函数y=12cos2x+3√2sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=14(2cos2x-1)+14+3√4(2sinxcosx)+1=14cos2x+3√4sin2x+54=12sin(2x+π6)+54.y取得最大值必须且只需2x+π6=π2+2kπ,k∈Z即x=π6+kπ,k∈Z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为｛x｜x=π6+kπ,k∈Z｝.二、转化为二次函数例2.求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解:∵f… 相似文献
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最值问题是高中数学的重要内容之一 ,也是高考的热点 .本文通过对一道简单的最值问题的多维思考 ,来说明这类最值问题的一些常用求解方法 .题 已知 :ａ +ｂ=1 ,且ａ>0 ,ｂ >0 ,求1ａ +1ｂ 的最小值 .思路 1 由已知ａ+ｂ=1 ,联想到ｓｉｎ2 α+ｃｏｓ2 α =1 ,用三角代换方法求解 .解法 1 设ａ =ｓｉｎ2 α,ｂ =ｃｏｓ2 α 0 <α<π2 ,则1ａ +1ｂ =ｓｅｃ2 α+ｃｓｃ2 α=2 +ｔａｎ2 α+ｃｏｔ2 α≥ 4,当且仅当α=π4,即ａ=ｂ =12 时 ,取得最小值 4.思路 2 由ａ+ｂ =1 ,有 1ａ+1ｂ =1ａｂ,联想到ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,可用基本不等式求解 .解… 相似文献
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公差ｄ≠ 0的等差数列 ａｎ ,它的前ｎ项和Ｓｎ 是关于ｎ的二次函数 :Ｓｎ =ｎａ1 +ｎ(ｎ- 1)2 ｄ =ｄ2 ｎ2 +ａ1 - ｄ2 ｎ .所以 ,当ｄ >0 ,Ｓｎ 有最小值 ;当ｄ <0 ,Ｓｎ有最大值 .由于函数Ｓｎ 与一般二次函数ｆ(ｘ) =12 ｄｘ2+ａ1 - ｄ2 ｘ(ｘ∈Ｒ)的定义域不同 ,因此在求最值的方法上又有其特殊性 .下面就这类问题探讨几种思考途径 .一、研究通项的符号 ,求Ｓｎ 的最值例 1 一个首项为正数的等差数列ａｎ ,前 3项之和与前 11项之和相等 ,则前几项和最大 ?解 由Ｓ3=Ｓ1 1 ,得ａ4 +ａ5+… +ａ1 0 +ａ1 1 =0 ,∵ ａ4 +ａ1 1 =ａ5+ａ1 0… 相似文献
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李生华 《福建师大福清分校学报》2000,(2):117-119
求三角函数的最值问题是三角函数中较为重要的一个知识点;其题目类型变化多端.解法灵活多变,若能在教学中不断的归纳总结,则可培养学生多向思维的能力.本文就此举例介绍几种常用方法.1 化为Ａｓｉｎ(ｗｘ+φ)+Ｋ的形式例1 求函数ｙ=ｓｉｎ2ｘ+2ｓｉｎｘ·ｃｏｓｘ+3ｃｏｓ2ｘ的最大值解:ｙ=ｓｉｎ2ｘ+2ｓｉｎｘ·ｃｏｓｘ+3ｃｏｓ2ｘ=2ｓｉｎｘｃｏｓｘ+2ｃｏｓ2ｘ+1=ｓｉｎ2ｘ+ｃｏｓ2ｘ+2=2ｓｉｎ(2ｘ+π4)+2∴当ｓｉｎ(2ｘ+π4)=1时, ｙｍａｘ=2+22 配方法例2 求函数ｙ=1-5ｓｉｎｘ+2ｃｏｓ2ｘ的最小值解:ｙ=1-5ｓｉｎｘ+2ｃｏｓ2ｘ… 相似文献
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王益祥 《中学生数理化(高中版)》2003,(1):12-12
一、化归为二次函数问题运用适当的代数代换 ,将所给函数转化为容易求得最值的二次函数 ,从而求得原函数的最值 .例 1 求函数 ｙ =ｘ - 4 2 -ｘ的最值 .解 :令ｔ=2 -ｘ(ｔ≥ 0 ) ,则ｔ2 =2 -ｘ ,ｘ =2 -ｔ2 .∴ ｙ =ｆ(ｔ) =( 2 -ｔ2 ) - 4ｔ=- (ｔ+ 2 ) 2 + 6 .由于 ｙ =ｆ(ｔ)在 [- 2 ,+∞ )上递减 ,且ｔ≥ 0 ,所以ｙｍａｘ=ｆ( 0 ) =2 .ｙ无最小值 .注 :运用这一方法时要密切注意新变量ｔ的取值范围 .二、化归为基本不等式问题当函数表达式满足基本不等式的条件时 ,可利用基本不等式求函数的最值 .例 2 求函数 ｙ =3ｘｘ2 + 4 的最值 … 相似文献
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恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a… 相似文献
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平均不等式是解决最值问题的常用方法之一 ,但是利用它求最值必须满足“一正、二定、三相等”3个基本条件 .有些最值问题 ,在运用平均不等式时等号不能成立 ,此时 ,可适当引入参数 ,利用待定系数法 ,解决平均不等式中等号不能成立的问题 .下面举例加以说明 .一、ｆ(ｘ) =ａｘｍ + ｂｘｎ(ａ ,ｂ ,ｍ ,ｎ>0 )例 1 (2 0 0 0年上海市高考题 )已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 + 2ｘ+ａｘ ,ｘ∈ [1,+∞ ) ,若ａ=12 ,求函数 ｆ(ｘ)的最小值 .分析 当ａ=12 时 ,ｆ(ｘ) =ｘ + 12ｘ+ 2≥ 2 12 + 2 ,当且仅当ｘ =12ｘ,即ｘ =22 时取等号 .但 22<1,不在函数定义… 相似文献
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求最值问题是中学数学的重要内容之一,也是竞赛命题的热点题型之一.这类问题涉及的知识点多,覆盖面广,解题灵活多变,技巧性强,学生不易掌握.为此,下面介绍求最值问题的常用策略与方法,以期对同学们的学习有所帮助. 1 配方法 在求最值时,形式呈二次三项式2(ax+ )bxc+的,均可用配方法求得最值. 例1 当x变化时,分式22365112xxxx++++的 最小值_______. 解 222236561210/2122xxxxxxxx++++=++++ 22622xx=-++=226(1)1x-++. ∴当1x=-时,22365/21xxxx++++取最小值4. 2 判别式法 在求最值时,形式为函数式,且可以化为关于某个变量的一元二次方程的,都… 相似文献
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在约束条件Ａｘ2 +Ｂｘｙ +Ｃｙ2 =Ｍ下 ,求函数ω =Ａｘ2 +Ｄｘｙ+Ｃｙ2 (Ａ、Ｃ、Ｍ∈Ｒ+,Ｂ、Ｄ∈Ｒ)的最值 ,贵刊文 [1]、[2 ]和 [3]给出了三种解法 ,读罢颇受启发 .笔者也作了一些探讨 ,发现了解决它的一种新方法 ,即构造一元二次方程来解决它 .下面就以文 [1]中的例子来具体说明这种解法 .例 1 (1993年全国高中联赛题 )已知ｘ ,ｙ∈Ｒ ,且 4ｘ2 - 5ｘｙ + 4 ｙ2 =5 ,记Ｓ =ｘ2 + ｙ2 ,求 1Ｓｍａｘ +1Ｓｍｉｎ 的值 .解 将ｘ2 + ｙ2 =Ｓ代入条件式 ,得 ｘｙ=4Ｓ- 55 ,即ｘ2 ｙ2 =4Ｓ- 552 .因此 ,ｘ2 与 ｙ2 是关于ｚ的一元… 相似文献
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翁玉中 《数学大世界(高中辅导)》2004,(10):20-23
下面以具体的问题来体现函数单调性的妙用,供大家欣赏.一、考虑函数最值【例1】 求函数f(x)=x3-3x2+5x+1,x∈[-1,1]的最值.分析:对于这个问题许多学生感到为难,但如果从单调性入手则会充分显现其优越性.由f(x)=x3-3x2+5x+1的特点易知f(x)可变形成f(x)=(x-1)3+2(x-1)+4,则可设t=x-1,则函数f(x)可变成y=t3+2t+4,t∈[-2,0],所以要求原函数的最值只要求y=t3+2t+4,t∈[-2,0]的最值,易证y=t3+2t+4,t∈[-2,0]是单调递增函数,所以当t=-2时此函数有最小值为-8,当t=0时此函数有最大值为4,从而当x=-1时,原函数有最小值为-8,当x=1时,原函数有最大值为4.… 相似文献
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一般地说 ,一次函数y =kx +b不存在最大值或最小值 .但是 ,当给出了自变量x的取值范围这一特殊条件后 ,函数值y就可能有最值 .例如 ,一次函数y =kx+b ,x1≤x≤x2 .若k >0 ,如图 1 ,则y值随x的增大而增大 ,当x =x1时 ,y有最小值y1,当x =x2 时 ,y有最大值y2 ;若k <0 ,如图 2 ,则y值随x的增大而减小 ,当x =x1时 ,y有最大值y1,当x =x2 时 ,y有最小值y2 .图 1图 2例 1 已知关于x的方程x2 - 2x +k =0的实数根x1、x2 ,且y =x3 1+x3 2 .试问 :y是否有最大值或最小值 ?若有 ,试求出其值 ;若没有 ,请说明理由 .( 1 999,天津市中考题 )解 :由根与系数… 相似文献
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函数在闭区间上的最值问题本质上是一个数学规划问题 .高中教材中讨论了二次函数在闭区间上的最值问题 ,现在导数进入了中学教材 ,使得对三次函数最值的讨论成为可能 .本文讨论三次函数 y( x) =x3+ ax2 +bx+ c在闭区间 [α,β]上的最值问题 .记导函数 y′( x) =3x2 + 2 ax+ b的判别式为 Δ.当Δ≤ 0时 ,y( x)没有极值点 ,是单调增函数 ,所以 y( x)在 [α,β]的端点处达到最大、最小值 .当Δ >0时 ,y′( x)有两个零点 ,记为 x1和 x2 ( x1 相似文献
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复数是高中代数的重要内容 ,由于它有多种表示方法 (代数法、三角法和指数法等 ) ,能将代数、三角、几何等知识紧密地联系起来 ,因此 ,在数学竞赛中常有有关复数的考题 .另外 ,复数本身也可作为一种方法 ,运用复数法可以解决函数最值、三角恒等式、组合问题、不等式问题、数列问题等 .1 求函数最值例 1 若 x,y,z∈ ( 0 ,+∞ ) ,且 x+ y+ z= 1 ,求 u=x2 + y2 + xy + y2 + z2 + yz+x2 + z2 + xz的最小值 .略解 令 z1 =( x+ 12 y) + 32 yi,z2 =( y+ 12 z) + 32 zi,z3=( z+ 12 x) + 32 xi,∴ u=| z1 | + | z2 | + | z3|≥ | z1 + z2 + z3|=3.… 相似文献