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1.
李耀文 《中学数学教学参考》2001,(6)
给定△ＡＢＣ和一点Ｐ ,满足∠ＱＡＣ =∠ＰＡＢ ,∠ＱＢＡ =∠ＰＢＣ ,∠ＱＣＢ =∠ＰＣＡ的点 (如图 )Ｑ叫做Ｐ关于△ＡＢＣ的等角共轭点[1] [2 ] .我们发现了等角共轭点的一条新性质 :定理 设Ｐ、Ｑ是△ＡＢＣ的等角共轭点 ,则ＡＰ·ＡＱＡＢ·ＡＣ ＢＰ·ＢＱＢＣ·ＢＡ ＣＰ·ＣＱＣＡ·ＣＢ=1 .证明 :如图 ,在射线ＡＱ上取点Ｄ ,使∠ＡＣＤ =∠ＡＰＢ ,因∠ＡＰＢ >∠ＡＣＢ ,故Ｄ在△ＡＢＣ外 .又因∠ＰＡＢ =∠ＣＡＤ ,从而△ＡＢＰ∽△ＡＤＣ ,故ＡＢＡＤ=ＡＰＡＣ=ＢＰＣＤ,ＣＤ =ＢＰ·ＡＣＡＰ .①又由∠ＱＡＢ =∠ＰＡＣ ,Ａ… 相似文献
2.
丁柏川 《中学数学教学参考》2000,(10)
1999年全国初中数学联合竞赛第二试第二题 :ＡＤ是△ＡＢＣ的高 ,以Ｄ为圆心 ,ＡＤ为半径作⊙Ｄ交ＡＢ于Ｅ ,交ＡＣ于Ｆ ,ＡＢ =5,ＡＥ =2 ,ＡＦ =3 .求ＡＣ的长 .本文对该题做如下几方面的思考和探讨 .一、一题多解解法 1.如图 1,过Ｄ分别作ＤＰ⊥ＡＢ ,垂足为Ｐ ,ＤＱ⊥ＡＣ ,垂足为Ｑ ,由垂径定理得ＡＰ =1,ＡＱ= 32 .易得△ＡＤＰ∽△ＡＢＤ ＡＤＡＢ= ＡＰＡＤ ＡＤ =5.同样有△ＡＤＱ∽△ＡＣＤ ＡＤＡＣ =ＡＱＡＤ ＡＣ =103 .解法 2 .如图 1,延长ＡＤ交⊙Ｄ于Ｍ ,连结ＭＥ及ＭＦ ,可得ＡＤ =5 ＡＭ =2 5,易得Ｒｔ△ＡＭＦ∽Ｒｔ… 相似文献
3.
一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.① 再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.② 比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ… 相似文献
4.
中考数学试题中经常出现函数与平面几何相结合的综合题 ,解这类题要求考生能灵活掌握函数的性质与平面几何图形的特征及相关知识 ,其基本思想是“数形结合” .图 1例 1 如图 1 ,Ａ、Ｂ是直线ｌ上的两点 ,ＡＢ =4ｃｍ ,过ｌ外一点Ｃ作ＣＤ∥ｌ,射线ＢＣ与ｌ所成的锐角∠ 1 =6 0°,线段ＢＣ =2ｃｍ .动点Ｐ、Ｑ分别从点Ｂ、Ｃ同时出发 ,Ｐ以每秒 1ｃｍ的速度沿由Ｂ向Ｃ的方向运动 ,Ｑ以每秒 2ｃｍ的速度沿由Ｃ向Ｄ的方向运动 .设Ｐ、Ｑ运动的时间为ｔ(秒 ) ,当ｔ>2时 ,ＰＡ交ＣＤ于点Ｅ .( 1 )用含ｔ的代数式分别表示ＣＥ和ＱＥ的长 ;( 2 )求… 相似文献
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本期问题图 1 初 1 2 3 . 已知点Ｄ1、Ｄ2 在△ＡＢＣ的边ＡＢ上 ,且ＢＤ1=ＡＤ2 ,过点Ｄ1、Ｄ2 分别作ＢＣ的平行线 ,交ＡＣ于点Ｅ1、Ｅ2 ,点Ｐ1、Ｐ2分别为Ｄ1Ｅ1、Ｄ2 Ｅ2上的任意点 ,ＢＰ1交ＡＣ于Ｎ1,ＣＰ1交ＡＢ于Ｍ1,ＢＰ2 交ＡＣ于Ｎ2 ,ＣＰ2 交ＡＢ于Ｍ2 .求证 :ＡＭ1Ｍ1Ｂ+ ＡＮ1Ｎ1ＣＡＭ2Ｍ2 Ｂ+ ＡＮ2Ｎ2 Ｃ =1 .(郭 璋 北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 2 4. 如图 2 ,小正方形ＡＢＣＤ各边所在直线与大正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′分别相交于Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ .求证 :ＥＦ +ＰＱ =ＧＨ+ＭＮ .… 相似文献
6.
唐录义 《中学数学教学参考》2001,(9)
本刊 2 0 0 1年第 1～ 2合期刊登了吴家驷先生“十五点共圆”一文 ,证明了有 1 2个特殊点在三角形外接圆上 .事实上还有 6个点 ,合为 2 1点共圆 .定理 不等边三角形的每个顶点的内外角平分线与对边中垂线的两个交点 ,在其外接圆上 .证明 : 如图 ,ＰＱ为△ＡＢＣ的边ＡＣ的中垂线 ,ＢＰ平分∠ＤＢＣ ,ＢＱ平分∠ＡＢＣ ,作ＰＭ⊥ＢＤ ,垂足为Ｍ ,ＰＮ⊥ＢＣ ,垂足为Ｎ ,ＱＥ⊥ＢＡ ,垂足为Ｅ ,ＱＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｆ ,易知ＱＡ =ＱＣ ,ＱＥ =ＱＦ ,Ｒｔ△ＱＥＡ≌Ｒｔ△ＱＦＣ ,∠ＥＡＱ =∠ＱＣＦ ,Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｑ共圆 ,即Ｑ在△ＡＢＣ的外… 相似文献
7.
二面角的平面角的作法有定义法 ,三垂线定理(或逆定理 )法和垂面法三种 ,在解决与二面角有关的问题时 ,人们都习惯于采用前两种方法 ,而极少用到后一种方法 ,其实有些关于二面角的问题 ,特别是棱未作出的二面角的问题 ,若用垂面法则更为简捷 .特举数例 ,仅供参考 .例 1 过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ ,引ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ ,若ＰＡ =ＡＢ ,则平面ＡＢＰ与平面ＣＤＰ所成二面角的大小是 .图 1解 如图 1,由ＰＡ⊥面ＡＢＣＤ ,知面ＰＡＤ⊥面ＡＢＣＤ .又ＡＢＣＤ为正方形 ,有ＡＢ⊥ＡＤ ,ＣＤ⊥ＡＤ ,得ＡＢ⊥面ＰＡＤ ,ＣＤ⊥面ＰＡＤ ,所以面… 相似文献
8.
题目 (第一届数学奥林匹克国家集训班选拨 图 1考试题暨第四届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题 )正方形ＡＢＣＤ边长为 1,ＡＢ、ＡＤ上各有一点Ｐ、Ｑ ,如果△ＡＰＱ的周长为 2 ,求∠ＰＣＱ的度数 .将△ＣＤＱ顺时针旋转 90° ,使ＣＤ与ＣＢ重合 ,则Ｑ点落在ＡＢ的延长线上 .利用三角形全等及题设条件可得∠ＰＣＱ =4 5° .(证明略 )注意到△ＡＰＱ的周长恰为正方形边长的 2倍 ,很容易证得下面几个结论 .命题 1 在正方形ＡＢＣＤ中 ,若Ｐ、Ｑ分别在ＡＢ、ＡＤ上 ,△ＡＰＱ的周长是正方形边长的 2倍 ,则∠ＰＣＱ =4 5° ,反之亦真 … 相似文献
9.
赵惠民先生著 ,海洋出版社 1980年出版的《平面几何解题思路》一书第 3 6页例 8是这样一道题 :如图 ,已知 :△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＣＦ ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＢＥ⊥ＡＤ的延长线于Ｅ ,Ｍ是ＢＣ的中点 .求证 :ＭＥ =ＭＦ .分析 :延长ＢＥ、ＡＣ相交于Ｑ ,得△ＡＢＥ≌△ＡＱＥ ,从而ＢＥ =ＥＱ ,ＭＥ成为△ＢＱＣ的中位线 ,ＭＥ 12 ＣＱ .同理 ,延长ＣＦ ,交ＡＢ于Ｐ ,得到ＣＦ =ＦＰ ,证出ＭＦ=12 ＢＰ .再用等量公理 ,推出ＰＢ =ＣＱ ,则本题得证 .许多资料都引用了这道题 ,且思路相同 ,例如 ,袁银宗先生编著 ,中国社会出版社2 0 0 1年 1… 相似文献
10.
陶维林 《中学数学教学参考》2000,(10)
20 0 0年高考第 2 2题是一道平面解析几何题 :如图 1,已知梯形ＡＢＣＤ中 ,|ＡＢ|=2 |ＣＤ|,点Ｅ分有向线段ＡＣ所成的比为λ ,双曲线过Ｃ、Ｄ、Ｅ三点 ,且以Ａ、Ｂ为焦点 .当 23 ≤λ≤34 时 ,求双曲线离心率ｅ的取值范围 .这里介绍用《几何画板》来探究这道题的过程 ,并谈一点想法 .1.首先是作出双曲线 ,找出点Ｅ( 1)如图 2 ,在ｘ轴上取一点Ｂ ,作线段ＯＢ的垂直平分线 .( 2 )在ＯＢ的中垂线上取一点Ｃ .作Ｂ、Ｃ关于 ｙ轴的对称点 ,得到点Ａ、Ｄ .( 3)连结ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ ,用直线连结ＡＣ .( 4 )以Ｃ为圆心、ＣＢ为半径画圆 ,交直线Ａ… 相似文献
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在求点到平面的距离中 ,有很多题常采用间接的方法 ,而在间接方法中又以等积变换为常见 .下面介绍一种新方法 ,为我们在解题中提供一条途径 . 图 1如图 1,设线段ＡＢ上一点Ｐ分线段ＡＢ为ｍｎ(ＡＰＢＰ =ｍｎ) ,若平面α过Ｐ点与线段ＡＢ相交 ,则易证Ａ点到平面α的距离是Ｂ点到α距离的 ｍｎ 倍 .简证 分别过Ａ、Ｂ作平面α的垂线 ,Ｃ、Ｄ分别为垂足 ,连ＣＤ(Ｐ一定在ＣＤ上 ) .由△ＡＣＰ ∽△ＢＤＰ ,得 ＡＣＢＤ =ＡＰＢＰ =ｍｎ ,即ＡＣ =ｍｎ ·ＢＤ .下面举例说明它的应用例 如图 2 ,在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1… 相似文献
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一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ =12 0° ,⊙Ａ与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ相交于Ｅ ,则∠ＡＤＥ等于度 .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )2 已知 :如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ＡＣ =2 ,ＢＣ =1.若以Ｃ为圆心 ,ＣＢ长为半径的圆交ＡＢ于点Ｐ ,则ＡＰ= . (2 0 0 1年江苏省宿迁市中考题 )3 已知⊙Ｏ的半径为 4ｃｍ ,ＡＢ是⊙Ｏ的弦 ,点Ｐ在ＡＢ上 ,且ＯＰ =2ｃｍ ,ＰＡ =3ｃｍ ,则ＰＢ =ｃｍ .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )图 1图 2图 3图 4 4 已知 :如图 3,⊙Ｏ的弦ＡＢ平分弦ＣＤ ,ＡＢ =10 ,ＣＤ =8,且ＰＡ … 相似文献
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圆幂定理包含相交弦定理、割线定理、切割线定理 .这些定理是“圆”一章的重点内容 .应用圆幂定理进行计算的中考几何题十分常见 ,现分类举例如下 .一、相交弦定理的应用例 1 如图 1 ,⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 内切于点Ｐ ,⊙Ｏ2 的弦ＡＢ经过⊙Ｏ1的圆心Ｏ1,交⊙Ｏ1于Ｃ、Ｄ .若ＡＣ∶ＣＤ∶ＤＢ =3∶4∶2 ,则⊙Ｏ1与⊙Ｏ2的直径之比为 .( 1 998年江苏省南京市中考题 )分析 为应用相交弦定理 ,过切点Ｐ作⊙Ｏ2 的直径ＰＱ ,则Ｏ1、Ｏ2 必在直径ＰＱ上 .设ＡＣ =3ａ ,则ＣＯ1=Ｏ1Ｄ =Ｏ1Ｐ =ＤＢ =2ａ .∵ Ｏ1Ｐ·Ｏ1Ｑ =Ｏ1Ａ·Ｏ1Ｂ ,∴ 2… 相似文献
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《中学教与学》2002,(10)
一、1.23 2 .(ａ -ｂ + 1) (ａ -ｂ - 1) 3.6 4 .ｙ2 -ｙ - 2 =0 5 .1<ｄ <9 6 .12 5 % 7.4 5ｍｍ 8.392ｘ - 392ｘ + 4 0 =1 9.ｙ =90ｘ 10 .2 6二、11.Ｄ 12 .Ｃ 13.Ｂ 14 .Ａ 15 .Ｃ 16 .Ａ 17.Ｂ 18.Ｄ 19.Ｃ 2 0 .Ｂ三、2 1.6 .2 2 .在梯形ＡＢＣＤ中 ,∵ＡＢ∥ＣＤ ,ＡＤ =ＢＣ ,∴ＡＣ =ＢＤ .∵ＤＣ =ＣＤ ,∴△ＡＤＣ≌△ＢＣＤ .∴∠ＡＣＤ =∠ＢＤＣ .故ＯＤ =ＯＣ .图 1四、2 3.如图 1,连结ＰＯ并延长 ,交⊙Ｏ于点Ｃ、Ｄ .根据切割线定理的推论 ,有ＰＡ·ＰＢ =ＰＣ·ＰＤ .∵ＰＢ =ＰＡ +… 相似文献
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为了便于证明 ,首先介绍几个引理 :引理 1 秩 (Ａ) +秩 (Ｂ)≤秩 Ａ 0Ｃ Ｂ证明 :设Ａ为ｍ阶矩阵 ,Ｂ为ｎ阶矩阵 ,则有ｍ阶可逆矩阵 Ｐ1,Ｑ1和ｎ阶可逆矩阵Ｐ2 、Ｑ2 使得 :Ｐ1ＡＱ1=Ｅｒ1 00 0 Ｐ2 ＢＱ2 =Ｅｒ2 00 0则 :Ｐ1 00 Ｐ2Ａ 0Ｃ ＢＱ1 00 Ｑ2=Ｐ1Ａ 0Ｐ2 Ｃ Ｐ2 ＢＱ1 00 Ｑ2=Ｐ1ＡＱ1 0Ｐ2 ＣＱ1 Ｐ2 ＢＱ2=Ｅｒ1 00 0 0Ｐ2 ＣＱ1 Ｅｒ2 00 0 (Ⅰ)显然秩Ｐ2 ＣＱ1Ｅｒ2 00 0≥秩 Ｅｒ2 00 0 =ｒ2所以由 (Ⅰ)秩 Ａ 0Ｃ Ｂ=秩Ｅｒ1 00… 相似文献
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试题 :四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的底面是边长为ａ的正方形 ,ＰＢ⊥面ＡＢＣＤ .(1 )若面ＰＡＤ与面ＡＢＣＤ所成的二面角为 60°,求这个四棱锥的体积 ;(2 )证明无论四棱锥的高怎么变化 ,面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角恒大于 90°.(1 )解法略(2 )证明 :不论棱锥的高怎样变化 ,棱锥侧面ＰＡＤ与ＰＣＤ恒为全等三角形 .作ＡＥ⊥ＤＰ ,垂足为Ｅ ,连结ＥＣ ,则△ＡＤＥ≌△ＣＤＥ ,所以ＡＥ =ＣＥ ,∠ＣＥＤ=90°,故∠ＣＥＡ是面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角的平面角 ,ＰＤ⊥面ＡＣＥ .(下面用三种方法来证明∠ＣＥＡ是钝角 )证法 1 如图 1 ,因为… 相似文献
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《中学数学教学参考》1998,(5)
成果集锦编者按本刊１９９７年第１～２期发表了赵临龙老师推广斯坦纳关于“三角形具有等平分线的角对等边”的定理作出的如下猜想（以下简称赵－猜想）：图１在△ＡＢＣ中,等长分角线ＢＤ、ＣＥ交于Ｐ,延长ＡＰ交ＢＣ于Ｑ（图１）．１．若ＡＢ·ＰＣ＋ＡＣ·ＰＢ,则Ａ... 相似文献
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20 0 2年安徽省初中升学统一考试有如下一道选择题 :如图 1 ,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ=3 ,ＡＤ =4,Ｐ是ＡＤ上的动点 ,ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ,则ＰＥ ＰＦ的值为 ( )Ａ .1 25 Ｂ .2 Ｃ .52 Ｄ .1 35该动点题出得灵巧 ,虽以选择题出现 ,但其解题的思维空间十分广阔 ,是培养和考查学生思维能力的一道好题 .本文现提供四种不同的解法 ,供读者参考 .1 特殊法(1 )如图 1 ,令动点Ｐ与Ａ重合 ,则有ＰＥ =0 ,ＰＥ ＰＦ =ＰＦ ,因为ＡＢ =3 ,ＡＤ =4,所以ＢＤ =ＡＢ2 ＡＤ2 =5 ,而Ｓ△ＡＢＤ =12 ＡＢ·ＡＤ =12 ＢＤ·ＰＦ… 相似文献
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几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝… 相似文献
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1995年高考命题组讨论题 :如图 1,一条河宽 1千米 ,两岸各有城市Ａ、Ｂ ,Ａ、Ｂ之间的直线距离为 4千米 ,今需铺设一条电缆线连接Ａ与Ｂ .已知地下电缆的铺建费是 2万元 /千米 ,水下电缆的铺建费为 4万元 /千米 ,假定河岸是平行的直线 ,地下电缆铺在Ａ所在的一岸 ,问电缆下水点Ｃ选在离点Ａ多远时 ,可使铺建费达到最小 ? 图 1 图 21 几何作法与“选址定点”的一般结论如图 2 ,过Ｂ作点Ａ所在河岸的垂线 ,垂足为Ｄ ,过Ｂ作射线ＢＥ ,与ＡＤ交于Ｃ ,,且使ｓｉｎ∠ＤＢＣ =12 (即铺建费的比 ) ,此时 ,∠ＤＢＣ =30° .过Ａ… 相似文献