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原题（39届IMO预选题）设x,y,z是正实数,且xyz=1,证明：x3/（1＋y）（1＋z）＋y3/（1＋z）（1＋x）＋z^3/（1＋x）（1＋y）≥3/4.（1）本题无论是组委会还是一些数学竞赛教材提供的解答,都无非是强化命题构造函数求导或者琴生不等式均值不等式联合使用．这些证法都是奥赛尖子才能问津,普通中学生看这解答都很吃力．其实本题用最基本的均值不等式便容易得解． 相似文献
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一些新的三角形不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
在本刊文〔1〕中，笔者给出并讨论了有关三角形边长的一个加权不等式；设△ABC的边BC、CA'、AB分别为a、b、c，半周长为s，则对任意正数x，y，z有等号当且仅当x＝y＝z时成立．本文拟以不等式（l）为线索，继续推证有关三角形的一些新不等式．为节省篇幅，我们将省略所有不等式取等号时条件成立的确定过程．定理1各符号的意义同上，则等号当且仅当x＝y＝z时成立．证于（1）式中作置换：x→yz，y→zx，z→xy，得由Cauchy不等式知即有yza＋zxb＋xyc≥于是由（3）知再次利用Cauchy不等式有据此由（4）就知不等式（2）成立．这里指出，不等… 相似文献
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若a、b、x、y∈R,则(ax－by)~2≥(a~2－b~2)(x~2－y~2)当且仅当ay＝bx时取等号．证(ax－by)~2当且仅当(a＋b)(x－y)＝(a－b)(x＋y)即ay＝bx时取等号．一个不等式的独特证法@安振平$陕西永寿县中学 相似文献
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题目 设ｘ、ｙ、ｚ是正实数,且ｘｙｚ＝１, 求证 求证 文［１］给了两种妙证。事实上用中学课本中的均值不等式也能证明。 １ 利用不等式等号成立条件,构造不等式,用均值不等式证明 思路１ 由ｘ＝ｙ＝ｚ＝１, 证法一 同理得 由①＋②＋③得： 同理得 当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ＝ 相似文献
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1913—1914年，T.Hayashi建立了一个极为重要的不等式:当且仅当△ABC为锐角三角形且P为其垂心时或P为△ABC的一个顶点的等号成立．在探讨不等式（1）的推广形式的过程中，笔者发现了下述深刻而有用的．定理设x、y、z为满足x＋y＋z＞0，yz＋zx＋xy≥0的实数，a、b、c为△ABC的三边，则对△ABC平面上任一点P有当且仅当为锐角三角形且P为其垂心时或a~2x＝b~2y，z＝0且P＝C时等号成立．为证定理，我们尚需用到杨学枝1987年建立的一个代数不等式（参见文[2]），即引理设x、y、z、x’、y’、z’为满足x＋y＋z＞0，x'＋y'＋z'＞0，yz＋zx＋… 相似文献
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本刊94年第1期刊登的“第十九届全俄中学生数学奥林匹克试题和解答”中，有一道题目：求证：对于任意的x，y，z，有不等式如果将上述不等式的左边部分记为A,我们可以将上述不等式改进为：证明1不难看出仅需证明在cosx≥0，cosy≥0,cosz≥0时，不等式成立即可．下面分两种情况给予证明．情况1：Sin~2z≤cosy情况2：cosy＜sin~2Z这里等号成立当且仅当sin~2x=0，Sin~2y＝l，cosx=1/2，cosz=2/5同时成立,因为sin~2x cos~2x=l，因此等号不能成立，即A＜29/20综合两种情况得A＜29/20.一道竞赛题的改进@田正平$杭州师范学院… 相似文献
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定理 设 并记 则有（其中不等式①,②,④,⑤取等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ。③取等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ＝ｂ,且ａ＝ｂ＞０或ａ＝０）。 证 先用反向归纳法证明不等式①： 当ｎ＝２时不等式①可化为当ｘ１、ｘ２≥ａ≥０知上式成立（当且仅当ｘ１＝ｘ２时 相似文献
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前些时笔者发现并证明了以下命题[1]:设x,y,z为非负实数,且x2 y2 z2≤3,则xyz≥①yz zx xy-2≥②3(x y z)-8,当且仅当x=y=z=1时,①、②两式均取等号.现将①、②式向四元推广,得到定理设x,y,z,w为非负实数,且x2 y2 z2 w2≤3,则3xyzw≥③Σyzw-1≥④Σxy-3≥⑤3Σx-9当且仅当x,y, 相似文献
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第36届IMO(1995年)预选题中有一道不定方程题:求所有正整数x,y,使得x+y2+z3＝xyz,这里z是x与y的最大公约数. 相似文献
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本文旨在给出三个新的有趣的分式不等式,得到如下定理1 若x,y,z〉0,满足x＋y＋z=1,则1-x^2/1＋7x-6x^2＋1-y^2/1＋7x-6y^2＋1-z^2/1＋7z-6z^2≥1,（1）.当且仅当x=y=z=1/3时取等号. 相似文献
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有一类竞赛题,如果采用分母局部换元,再经过恒等变形后,便可借助于熟知的不等式：等号成立）,使问题获得简洁的证明．此法思路自然操作简单,易为学生掌握．例1已知a,b,,求证：（1963年莫斯科竟赛题）（1988年国际友谊杯竞赛题）例2设a,b,c为正实数且流足abc＝1,求证：（第36届IMO试题）证求证式变形为例3设a,b,c,d为非贸实数,且ah十ie＋cd＋da—l,求证：（IMO预选题）例4证明对于任意正数。1,。2,…,。,有（1976年英国竞赛题（1984年巴尔干数学竞赛题）证设2—a;一x;,则x,MO,（第30届IMO预选题）证设s一】a;… 相似文献
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已知x、y、z为正实数，求证：x/（2x＋y＋z）＋y/（x＋2y＋z）＋z/（x＋y＋2z）≤3/4．
这是1996年《中等数学》第2期数学奥林匹克初赛40题，文[1]用构造函数法证明此不等式，文[2]分别用排序不等式、构造向量的方法又给出了三种不同证明方法，但它们的证明思路独特、方法技巧性较强．本文将通过换元法使用均值不等式给出证明，过程自然、简捷，容易操作、推广． 相似文献
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题目若正数a、b、c满足a b c=1，李长明老师在《再谈一个不等式的改进与推广》（本刊94—2期）一文中，对上述不等式从数形结合的角度给出了证明和推广，读后深受启发，本文再对上述不等式的下界给出一种小巧玲珑的代数证法，并对推广后的不等式也给出一个漂亮的纯代数证法．三式相加得：下面证明推广后的不等式：证明（i）先证下界化简得；对i求和得：（ii）再证上界设t＞0，由均值不等式有当且仅当pa_1＋q=pa_2＋q=…pa_n q时取等号，解得把t的值代入（1）式化简得：当且仅当a_l=a_2=…a_n=1/n时取等号。综合(i)、(ii)、(*)式得证，至此本… 相似文献
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某些分式、二次根式的问题，若能根据题目特点，对题目条件或问题合理取倒数，加以变形再求解，则可化难为易，变繁为简．例１已知xyx＋y＝１３，yzy＋z＝１４，zxz＋x＝１５，则１x的值是．思路分析：对条件分别取倒数，加以变形，可得含有欲求值的式子．解：∵xyx＋y＝１３，∴取倒数，得x＋yxy＝３．即１x＋１y＝３．①同理，可得１y＋１z＝４．②１z＋１x＝５．③∴联立解含有１x、１y、１z的三元一次方程组，即得１x＝２．例２满足m√－m－１√＞０．１的最大正整数m的值为．思路分析：m√－m－１√的倒数m√＋m－１√为正数，再结合缩… 相似文献
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初一年级1．因为此题中有三个未知数，但只有两个方程，所以，要想通过解方程组求得x、y、z的值是不可能的．但只要善于观察（1）、（2）两式系数的特点和它们之间的．内在联系，不难发现：（1）×3－（2）×2，得x十y＋z＝3．用同样的方法可解下列问题：①已知3x＋7y＋5z＝15，（Ⅰ）7x＋15y＋11z＝35.（Ⅱ）求x＋y＋z的值．（x＋y＋z＝5）②已知3x＋5y＋z＝9，（Ⅰ）4x＋7y＋2z＝12．（Ⅱ）求x＋y－z的值．（x＋y－z＝3）2.设乙拿走的球数为x只，则甲拿走的球数为3x只．剩下的一盒内装球y只．∴4x＋y＝12＋17＋18＋24＋29＋33＋36＋45＋52… 相似文献
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笔者在专著《数学奥林匹克不等式研究》书中第七章“其他不等式证明例子”（第173页）介绍了以下不等式及其证明：在以上不等式中,设x,y,z则有x/√x＋y＋y/√y＋z＋z＋√z＋x≤5/4√x＋y＋z.在以上不等式中,若令x=a^2＋b^2-c^2,y=a^2-b^2＋c^2,z=-a^2＋b^2＋c^2,a、b、c为非钝角△ABC中的三边长,则上述不等式又等价于下面几何不等式： 相似文献