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第31届IMO中有这样一道备选题：设a，b，c，d是满足ab bc cd da=1的非负实数,求证近几年来．中学数学刊物上经常介绍这一选题的各种证法（参阅本刊93年第11期P37），本文将给出它的几个新证法．为了行文方便，我们记待证式左端为I，令a b c d=e、a2 b2 c2 d2=E证1利用柯西不等式，证2利用二元均值不等式．四式相加，得证3利用配方法．证4利用基本不等式a2 b2≥2ab（a、b∈R）的变形：a（a-b)≥b(a-b）等号当且仅当a=b时成立．一道IMO备选题的几个新证法@王福楠$昆山市正仪中学… 相似文献
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张久皎 《西北成人教育学报》1999,(1):61-61
高中代数下册（必修）事项习题十五第6题是柯西不等式的特殊情形：当且仅当ad=bc时等号成立而柯西不等式的一般形式为：若aibi（i=1，2，……n）都是实效，则有当且仅当a＝kbi时等号成立实践证明用河西不等式证明一些不等式将会大大简化证顾过程，下面举若干可用柯西不等式证明的问题供同仁参考问（甘肃省教材编审室编写的高二年级第一学期代数配套练习5第8题）证：”·“a＞b＞c．”．a－c＞0．故务要证明故不等式成立树2如果a，b6R”，且a一b，求证：a3＋b3＞aZb＋abZ（代数下册第13页例幻例3已知a，b，。ER”，那么／＋P十一＞3abc等… 相似文献
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安振平在本刊1986年第6期P42上改进了一个常见的三角形不等式，得到:设a、b、c是△ABC的三边长，2p=a＋b c，则本文将把（1）式推广到两个三角形．设a、b、c、p与a’、b’、c’、p’分别是△ABC与△A’B’C’的三边长及半周长，则证在简单不等式（可见于高中代数课本（必修）下册Pll练习）（其中，a、b、c为正数）中用a’（p-a）、b’（p-b）、c’（p-c）分别替换a、b、c，得类似可得以上两式相加，再运用平均值不等式，便知（2）式成立。且易知式中等号当且仅当两三角形均为正三角形时成立．证毕．令a’＝a，b＝b，c’=c，则（2）式成… 相似文献
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《数学通报》1991年4月号数学问题（707）为：证明：在△ABC中，A、B、C两两不相等时，有原证明较繁，本文给出这一不等式的简单证明，同时也得出了改进的结果.证明令不等式（l）的左边为M（A，B，C）.由正弦定理知：边，所以由此即得：不等式（2）改进了不等式（1）.更进一步地，不等式（2）可改进为：由余弦定理得：当且仅当A＝B＝C＝60°时取等号.这样2＜N（a，b，c）≤3，当且仅当a＝b＝c时取等号.由此得0≤M（A，B，C）＜1.但由条件：A、C、C两两不相等，知不能取等号，所以不等式（3）得证.一个不等式的改进@田正平$杭州师范… 相似文献
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本文拟给出一个代数恒等式，并探讨它的一些应用．（1）式虽然简单，但很有用．它既可证明等式和不等式，又可加强不等式．下面举例说明．一、证明恒等式例2设a、b、c是△ABC的三边，△、P、r分别为其面积、半周长和内切圆半径．则证参照文[1]，（2）等价于因此，只要证由（1）、（4）易证（5）式成立．所以（3）成立，从而（2）得证．二、证明不等式例4设x，y，z是正数，则（6）式是W·Janous猜测，下面用（l）给出一个简捷证法．以上三式相加，整理得所以，（6）得证．三、加强不等式此即平均值不等式的加强．用a_i去替代上式中的a_i~2… 相似文献
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现行教材高中《代数》下册,有一类课本的例习题．已知a,b＞0,求证：这一组不等式结构对称、和谐、具有数学之美,笔者现将此类不等式作一些推广命题1已知a、b＞0,证明因为a、b＞0,n=p十q（高中教材《代数》下册32页第5题）证明由命题2得三式相加即得命题3已知a、b、c... 相似文献
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题若正数a，b，c满足a b c=1，，求证本刊1994年第7期P．46上，田正平老师用逐步调整法证明了此题．这里，笔者给出两种简洁证明，证1因对任意实数a，b，c，d有（高中代数课本下册P．14练习第2题）因此，原不等式成立．证2因对任意复数z_1，z_2有（高中代数课本下册P．197习题第6题）（i为虚数单位）因此，原不等式成立．最后，我们指出：原题的条件可放宽为“a、b、c，为满足a b c=1的实数”．利用课本习题巧证一个不等式@宋庆$江西永修县一中 相似文献
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<正> 本文给出一个条件不等式的10种证法,从中可以看出条件不等式证明的一些常用思想方法.同时给出几个常见结论及其推广.已知:a、b、c是正数且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥1/3.思路1 这是一个对称不等式,取等号的条件应为a=b=c= 相似文献
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题:已知a≥c,b≥c,c>0.求证:"c(a-c) "c(b-c)≤"ab.许多数学指导书籍、中学数学杂志,甚至一些数学竞赛辅导丛书都将此题作为构造几何图形解题的范例(都认为代数证法难以奏效),事实上常用的代数证法是多么的简洁漂亮.证明:由题设可令a=c t1,b=c t2,t1,t2≥0,则问题转化为ct1" ct2"≤"(c t1)(c t2).两边平方,稍加整理得:c2-2t1t2"c t1t2≥0,即(c-t1t2")2≥0.此不等式显然成立,故原不等式成立.下面分析一下等号成立的条件,易知,当且仅当c=t1t2",即c="(a-c)(b-c),即bc=1-ca,即ac bc=1时等号成立.(责任编辑李闯)一个不等式的代数证法@王满成$城步… 相似文献
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第39届IMO预选题的第11题：证明：《中等数学》1999年第5期给出了两种不同的妙证，事实上用均值不等式就能证明．证法1由①＋②＋③得：上述不等式都是在x＝y＝z＝1时取等号． 当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．证法2由①＋②＋③得：上述不等式都在x＝y＝z＝1时取等号．当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．一道IMO预选题的两种证法@李来敏$重庆市武隆县中学!408500 相似文献
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第二十三届全苏奥林匹克数学竞赛九年级第2题为：设a、b、c为三角形的边长，且a＋b＋c=本文现对上述不等式左端的下界作一估计，得到如下结果：设a、b、c为三角形的边长，且证由对称性，不妨设C成等差数列，故可令等号当且仅当一道苏联数学竞赛题的下界估计@陈友才$湖南省资兴矿务局一中 相似文献
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张清芳 《数理化学习(高中版)》2006,(23)
在不等式证明中,我们比较熟悉用代数的方法去寻求其问题证明,如何借助图形证明不等式,大家关注的不多.本文试图从构图入手,给出某些不等式的几何证法.一、构造两点间的距离例1已知a、b、c都是正数,求证:a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2简析:联想两点间的的距离公式,待证式子可视为两线段之和不小于第三条线段.证明:设点A的坐标为(a+c,0),点B的坐标为(0,b+d),点C的坐标为(c,b).由|AC|+|BC|≥|AB|,得a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2,当且仅当等号在A、B、C三点共线,即ab=dc时成立.二、构造平行线间的距离例2已知a、b、x、y∈R,且a+2b+4=0,x+2y=1… 相似文献
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一个不等式的推广 总被引：3，自引：0，他引：3
文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n … 相似文献
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关于△ABC三边a、b、c的不等式证明，文已给出了若干证明方法．其中，文建立了代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z）；文建立了代数变换：f（ra，rb，rc）=f（x，y，z）（其中半周长s=a＋b＋c/2；ra，rb，rc分别为△ABC的旁切圆半径）．但是，对于一类“轮换对称不等式”，以上方法显得力不从心．本文将文的代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z），改造为代数变换：f（a，b，c）=f（y＋z，z＋x，x＋y），导出了两个漂亮的定理，找到了△ABC三边a、b、c的不等式（包括非完全对称的“轮换对称不等式”）的证明妙法． 相似文献
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几个猜想的修正与证明 总被引：1，自引：0，他引：1
滕丽 《中学数学研究(江西师大)》2009,(5):19-20
文[1]介绍了一些新的代数不等式,同时提出5个猜想,本文对上述猜想给出证明或修正后再给出证明,文中∑P（a,b,c）均指∑P（a,b,c）=P（a,b,c）＋P（b,c,a）＋P（c,a,b）． 相似文献
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由于①式当且仅当a=b时等号成立,故②式当且仅当a=b时等号成立。同理,③式当且仅当b=c时等号成立,④式当且仅当c=a时等号成立。故原不等式当且仅当a=b=c=1时等号成立。 相似文献
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高中代数下册第10页在推证基本不等式a~3 b~3 c~3≥3abc时附带证明了一个不等式:已知a、b、c∈R,则 a~2 b~2 c~2≥ab bc ca (1)(当且仅当a=b=c时取等号) 相似文献