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1.
先证明对于任意正实数a,b都有a+b≥2(ab)1/2.证明:a,b都大于0,所以(a1/2-b1/2)2≥0,所以a-2(ab)1/2+b≥0,所以a+b≥2(ab)1/2.当a=b时,a+b=2(ab)1/2. 相似文献
2.
陕西安振平老师在文[1][2]两次提出了如下一个颇有难度的无理不等式猜想,即已知a,b,c为正实数,则(a2/(a2+26bc))1/3+(b2/(b2+26ac))1/3+(c2/(c2+26ab))1/3≥1.(1)笔者经过一年多研究发现这个猜想不等式是成立的,现给出证明.证明:设x=(bc)/(a2),y=(ac)/(b2),z=(ab)/(c2),则不等式(1)等价于下面命题,即x,y,z为正实数且xyz=1.则 相似文献
3.
1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/44√ a+√bc/44√ b+√ca/44√c=8√a3b4/2+8√b3c4/2+8√c3a4/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2. 相似文献
4.
李歆 《数理天地(高中版)》2008,(7):23-23
题目已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证(a+1/4(b-c)2)1/2+b1/2+c1/2≤31/2.(07年女子数学奥林匹克)分析所证不等式中(a+1/4(b-c)2)1/2的出现,给解题增加了难度.如果由此入手,寻找问题突破口,就会发现"(a+1/4(b-c)2)1/2"可以放大为"(a+1/2(b1/2-c1/2)2)1/2",从而用放缩法求 相似文献
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6.
题目证明:对于任意ΔABC,不等式a cos A+b cos B+c cos C≤p成立,其中a,b,c为ΔABC的三边,A,B,C分别为它们的对角,p为半周长.解法1:原不等式等价于a(1-2 cos A)+b(1-2 cos B)+c(1-2 cos C)≤0①.由余弦定理,不等式①等价于a4+b4+c4-2(a2b2+b2c2+a2c2)+a2bc+b2ca+c2ab≥0②.要证明②式,只需证明(a2+b2+c2)2-4(a2b2+b2c2+a2c2)+abc(a+b+c)≥0,即证明(a2+b2+c2)3-4(a2b2+b2c2+a2c2)(a2+b2+c2)+abc(a+b+c)(a2+b2+c2)≥0③.由均值不等式可得abc(a+b+c)(a2+b2+c2)≥abc·33 abc·33 a2b2c2=9a2b2c2.故要证③式,只需证(a2+b2+c2)3-4(a2b2+b2c2+a2c2)(a2+b2+c2)+9a2b2c2≥0④,由舒尔不等式可知④式显然成立,因此原不等式得证. 相似文献
7.
何旭 《数理天地(高中版)》2008,(11)
1.会整体考虑例1已知a,b∈R+,且a+b=1,求(2a+1)1/2+(2b+1)1/2的最大值.分析整体考(2a+1)1/2和(2b+1)1/2,配成与条件相符合的式子. 相似文献
8.
陈宇 《中学数学研究(江西师大)》2013,(9):47-48
2011年爱沙尼亚国家队选拔考试第4题设a,b,c为正实数,满足2a2+b2=9c2,证明:(2c)/a+c/b≥31/2.侯典峰、郝明泉两位老师在文[1]中主要依据均值不等式,对该题给出了"三个简证".经过探求,笔者发现,借助权方和不等式证明该题,更显简洁.证明:由题设知a,b,c为正实数,满足2a2+b2 相似文献
9.
《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc>0.证明:
ab+ bc+ ca<a/2abc+1/4.
证法1 因为abc>0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a>0,b<0,c<0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
<0<abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3<2/9.
于是,9q<2√q.
故p≤9q/4+1/4<2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca<√abc+1/4. 相似文献
10.
《中学数学教学》2018,(5)
<正>题目设a,b,c> 0,且abc=1,求证:(2(1+a2)(1+b2)(1+b2)(1+c2)(1+c2))(1/2)≥1+a+b+c.这是2017年沙特阿拉伯JBMO的一道不等式,左边有根号而右边没有,因此将左边根号去掉是解题的关键.下面介绍两个漂亮证法与读者分享.证法1设复数z_1=1+ai,z_2=1+bi,z_3=1+ci,则1+a2))(1/2)≥1+a+b+c.这是2017年沙特阿拉伯JBMO的一道不等式,左边有根号而右边没有,因此将左边根号去掉是解题的关键.下面介绍两个漂亮证法与读者分享.证法1设复数z_1=1+ai,z_2=1+bi,z_3=1+ci,则1+a2=z_12=z_12,1+b2,1+b2=z_22=z_22,1+c2,1+c2=z_32=z_32, 相似文献
11.
史彩玉 《第二课堂(小学)》2008,(6):59-61
b2=|b|2=(2n-3m)2=9m2-12m·n+4n2=9-12×1/2+4=7,∴|a|=71/2,|b|=71/2.又∵a·b(2m+n)·(2n-3m)=-6m2+m·n+2n2=-6+1/2+2=-31/2,∴cos〈a,b〉=(a·b)/(|a||b|)=(-31/2)/(71/2×71/2)=-1/2,∴向量a与向量b所成的角为120°. 相似文献
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13.
本文主要将斐波那契数列推广到更一般的二维线性递归数列{Tn}.{Tn}满足Tn=(I,n=1,a,n=2,aTn-1+bTn-2,n≥3,其中a,b∈R且a2+4b>0,给出并证明了其通项公式Tn=1/(a2+4b)1/2[((a+(a2+4b)1/2)/2)n-(a-(a2+4b)1/2)n;其次证明了其性质TnTn+d-Tn+1Tn+d-1=-(-b)n+1Td-1,其中d≥2;最后例说了通项的应用. 相似文献
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15.
解三角形中的存在性问题是教学中的一个难点,到底是一解还是两解,需要我们做出准确、细致的估计、判断.请看2012年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理科第13题例1设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=3/5,cosB=5/13,b=3,则c=<sub><sub><sub>.解:(公共部分)由已知可得A,B均为锐角,sinA=4/5,sinB=12/13,cosC=sinAsinB-cosAcosB=33/65.由正弦定理得a/(4/5)=3/(12/13),所以a=13/5.错解:由余弦定理得(13/5)2=32+c2-2·3·c·3/5,即25c2-90c+56=0.所以c=14/5或4/5.错因分析:(法1)cosA=39/65,cosB=25/65,cosC=33/65,0C>A,b>c>a.故c=4/5不符合题意,舍去.故c=14/5.(法2)由cos60°=1/21/2/2=cos45° 相似文献
16.
文[1]给出了数学奥林匹克司题高229题:"已知a,b,c∈R+,abc=1,求证:1/a+1/b+1/c+3/a+b+c≥4"的简证后,又将之推广为:"已知a,b,c∈R_+,abc=1,0<λ<9/2,则1/a+1/b+1/c+λ/a+b+c≥3+λ/3"·笔者探究发现,该推广对λ=9/2也成立,而且从λ=9/2入手证明之更加简便.现介绍于后,以供参考. 相似文献
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18.
<正>人教A版数学必修5第20页习题13:△ABC的三边分别为a,b,c,边BC、CA、AB上的中线分别记为ma,mb,mc,应用余弦定理证明:m_a=1/2(2(b2+c2)-a2)(1/2),m_b=1/2(2(a2+c2)-b2)(1/2),m_b=1/2(2(a2+c2)-b2)(1/2),m_c=1/2(2(a2+b2)-c2)(1/2),m_c=1/2(2(a2+b2)-c2)(1/2).证明如图1,在△ADC中,由余弦定理,得 相似文献
19.
题目设a,b,c∈(0,+∞),且abc=1,求证:1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3≥3/2.(a+b)这是1995年第36届IMO竞赛试题的第2题.该题的证明方法较多,为简化证明,先作等价 相似文献
20.
刘春杰 《中学数学研究(江西师大)》2013,(6):23-24
文[1]给出如下不等式猜想:若a,b,C是正实数,且满足abc=1,则a~2/2+a+b~2/2+b+c~2/2+c≥1.很多数学杂志给出了这个不等式的证明,下面笔者再给出一个简单的证明,证法1:由二元均值不等式得a~2/2+a+2+a/9≥2/3a(?)a~2/2+a≥5a/9-2/9,同理得到b~2/2+b≥5b/9-2/9;c~2/2+c 相似文献