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《中学数学教学参考》2003,(7):48-51
(未注明者为理科题 ) 一、填空题 (本大题满分 48分 )1 .函数 y=sinxcos x +π4+cosxsinx +π4的最小正周期T = .2 .若x =π3 是方程 2cos(x +α) =1的解 ,其中α∈ (0 ,2π) ,则α = .3 .在等差数列 {an}中 ,a5=3 ,a6 =-2 ,则a4 +a5+… +a10 = .4.在极坐标系中 ,定点A 1 ,π2 ,点B在直线ρcosθ+ρsinθ =0上运动 ,当线段AB最短时 ,点B的极坐标是 .4.(文科 )已知定点A(0 ,1 ) ,点B在直线x +y =0上运动 ,当线段AB最短时 ,点B的坐标是 .5 .在正四棱锥P ABCD中 ,若侧面与底面所成二面角的大小为 60°,… 相似文献
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计宗良 《苏州教育学院学报》1985,(1)
中学教材中极坐标的一般定义规定:ρ≥0,0≤θ<2π。在实际应用中,取消限制,规定ρ、θ可取任何实数,即-∞<ρ<+∞,-∞<θ<+∞。由于(ρ,θ)和(-1)~tρ,θ+tπ](t为整数)在平面上表示同一点,故若F(ρ,θ)=F[(-1)~tρ,θ+tπ]表明极角θ增加tπ时,对应点[(-1)~tρ,θ+tπ]又回复到(ρ,θ),这种特性叫极坐标方程表示曲线的周期性,tπ称为周期,其中最小正值为最小正周期。 相似文献
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在极坐标系下,曲线C_i的方程记为 f_1(ρ,θ)=0(i=1,2). 一、交点坐标与方程组解的关系: 所谓方程j(ρ,θ)=0是曲线C的极坐标方程,即满足:①f(ρ,θ)=0的解对应的点都在曲线C上;②曲线C上任一点的极坐标(ρ,θ)都满足方程f(ρ,θ)=0.由于点的极 相似文献
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在极坐标系里,平面上的点与其坐标之间的关系不是一一对应的,这是极坐标与直角坐标的根本区别,这种区别根源于点的极坐标的定义而产生的多值性(即同一点的极坐标不只一个)。利用具有这种特性的极坐标来研究某些问题(特别是旋转运动的轨迹)尤其方便,比直角坐标优越得多。本文着重讨论点的极坐标的多值性,并对极坐标的某些应用作初步探讨。一、点的极坐标的多值性。首先,若(ρ,θ)为任意有序实数对,则(ρ,θ)与(-ρ,θ π)都表示同一点的极坐标。 (1)当ρ>0时,以(ρ,θ)为坐标的点M可以唯一地确定:作射线OP,使∠XOP=θ,在OP上取点M,使|OM|=ρ;而-ρ<0,按“规则”([1]P175)确定以(-ρ,θ π)为坐标的点M'的位置:作射线 相似文献
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圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)……(1)中,当01时,它表示有心的二次曲线(椭圆,或双曲线),如果极坐标方程(1)化成直角坐标方程是(x-m)~2/a~2±y~2/b~2=1……(2),下面给出极坐标方程(1)中顶点的极径ρ与直角坐标方程(2)中a、b、c之间既简单又便于记忆的转化公式。 [定理一] 在极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)中…(1) 当01)时,设椭圆长轴两端点(或双曲线或实轴两端点)的极坐标分别是(ρ_1,0)和(ρ_2,π),则: 相似文献
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极坐标系与直角坐标系一样，它们都是解析几何学科中的重要知识，在完成解析几何教学任务中同样起着重要作用．分清直角坐标系与极坐标系中有关问题的异同，对教与学都是有好处的．一、点的坐标点的直角坐标为（x，y)，点的极坐标为（ρ,θ），它们相同的是，点都是由两个实数（一个有序实数对）决定的．它们不同的是，点与它的直角坐标有一一对应的关系，而点与它的极坐标却没有这种关系．具体地说，给定极坐标ρ和θ后就唯一确定一个点，但反过来，一个非极点的极坐标有（ρ,θ），（ρ，2kπ＋θ），（-ρ,（2k＋1）π）（可以统一为((-1… 相似文献
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[定理]设有曲线的极坐标方程:ρ=f(θ),(α<θ<β)…(1)与ρ=g(θ),(α-(2k+1)π<θ<β-(2k+1)θ)…(2)如果对于任意θ∈(α-(2k+1)π,β-(2k+1)π),恒有 相似文献
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定理若 a>0,则将等速螺线ρ=ρ_0+aθ绕极点旋转((2ρ_0)/a-π)弧度即得等速螺线ρ=ρ_0-aθ.证明将等速螺线ρ=ρ_0+aθ(a>0)连同所在的极坐标系绕极点旋转((2ρ_0)/a-π)弧度,则所得的等速螺线在新系中的方程为:ρ′=ρ_0+aθ′.又由全日制十年制学校高中课本第二册第202页第6题之结论得: 相似文献
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1 圆锥曲线焦点弦的长度取值范围定理 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )的离心率ｅ=ｃａ ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,ｐ =ｂ2ｃ .设椭圆焦点弦ＡＢ的长度为ｄ ,则ｄ∈ 2ｅｐ ,2ｅｐ1-ｅ2 ,即ｄ∈2ｂ2ａ ,2ａ .证明 以椭圆的左焦点为极点 ,建立极坐标系 ,椭圆的极坐标方程为 ρ =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ.不妨设ＡＢ为过左焦点的弦 ,Ａ( ρ1,θ) ,Ｂ( ρ2 ,π θ) ,θ∈〔0 ,π) ,则 |ＡＢ|=ρ1 ρ2 =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π θ)=2ｅｐ1-ｅ2 ｃｏｓ2 θ.当ｃｏｓθ=0 ,即θ =π2 时 ,|ＡＢ|ｍｉｎ=2ｅｐ =2ｂ2ａ ;当ｃｏ… 相似文献
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定理 1 过圆锥曲线焦点的直线ｌ对于过焦点的对称轴的倾斜角为α ,且与圆锥曲线交于Ａ、Ｂ两点 ,若焦点Ｆ分弦ＡＢ所成的比为λ ,则λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.(ｅ为离心率 ) 图 1证明 过焦点Ｆ作准线的垂线 ,垂足为Ｋ ,以焦点Ｆ为极点 ,ＦＫ的反向延长线为极轴 ,如图 1,建立极坐标系 ,则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ｅｐ1 ｅｃｏｓθ(允许 ρ <0 ) ,∴ρＡ =ｅｐ1-ｅｃｏｓα,ρＢ =ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π+α) =ｅｐ1+ｅｃｏｓα.∵ ＡＦＦＢ =λ ,ＡＦＦＢ =ρＡρＢ =1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα,∴λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.说… 相似文献
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由平面直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ,可得极坐标系中两点P_1(ρ_1,θ_1)、P_2(ρ_2,θ_2)所决定的直线的斜率公式为: K_(p_1P_2)=(ρ_2sinθ_2)-ρ_1sinθ_1)/(ρ_2cosθ_2)-ρ_1cosθ_1)。本文拟应用这一公式来证明平面几何中有关直线互相垂直的一些问题。 相似文献
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一、选择题1.下列各组中 ,终边相同的角是 ( ) (Ａ) 3π5 和 2ｋπ -3π5 (ｋ∈Ｚ) (Ｂ) -π5 和2 65 π (Ｃ) -7π9和11π9 (Ｄ) 2 0π3 和12 2π92 .若｜ｓｉｎｘ｜ｓｉｎｘ +｜ｃｏｓｘ｜ｃｏｓｘ +｜ｔａｎｘ｜ｔａｎｘ =-1,则角ｘ一定不是 ( ) (Ａ)第四象限角 (Ｂ)第三象限角 (Ｃ)第二象限角 (Ｄ)第一象限角3 .若ｓｉｎαｔａｎα>0且ｃｏｓαｃｏｔα<0 ,则 ( ) (Ａ)α∈ 2ｋπ ,2ｋπ +π2 (ｋ∈Ｚ) (Ｂ)α∈ 2ｋπ+π2 ,( 2ｋ+1)π (ｋ∈Ｚ) (Ｃ)α∈ ( 2ｋ+1)π ,2ｋπ +3π2 (ｋ∈Ｚ) (Ｄ)α… 相似文献
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何豪明 《数理天地(高中版)》2010,(11):20-20,19
题目 如图1,在极坐标系Ox中,已知曲线
C1：ρ=4sinθ（π/4≤θ≤π/2）,
C2：ρ=4cosθ（π/4≤θ≤π/2或3π/2θ≤2π）. 相似文献
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《数学大世界(高中辅导)》2002,(6)
结论1 圆心为(r,θ0),半径为r的圆(?)极坐标方程是ρ=2rcos(θ-θ0). 该圆特征是过极点,由于对极坐标要求放低,近年高考几乎都是考查结论1. 例1 (2000年全国高考题)以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是( ) 相似文献
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一、最简单的知识 1.极坐标与直角坐标的互化公式 2.点的对称性点(ρ,θ)与点(ρ,-θ)或(-ρ,π-θ)关于极轴所在的直线对称. 相似文献
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在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。 相似文献
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全日制十年制学校高中数学二册课本P181推导出极坐标和直角坐标的互化公式,即 x=ρcosθ,y=ρsinθ.(1) ρ~2=x~2+y~2,tgθ=y/x,(x≠0) (2) 教材接着指出:在一般情况下,ρ取正值,由tgθ确定θ角时,应根据点M所在的象限取最小正角。利用公式(1)、(2),可以把点的坐标或曲线的方程由直角坐标的化成极坐标的,或由极坐标的化成直角坐标的。课本强调在一般情况下,ρ取正值,这在练习与习题中绝大多数题都是奏效的,正因为这一点,不少人,甚至有些书刊都忽视在某些问题中,ρ必须取正、负值,或者只能取负值。例如,由人民教育出版社出版的“全日制十年制学校高中数学第二册教学参考书P218对课本P189习题二十三第12题所作答案是极坐标方程为ρ=2αsinθcosθ,即ρ=αsin2θ(1), 相似文献
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本文应用极坐标系中过P_1(ρ_1,θ_1),P_2(ρ_2,θ_2)两点的直线方程:sin(θ_2-θ_1)/ρ=sin(θ_2-θ)/ρ_1 sin(θ-θ_1)/ρ_2(ρ_1≠0,ρ_2≠0)来证明几何中关于线段相等的竞赛题。这一直线极坐标两点式可应用坐标互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ代人直角坐标系两点方程:(x-x_1)/(y-y_1)=(x_2-x_1)/(y_2-y_1)中,通过三角恒等变形得到。例 1 以等边△ABC的边BC作直径向形外作半圆。在这半圆上取点K和L分半圆 相似文献