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1.
一二阶方程解的有界性定理的改进考虑二阶微分方程 d厂,.、dx、1.、飞,。 二些(。(t、一竺止、、一a(t)X=0 d t kr、一产dt/飞、一产一19了8年,M·Marini与P·Zezza证明了(‘’(1)定理A设(i)(11)q(t)举O, co JS(t)〔C‘〔a,co),q(t)〔C〔a,co),a>一oo,P(t)>o,(t))0。则在〔a,co〕上方程(l)的一切解均为有界的充要条件pq是互F初 一985年, 定理B〔lq(J)dJ〕ds相似文献
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设a、、占、(i=z,2,3,…,n)为任意实数,则(a子十。圣 一 武)(峨 砖一十此))(。1占l aZ占: … an占,)2,式中等号当且仅当 证:拱=罕=…=努时成立,这就是著名的柯西不bl如b,’‘一’一’‘一一‘一一一”‘一·所以例3 二圣1一xl二成立,故原不等式成立.设二1·二2··…二,〔R十,且i哥二、一‘,求 二圣1一xZ 2 J”、1十丁一一一二多,一万 1一工”n一1等式,应用甚广. 文〔1」用等号成立条件法,给出了一类分式不等式的巧妙证明,现就该文中各例,通过添配适当的因式,运用大家熟悉的柯西不等式证之,以资比较. 例1设a,b,。都是正数,证明: (《数学通… 相似文献
3.
本文推广定理1角降幂公式设k任N,k)2,〔尝〕‘;f导列有艺曰Cos口1Zk一1a(、k)eos(左十2一2,)。.()gOl午第六明27n勺﹄系数a(气、i两足a‘扩,=z,Jl.(a”)=“、从+a(梦.,、〔宁〕)一卉〔·:n’一‘二,,一弓,_磅l‘,)。。、(,卜:一21,‘了i一(2)+(夕忆,11n︸,‘(k一卜1)吃k) ~(n〕‘+切,1,cOS“·若k为偶数,“梦1二 (取)Zak二+a2咔记a‘丫+,)=a{’=1,口(飞川=。}少二一2若k为奇数,则a (玉)口k+1 2‘““‘晋,,飞+‘+a;n,知)证应用归纳法。e 05忍a(eosZa+1),定理结论成立. 对奇数,,有eos”’卜’a绝2c 05’a=专‘a‘;,cosZa+a(梦,cosa,其中… 相似文献
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定理:设{a。}是等差数列,且p, P: P3 … P二~叮, 口: 口3 … g,(其中P,、P:、P3、…、P。,,1刃2、宁3、…、口.及m均是自然数),则a,, a户2 a,3 ’二 a户二一aoz aoZ ao3 ’‘’ a;二· 证明:设等差数列{a。}的公差为d, 丫P, PZ P3 … P一ql qZ q3 … q,, ·‘·a户1 a一2 aps ”’ a,。 =〔a, (PI一1)d〕 〔a; (PZ一1)d〕 〔a: (P3一1)d〕 … 〔al (P,一1)d〕 一mal (Pl PZ 户3 … P,)d一md =mal十(91 92 93 … 口。)d一md 一〔al (口1一1)d〕 〔a, (口2一1)d〕 〔a, (93一1)d〕 … 〔a一 (q,一1)d〕 一a气 a勺十a、 …十a、· 上… 相似文献
5.
i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:… 相似文献
6.
文[1]将一个不等式推广为: 定理1设*0(1,2,,),2,iainnmN>=澄L且1niiSa==,则有11111mnnmiiiiiaaSan-==--邋.(1) 本文中“”的等号成立均当且仅1a= 2naa==L.以下略. 记()1nttiiSa==,文[2]给出了不等式(1)的一个指数推广: 定理2 设12,,,(2)naaanL,P皆为正实数,则对任意非负实数q,有 ()()11pqqnippiiaSSan+=--. (2) 本刊文[3]将不等式(1)推广为: 定理3 设0(1,2,,),2,iainn>=矻 *,mkN,且mk>,则有 111()(1)mnnmkiikkiiiaaSan-==--邋. (3) 本文引入两个参数,cb,将不等式(2)进一步推广为: 定理4 设,,,,(1,2,iicbpacbaRi+-? ,L… 相似文献
7.
设x,a为实数,〔妇表示不超过a的最大整数.则有 a r e 5 in(5 1 nx)=‘一‘,〔,(一〔令合〕·),a r eeos(eo sx)=‘一‘,〔a(x一印一羞一)‘r。七;(t、二,二一〔万‘合〕·‘x“‘ 号,‘任z,,ar。c。‘(c t gx)=x一〔器〕‘(x今k爪证令一k任Z)。k,‘粤(无任z) 乙则i一2李、k落: 石兀取‘=〔聋·扫X一汀.1、\十丁J兀少X一兀尹Ik 一 X声‘、 n .‘1 S则凳 韵为偶),产.、/饭、nX5 InX十合)为奇)X一才尹..叹户了、s一/!lj、;一(一1)〔盖 告〕5 1 nX-:a re sin(sinx)=(一l)〔七.全〕a r C 51·{(一i)〔乞 5 in(一〔器 扫二)}:一〔穿 合〕今.… 相似文献
8.
柯西不等式:设a‘,b‘任R(i二1,2,…,n)则(a;b: aZ吞: … a沪。)2簇(a资 a圣 …… a乙)·(峨 砖 ……十砚)等号当且仅当久=肋‘或b‘=触‘时成立,它是一个十分著名的不等式.应用它的变形证明不等式简单明了.本文将介绍它的变形在解题中应用. 令bl=b:=·一=b。=1,两边开平方得变形(1) 变形(1):a: a: ·一 a二((a圣 a圣 …… 。幼彭石.等号当且仅当。,二。2=‘””’=a。的成立. 例la,b,‘eR十,a b :=1.求证:了i3a l J 13吞 l J 13‘ i成4月 证明:因为a,b,。eR ,a b ‘二1,由变形(l) 所以J13a i Ji3,b i /13。 l((13。 i 13。 1 13: i)晋… 相似文献
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文[1]利用均值不等式给出一道最值问题的通解(法一),并将该问题作了进一步的推广;文[2]用向量法对该问题及其推广进行解答(法二).本文将应用空间几何知识和柯西不等式,给出该问题及其推广的另外两种解法(法三,法四). 文[1]的问题及其推广是: 问题 已知a,b,c,x, y,z 是实数,a2 b2 c2=1, x2 y2 z2 = 9 ,求ax by cz 的最大值. 问题推广 已知ai,bi(i =1,2,L,n)且∑an n n 2 = p, 2 i ∑b i = q ,求 aibi 的最大值. ∑ i=1 i=1 i=1 … 相似文献
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李康海 《中学数学研究(江西师大)》2006,(3):20-21
文[1]将一个无理不等式推广为:定理1 设正整数 n≥3,a_i∈R~ (i=1,2,…,n),实数 k≥(n-1)/n,则有∑(a_1/(a_2 a_3… a_n))~k≥n/(n-1)~k,当且仅当 a_1=a_2=…=a_n 时取等号.(∑表示对 a_1,a_2,…,a_n 的循环和)文[2]给出如下两个定理:定理2 若 a_i>0(i=1,2,…,n),s=,则(其中m≥1,n≥2,n∈N,p≥0,A>a_i~p).(1) 相似文献
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本文定理1以不同于文献[2〕,[31的方式推广了【门的结果,定理3还是[2〕,〔31相应定理的推广。 定理1设(E,F,△)是具连续t一范数△的可一完备的Menger空间,T:E一E,人6(o,l),对每一xCE,存在一正整数n(x),使得对一切yCE,t>o,有F(T,(‘,x,T”(·,y,t)》m inF(y,F(x,y,资),F(二,T。‘·,y,资万)T·《·,二,资),又设对每个xCE,轨道OT(‘;O,OO)概率有界,则T在E中存在唯一不动点zVxCE,迭代序列{Tkx}叮一收敛于2.(1)且对:二,,,,,。二、___二n(1,),.;_n,…。,n、一n日〔沙J‘.玉月人孟。弓‘,一7几】+压一1几J,.一妙,.,一呵、.,一以Q(i)… 相似文献
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本文介绍函数最值的若干性质.并运用它来巧解一类特殊方程. 定理一设li(x)(i=1,2,…,时均为实函数,M为实数.若f‘(x)(M(或f,(对)M)(f=1,2,…,。),则习f:(二)=nMof,(二)二fZ(二)二一f。(x)设了,(x)二了牙十 1了牙’Iz(。)一J矿+劣. v酬了3(:)一了了+李.显然有了、(二))2.fZ(妇梦2,fs(劝》2. 又fl(‘)+fZ(g)+13(z)二6=3又2. 由定理1,知f,(二)二介(Il)二了3仕)=2.二M. 定理二M‘(‘=i,2,设f。(,)(i=1,2,…,n)均为实函数,由了了+六~2.得二=1.…,n).均为实数,若了‘(幻(M‘(或了‘(:))万.)(‘二i,2,‘二,。),则名f.(二)二万M.刽‘(x)=M‘(i… 相似文献
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田富德 《中学数学研究(江西师大)》2008,(5):48-50
题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题)求最小的实数m,使不等式m(a~3 b~3 c~3)≥6(a~2 b~2 c~2) 1对于满足a b c=1的任意实数a,b,c恒成立.文[1]对此题作了以下推广1设a_i>0,i=1,2,…,n,n≥2,sum from i=1 to n a_i=1,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m sum from i=1 to n a_i~3≥A sum from i=1 to n a_i~2 B恒成立. 相似文献
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一个不等式推广问题的研讨 总被引：1，自引：0，他引：1
文[1]给出了如下: 定理1设a、b、c为正实数,l、m、n是不全为零的非负实数,则有 2aabcabc++l+m+nl+m+n, (1) 其中表示对a 、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lm=n=时成立. 文[2]将定理1推广为: 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、n是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabc--++l+m+nl+m+n,(2) 其中表示对a、b、c的循环和,当m>2时,等号当且仅当abc==时成立;当m=2时,等号当且仅当abc==或0,l筸=n0=时成立.. 本文从项数方面入手,将定理2推广为: 定理3 设1,2,,nxxxL为正实数,12,,ll ,nlL是不全为零的非负实数,2m,则有 11122mnnxxxx… 相似文献
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命回设心、al、a、。E N,i— 1,2,…,n,a—p;,m,…,an】(最小公倍数),a‘j尸.素.则不定方程 OI Og d。d。 xZ x7 xk" W有无穷多正整数解. 证明;设 b、c、n;、n。、k;、k。 6 N,令。;一b,·。(i。 l, 2,…,n),y—b”J· c”。代入①,得 \4M di多”厂了7丁灭一d”i7ry7N;:·W *一否*一巨@〔-z工-1’l‘飞 取心一a,c一乙心,则②式化为 i——l ”;.c“。-‘一沪1·产。, ’(伽;一ahl一l,③即厂、“。“; 1叭一伽。一l.① 山于a与。互素,故不定人… 相似文献
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题21.设数列厦a,、},定义 a。*:== Za,:+ZaJ._,(n=2,3,凌,…) (i)如果数列{aJ、十,一aaJ:}是以月为公比的等比数列(a,月是实数),那么氏乃是方程xZ一2x一2=0的两个根. (2)若a,=1,a:=2,试求通项公式al. 解(i)由{:L;、十,一a:,;、}是以月为公比的等比数列,得(2)若{a,、+1首先证明如下命题成立:}是数列,定义=Za。+Za。_;,(n二2,3,…)且a一l+l一“〕一i即Za、1+2:,二尽(:,工一以几一J二l=月::‘._:)。.1一八月几._,.比较等式两边系数,有 “+月二2,a月二一2.所以a、月是x“一拟一2=。的两个根.a、日是方程x“一2x一2二o的两个根,则数列{a。+J… 相似文献
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郭胜光 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z2)
设ai和bi(i=1,2,…,n)都是实数,则(a12 a22 … a2n)(b12 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2(1)(1)当且仅当ai=kbi(i=1,2,…n)时成立等号,这就是通常所说的哥西不等式.由该不等式很容易得到一个推,实际上,在不等式(1)中,令ai=xiyi,bi=yi(i=1,2…n)得:x12y1 xy222 … yx2nn(y1 y2 … yn)≥(x1 x2 … xn)2xy121 yx222 … yx2nn≥(x1 x2 … xn)2y1 y2 … yn(2)我们把不等式(2)称为哥西不等式推广即:设xi∈R,yj∈R (i=1,2,…,n),则yx121 yx222 … yx2nn≥(xy11 xy22 …… xynn)2,当且仅当xy11=yx22=…=yxnn时成立等号.哥西不等式推广在处理… 相似文献
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一道国际奥林匹克试题的再研讨 总被引：2，自引：0，他引：2
第42届(2001)年国际数学奥林匹克试题第2题为: 对所有的正实数a,b,c,证明笔者在文[1]中已作了探讨,得到如下推广定理: 设x_i>0,i=1,2,…,n,n为自然数且n≥2,x_1x_2…x_n=p~n,p为正实数且p≥n~2-1,则 相似文献
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5.证明:若a.b,c是三.角形的三边,且25二a+b+e,则。I因为2(a十b+c夕黑D十C十一竺- a+C en~厂2、十~一一一-二一‘二‘耳—} a+D\3/8·n一’.厂二一~十二生一\a+l〕匕+Cn专1丫" 6.给定5个实数U。,明:总能找到5个实数V。足下列条件.U,,U:,U3,U;.121丁,V,,V:.V3,、厂‘i}街及+击〕脚 a竺粤{竺〕〔梦(a一卜b+c)听以「匀(l)得到 (1)U;一V:eN: (2)习(\厂、一\rj)“<4. o‘i相似文献