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4合理类比原有图形,灵活改造图形条件原题是由三角形的内心、外心构造出的命题.若将两内心换成垂心,则有图7题6如图7,给定正△ABC,D是边BC上任意一点,△ABD的外心、垂心分别为O1、H1,△ACD的外心、垂心分别为O2、H2.求证:(1)∠H1O1H2=∠H1O2H2;(2)O1H1 O2H2为定值;(3)|S△ABD-S 相似文献
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对于三角形“四心”(重心、垂心、外心、内心)的有关向量问题是同学们学习中的一个难点,同时也是高考的一个热点．本文就此介绍三角形“四心”的向量形式的证明及应用,供大家参考．结论1(重心) G是△ABC的重心的充要条件是(?)=0．结论2(垂心) H为△ABC的垂心的充要条件是(?)． 相似文献
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武心录 《连云港师范高等专科学校学报》1995,(4)
三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。 相似文献
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题目(人教版《几何》第二册复习题三Pll3第13题)如图】,A是CD上的一点,△ABC、△ADE都是等边三角形,BD. 分析:易证 证明:因为 所以AB=求证:CE=△ABD兰△ACE(SAS).△ABC为等边三角形,AC,乙召沌C二60“. 因为△ADE为等边三角形, 所以AD二AE,乙E.4D二600, 所以乙BAD二乙CAE=1200, 所以△ABD鉴△ACE, 所以CE二BD. 一、条件不变,引伸结论 变式I:在原题目不变的前提下,可以探求以下结论: (l)求证△ABF哭△ACC; (2)求证AG二AF: (3)连结‘F,求证△A‘F是等边三角形; (4)求证CF// CD. 证明:(l)因为△ABD丝△AcE, 所… 相似文献
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三角形的外心、重心、垂心共线,此线称为欧拉线。现收集欧拉线的各种证法供参考。设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心,试 相似文献
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题目 设点I、H分别为锐角△ABC的内心和垂心 ,点B1 、C1 分别为边AC、AB的中点 .已知射线B1 I交边AB于点B2 (B2 ≠B) ,射线C1 I交AC的延长线于点C2 ,B2 C2与BC相交于K ,A1 为△BHC的外心 .试证 :A、I、A1 三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2 的面积相等 .1 试题的背景此题是以下面两个命题为背景改造而来的 .命题 1 三角形的两顶点与其内心、外心、垂心中的两心四点共圆的充分必要条件是另一顶点处的内角为 60° .证明 :当三心有两心重合 ,或三角形为直角三角形时 ,结论显然成立 .下面讨论三心两两不重合且三角形… 相似文献
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1765年,瑞士数学家欧拉(Euler)发现了如下定理:定理1(欧拉定理) 设△ABC的外接回、内切圆的半径分别为R、r,其外心到内心的距离为d,则d~2=R~2-2Rr这个优美对称的结果,激发我们去寻求三角形中其它特殊点如重心、垂心、内心、外心之间的距离的计算公式.对此,我们有如下的定理2(心距定理) 设△ABC的三边为a、b、c,外接圆、内切圆半径分别为R、r,其外心、内心、垂心到重心的距离分别为e、f、g,外心到垂心的距离为k,则 相似文献
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题目如图1,在等边三角形 ABC 的三边上,分别取点 D、E、F,使 AD=BE=CF.求证:△DEF 是等边三角形(人教版义务教材《几何》第二册 P116页第14题). 相似文献
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设△ABC的外心、内心、重心和垂心分别为O，I，G，H，如图众所周知，O、G、H三点共线且OG=1/2GH，所以OG=1/3OH．GH=2/3OH．在△IOH中应用斯特瓦尔特定理有∴将它们代入（1）式得这样，我们得到了三角形的四心：外心、内心、重心和垂心间的距离之间的关系式．三角形中“四心”的关系@布仁$内蒙古海拉尔师专 相似文献
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王祥 《初中生学习指导(初三版)》2023,(8):24-25+31
<正>引例（教材第12页习题1.4第1题）已知：如图1,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB和AC于点D,E.求证：△ADE是等边三角形.（证明略）对此题进行变式,可以得到一系列数学问题.变式1：将△ADE放到△ABC的外部,探究相等线段.例1如图2,△ABC,△ADE是等边三角形.求证：BD=CE. 相似文献
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锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质 ,本文对这两个性质加以证明 .性质 1 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心 .已知 :如图 1,锐角△ABC中 ,AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高 ,O为垂心 .求证 :点O为垂足△DEF的内心 .证明 :由已知条件可得D、C、E、O四点共圆 ,所以∠ 2 =∠ 4 ;同理∠ 1=∠ 3,又∠ 3和∠ 4都与∠ABC互余 ,所以∠ 3=∠ 4 ;所以∠ 1=∠ 2 ,EB平分∠FED ;同理可得FC、DA分别平分∠EFD与∠FDE .所以点O为△DEF的内心 .性质 1得证 .图 1 图 2性质 2 锐角三角形的所有内接三角形中 ,… 相似文献
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秦智慧 《数学大世界(高中辅导)》2013,(Z1):35-37,25
等边三角形是数学学习的一个基本图形,两个等边三角形进行各种各样的拼接,形成比较复杂的图形.但只要掌握三角形全等这个武器,就能快速准确分解复杂图形,防止其他无关信息干扰,从而快速获得解题思路,提高解题的有效性,收到化繁为简、化难为易的良好效果.一、以一个点为顶点向外作两个等边三角形基本题型:如图1:△ABC与△ADE都是等边三角形,点D在AC上,求证:BD=EC证明∵△ABC与△ADE都是等边三角形∴BA=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60° 相似文献
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在三角形中,关于三角形中诸元素的等式屡见不鲜.本文给出一组有趣的关系式.设G是△ABC的重心,AD、BE、CF分别为三边上的高.∠A、∠B、∠C所对三边为a、b、c,α为△ABC中最大的内角,O、H分别为△ABC的外心、垂心,R为△ABC的外接圆半径.可得出下面几个命题. 相似文献
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我们知道:三角形的内心,外心,重心,垂心等都有其独特的性质,这里,我们将介绍一个三角形外心与垂心相互联系的等式。即定理:三角形任一顶点至垂心的距离,等于外心至对边距离的二倍。已知H是△ABC的垂心,O是外心,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F, 求证:AH=2OD,BH=2OE,CH=2OF。证明:分两种情况讨论 相似文献
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三角形的外心、内心、重心、垂心和旁心不妨称它们为巧合点 ,三角形的巧合点各自具有不同的有趣性质 ,这里仅介绍关联这些巧合点中的某些点或全体点的一些性质及应用的例子 .性质 1 三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍 .性质 2 三角形的内心和任一顶点的连线延长与三角形的外接圆相交 ,这个交点与外心的连线是这一顶点所对的边的中垂线 .性质 3 三角形的内心和任一顶点的连线 ,平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角 .性质 4 三角形的外心、垂心、重心三点共线 (欧拉线 ) ,且重心与垂心的距离是外心与重心距离的… 相似文献
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唐枭义 《中学数学教学参考》2003,(10):61-61
定理 1 三角形的内、重、界三心共线且重心在中间 ,重界距离等于重内距离的 2倍 .证明 :设△ABC的内心为I,重心为G ,界心为J ,M为BC的中点 ,连结AJ、MI、IJ,AM ,IJ与AM交于G′.由 [1 ]知AJ∥IM ,由[2 ]知 ,AJ=2IM ,从而AG′ =2G′M .可见G′就是重心G .进而知三心共线 ,且JG =2GI.定理 2 三角形界心与重心的连线 ,平行于外心与内心的连线 ,且等于其 2倍 .证明 :在△ABC中 ,设I、O、G、H、J依次为内心、外心、重心、垂心和界心 ,由欧拉线性质知GH =2GO ,由定理 1知JG =2GI,从而知JH∥=2OI.新“欧拉线”$安徽省枞阳… 相似文献
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题目 如图1，A是CD上的一点，△ABC、△ADE都是等边三角形，求证：CE=BD．(人教版《几何》第二册复习题三P113第13题) 相似文献