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1.
函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实 相似文献
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赵永琴 《数理天地(高中版)》2005,(12)
用导数法求函数的极值,是求极值基本方法,在解决这类问题时,如果对法则、定理一知半解或理解不透,很容易造成极值点的遗漏.可导函数y=f(x)在某一点x_0处取得极值的必要条件是这一点x_0的导数f′(x_0)=0.因此求可导函数y=f(x)的极值可以按照下列步骤进行: ①先求函数y=f(x)的导数f′(x); ②令f′(x)=0求得根x_0; ③在x_0附近左右两侧判断f′(x_0)的符号,左正右负为极大值点,左负右正为极小值点. 相似文献
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一、三次函数的图象及其性质对于三次函数 y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),我们有 y′=f′(x)=3ax~2+2bx+c.设导函数 y′=f′(x)的判别式为△=4b~2-12ac=4(b~2-3ac).(1)当 a>0时,(i)若△>0,则方程 f′(x)=0有两个不等的实根。设两实根为 x_1,x_2(x_10、f(x_2)<0)时,图象与 x 轴有三个不同的 相似文献
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王强芳 《中学数学教学参考》2008,(7)
题目 (2005年,辽宁,理科第22题)函数 y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数 f′(x)是减函数,且 f′(x)>0.设 x_0∈(0,+∞),y=kx+m 是曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线的方程,并设函数g(x)=kx+m.(Ⅰ)用 x_0、f(x_0)、f′(x_0)表示m;(Ⅱ)证明:当 x_0∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x); 相似文献
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刘晓霞 《中学生数理化(高中版)》2007,(5):23-24
一、混淆曲线y=f(x)在点P处的切线与过点P的切线例1已知曲线y=f(x)=(1/3)x~3上一点P(2,8/3),求过点P的切线方程。错解:f′(x)=x~2.设过点P的切线的斜率为k,则k=f′(2)=4. 相似文献
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文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4 相似文献
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考题再现:(2010·天津卷21)已知函数f(x)=(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x);(3)如果x_1≠x_2,且f(x_1)=f(x_2)证明:x_1+x_2>2. 相似文献
9.
题1对于任意的x~1,x~2∈R,若函数f(x)=2~x试比较f(x_1) f(x_2)/2与f(x_1 x_2/2)的大小关系.结论f(x_1) f(x_2)/2≥f(x_1 x_2/2)(当且仅当x_1=x_2时取"=");题2对于任意的x_1,x_2∈(0, ∞),若函数f(x)=lgx,试比较f(x_1) f(x_2)/2与f(x_1 x_2/2)的大小. 相似文献
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设一元二次方程x~2+px+q=0的两个根为x_1和x_2,则由根与系数的关系,x_1+x_2=-p,x_1x_2=q;反过来,以x_1,x_2为根的一元二次方程是x~2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0。下面谈谈这一原理在解方程或方程组中的应用。例1 解方程2(x~2+1)/(x+1)+6(x+1)/(x~2+1)=7。 相似文献
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周德春 《数理天地(高中版)》2006,(10)
题1已知曲线C：f(x)=x~3-x 2,求经过点P(1,2)的曲线C的切线方程．学生的解答雷同：解由f′(x)=3x~2-1得切线的斜率k=f′(1)=2,所以过点P(1,2)的曲线C的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x．分析解题时犯了审题不清的错误．此处所求的切线只说经过P点,并没有说P点一定是切点．故切线的斜率k与f′(1)不一定相等． 相似文献
12.
王化栋 《周口师范学院学报》1997,(4)
求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下的最小值,通常有如下几种解法: 解法一 应用一元函数的配方法 由条件x十y=1,得y=1—x,将其代入f(x,y)=x~2 y~2,得到一元函数 f(x)=x~2 (1—x)~2=2x~2-2x 1=2(x-1/2)~2 1/2(1)因为(x-1/2)~2≥0,故由(1)式知,当x=1/2时,函数f(x)取最小值。将x=1/2代入y-1—x,得y=1/2。因此,当x=1/2,y=1/2时,函数f(x,y)-x~2 y~2在条件x y=1下取最小值(1/2)~2 相似文献
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求已知点P(x_0,Y_0)关于直线y=kx m的对称点P＇(x,y),通常是解方程组 {1/2(y y_0)=k·1/2(x x_0) m (y-y_0)/(x-x_0)=-(1/k) 但当k=±1时,可直接用对称轴方程y=±x m即x=±y±m代换以求P＇点的位置。定理1 若P＇(x,y)是点P(x_0,y_0)关于直线y=x m的对称点,则 {x=y_0-m, y=x_0 m。证明比较简单,兹从略。特别地,当m=0时,点p(x_0,y_0)和点p＇(y_0,x_0)关于直线y=x对称。推论1 曲线f(x,y)=0关于直线y=x m对称的曲线方程是f(y-m,x m) 相似文献
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复合二次函数y=aφ~2(x) bφ(x) c(a≠0)的极值问题,在初等数学中占有非常重要的地位。先看一个例子: 已知x_1,x_2是方程x~2-(k-2)x (k~2 3k 5)=0(k是实数)的两个实根,x_1~2 x_2~2的最大值是(A)19,(B)18,(C)5 5/9(D)不存在。有人这样解:据韦达定理x_1 x_2=k-2,x_1x_2=k~2 3k 5,因此有 f(k)=x_1x~2 x_2~2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=-(k-2)~2-2(k~2 3k 5)即 f(k)=-k~2-10k-6它二次项系数为负,因此有最大值 4ac-b~2/4a=4(-1)(-6)-(-10)~2/4(-1)=19 相似文献
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侯宝坤 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):9-10,8
一、求函数解析式【例1】设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=1时,f(x)取得极小值-2,求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),由于其关于原点对称,为奇函数.故b=d=0.所以f(x)=ax3 cx,由f′(x)=3ax2 c,且x=1时,f(x)有极小值-2得f′(1)=3a c=0,f(1)=a c=-2,解之,得a=1,c=-3,所以f(x)=x3-3x.二、求函数单调区间与判断函数单调性【例2】求f(x)=x3 3x的单调区间.分析:首先确定f(x)的定义域,再在定义域上根据导函数f′(x)的符号来确定f(x)的单调区间.解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, ∞)f′(x)=3x2-3x2=3(x2 1)(x 1)(x-1)x2由于当x<-… 相似文献
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正一、定义本质1.导数的定义:f′(x_0)=limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)/Δx.2.导数的几何意义:f′(x_0)表示曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线的斜率.从图形直观我们易得:导数其实上是函数曲线上两点连线斜率的极端情形;曲线的切线可看作是过切点的割线的极限位置;具备凹、凸性的函数曲线必位于其相应切线的上、下方.二、构建模型 相似文献
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李彦龙 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):16-16,21
三次方程的根的个数,该如何求呢?利用导数,便可以解决.下面讨论:方程ax3 bx2 cx d=0(a>0)的根.分析:函数y=ax3 bx2 cx d的图象与x轴有几个交点,方程便有几个根.解:由题意得:f′(x)=3ax2 2bx c∵a>0∴y=f′(x)图象开口向上,且Δ=4b2-12ac(1)当Δ>0时,即4b2-12ac>0,b2>3ac时∴方程f′(x)=0有两个不同的实根,x1,x2不妨设x1x2时f′(x)>0,x1相似文献
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陈鸿斌 《中学数学研究(江西师大)》2021,(3)
1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值. 相似文献
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Hlder不等式及Minkow ski不等式是建立L~p空间和l~p空间的理论基础,有了这两个不等式,才能在L~p空间和l~p空间中引出具有普遍意义的范数来。 引理 若p>1,1/p+1/q=1,则对于任意A≥0,B≥0,有下列不等式 AB≤A~p/p+B~q/q (1) 证明 当AB=0时,不等式(1)显然成立。 当AB≠0时,考虑函数φ(x)=x~p/p+1/q-x(x≥0),由于,φ′(x)=x~(p-1),因此φ′(x)在x<1时,小于零,在x>1时,大于零。故φ(x)在x=1达到最小值0。即对任一x≥0,φ(x)≥0。令x=AB~(-p/q),则A~pB~(-q)/p+1/q-AB~(-p/q)≥0,以B~q乘以上式并注意到q-q/p=q(1-1/q)=1,即得(1)式 注1 (1)式只有在A~p=B~q时等号成立。 注2 当p=q=2时,这时(1)变成显然等式AB≤A~2+B~2/2 一、关于H(?)lder不等式 若p>1,1/p+/q=1,则有 1、H(?)lder不等式的级数形式:对于任意p幂收敛复数列{§k},q幂收敛复数列 相似文献
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浙江省高考数学卷理科第22题是一个考查函数内容的试题,它对函数的符号阅读、函数主元的选择和函数思想的运用等提出了比较全面的要求.题目设 f(x)=(x~3)/3,对任意实数 t,记 g_t(x)=t~(2/3)x-2/3t.(1)求函数 y=f(x)-g_8(x)的单调区间;(2)求证:①当 x>0时,f(x)≥g_t(x)对任意正实数 t 成立;②有且仅有1个正实数 x_0,使得 g_8(x_0)≥g_t(x_0)对于任意正实数 t 成立.1 对函数符号语言的阅读转化要求本试题中的函数、不等式都以符号语言呈现,首先对函数的符号语言提出了一定的阅读理解和转化要求,其中 g_t(x)=t~(2/3)x-2/3t 既是关于 x 的函数,又是关于 t 的函数,而 g_8(x_0)是 g_t(x_0)中当 t=8时所对应的函数,即 g_8(x)=4x-16/3.因此,第(1)小题中 相似文献