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1.
《数学教学通讯》1983年第4期上“证明不等式的若干特殊方法”一文中的例9:若θ∈(0,π/2),求证:cos(sinθ)>sin(cosθ)。笔者认为条件“θ∈(0,π/2)”可以取消,没有必要。现证明如下: 设f(x)=cos(sinx)-sin(cosx) (x∈R) 则 f(x)=cos(sinx)-cos(π/2-cosx)=-2sin((sinx-cosx+π/2)/2)×sin((sinx+cosx-π/2)/2) 相似文献
2.
杨轶博 《中学生数理化(高中版)》2006,(5)
三角函数中的公式特别多,选取不同的公式,解题的途径就会有很多.平面向量具有一套运算法则,它可把几何图形的性质转化为向量运算,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算,实现“数与形”的结合.我们在做题的同时,力求从不同的途径获得多种解法,开拓思维,有利于深刻理解问题的本质.例1已知sin2θ=35,而且0<θ<4π,试求2cos2s2in2θ-θ+sinπ4θ-1的值.解法1:把cosθ-sinθ化成2cosθ+4π,由条件利用半角公式分别求出cosθ+4π和sinθ+4π的值.原式=cosθ-sinθ2sinθ+4π=2cosθ+4π2sinθ+4π=cosθ+4πsinθ+4π,由sin2θ=53,0<θ<4π,得cos2π+… 相似文献
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数学教学,离不开解题教学,解题教学的过程正是思想交流,思维碰撞的过程,思维的发散与发展,能力的提炼与提升往往是难以预设的,如果把控不好,也会弄得“一发不可收拾”,还会被学生“牵着牛鼻子走”.
1 案例描述
在上完三角函数后,笔者开设了一堂习题课,在引导学生系统梳理这一章的知识网络后,出示了一道例题:若n∈Z,化简sin(nπ-α) cos[(n-1)π-α]sin[(n+1) π+a] cos(nπ+a). 相似文献
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著名的数学教育家玻利亚说过:"掌握数学就是意味着善于解题".习题教学是数学工作者数学活动的基本形式与主要内容.在习题解决过程中思维定势的负效应会抑制解题思路,妨碍学生创造性思维的发展,因此,有必要从构建网络体系、加强变式训练、培养求异思维和注重解后反思等方面入手帮助学生形成思维定势的正效应,注意思维定势负效应的校正. 相似文献
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周作杰 《中学数学教学参考》1994,(9)
2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ)cos2θ=cos~2θ-sin~2θ=(cosθ sinθ)(cosθ-sinθ) =2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ) ·2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ-2~(1/2)/2sinθ), 则得cos2θ=2cos(θ π/4)cos(θ-π/4)或者cos2θ=2sin(π/4 θ)sin(π/4-θ). 应用上面的结论求解某些余弦函数或正弦函数的乘积时则显得简洁又明快,现举例如下. 例1 求证sin15°sin30°sin75°=1/8. 证明:sin15°sin30°sin75°=1/2sin15°sin75° 相似文献
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第 18届中国数学奥林匹克 (CMO)第一天试题第 3题是 :给定正整数n ,求最小的正数λ ,使得对任何θi ∈ ( 0 ,π2 ) (i =1,2 ,… ,n) ,只要tanθ1 tanθ2 …tanθn =2 n2 ,就有cosθ1 +cosθ2 +… +cosθn 不大于λ .解答试题可得cosθ1 +cosθ2 +… +cosθn 的最小上界 ,那么 ,自然要问cosθ1 +cosθ2 +…+cosθn 的最大下界是什么 ?笔者探讨得到了更为一般的结果 ,并一举两得———推广了第 4 2届国际数学奥林匹克试题 2和文 [1]的结果 ;给出了IMO42 -2 推广的最小上界 .定理 1 给定正整数n和λ≥n2 - 1,对于任何θi ∈ ( 0 ,π2 ) (i … 相似文献
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唐钟文 《四川教育学院学报》2007,23(2):56-57,66
减轻学生学习数学的负担,提高高中数学教学的实效性,重点是加强学生数学思维能力的培养。高中学生学习数学存在的思维障碍主要是思维的肤浅性、片面性和思维定势的负面影响。突破这些思维障碍,教师应当分析学生思维的差异性,注重学生学习兴趣的培养,重视数学思想方法的教学,教给学生数学思维的方法,培养学生思维的深刻性、灵活性、变通性,从而提高学生的思维能力,提高数学教学效率。 相似文献
8.
《中学数学研究(江西师大)》2005,(4):47-50
第一天 郑州1月22日上午8:00～12:30 (每题21分) 一、设θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4.证明:存在x∈R,使得如下两个不等式 cosθ1cosθ2-(sinθ1sinθ2-x)2≥0,① cosθ3cos2θ4-(sinθ3sinθ4-x)2≥0,② 相似文献
9.
思维的灵活性指思维活动的灵活程度,指善于根据事物的发展变化,及时地用新的观点看待已经变化了的事物,并指出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法.学生思维的灵活性主要表现于:(1)思维起点的灵活:能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向.(2)思维过程的灵活:能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径.(3)思维迁移的灵活:能举一反三,触类旁通.如何使更多的学生思维具有灵活特点呢?我在教学实践中作了一些探索.1以“发散思维”的培养提高思维灵活性1.1引导学生对问题的解法进行发散在教学过程中,用多种方法,从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案,用一题多解来培养学生思维过程的灵活性.例1求证:1-cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=tanθ.证法1(运用二倍角公式统一角度)左=2sin22θ+2sinθcosθ2cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ(sinθ+cosθ)2cosθ(sinθ+cosθ)=右.证法2(逆用半角公式统一角度)左=1-cos2θsin2θ+11+cos2θsin2θ+1=tanθ+1cotθ+1=右.证法3(... 相似文献
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减轻学生学习数学的负担,提高高中数学教学的实效性,重点是加强学生数学思维能力的培养。高中学生学习教学存在的思维障碍主要是思维的肤浅性、片面性和思维定势的负面影响。突破这些思维障碍,教师应当分析学生思维的差异性,注重学生学习兴趣的培养,重视数学思想方法的教学,教给学生数学思维的方法,培养学生思维的深刻性、灵活性、变通性,从而提高学生的思维能力,提高数学教学效率。 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2018,(6)
<正>在数学解题中,用代换法通常可以把分散的条件集中起来,或者把条件和结论联系起来,使问题化繁为简。本文将例析代换法在解题中的妙用,仅供参考。1.三角代换例1求函数y=x+(1-x2)2)(1/2)的值域。解:因为1-x2≥0,所以-1≤x≤1。设x=cosθ,则(1-x(1/2)的值域。解:因为1-x2≥0,所以-1≤x≤1。设x=cosθ,则(1-x2)2)(1/2)=sinθ(θ∈[0,π]),即 相似文献
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蒋明权 《数学大世界(高中辅导)》2006,(6)
在处理比较复杂的数学问题时,分类讨论法是经常采用的方法之一.但若形成了思维定势,对所有较为复杂的数学题,都采用分类讨论法,都不去考虑数学问题本身的结构特点和所隐含的数学解题思想方法,势必会增加解题的运算量,误入歧途,于事无补.【例1】定义在R上的奇函数f( x) ,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,对于任意的θ∈[0,2π] ,均有f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0,试求实数m的取值范围.分析:首先看一看比较常规一点的解法———分类讨论法:因为f(x)是在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f( x)在(-∞,0]上也是增函数,所以f(x)在R上是… 相似文献
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现行高中新编数学教材第一册(上B)中有这样一道习题:已知cos(α-β)=-45,cos(α+β)=54,且(α-β)∈(π2,π),(α+β)∈(32π,2π),求cos2α,cos2β的值.题后括号里还附有提示:2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β).笔者认为,对学生不易想到的解题方法和技巧,应当给学生留有一定的思考时间进行探究,因而这一提示,实质上是个“蛇足”.基于上述认识,在教学中,笔者事先将这一习题作为例题呈现给学生,并取消了提示,让学生进行求解,结果有三分之二学生的解题过程是这样的:由cos(α-β)=-45,cos(α+β)=54,得cosαcosβ+sinαsinβ=-45,(1)co… 相似文献
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本文着重讨论:当θ∈[θ_1,θ_2],且0<θ_2-θ_1<2π,特别是ψ为非特殊值时,f(θ)=a cosθ b sinθ值域的求法及其一般规律。解题的途径是利用a cosθ b sinθ=(a~2 b~2)~(1/2)sin(θ ψ)。 相似文献
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孙艳荣 《中学生数理化(高中版)》2014,(12):59-59
<正>问题是数学的心脏,解题是教学的核心.针对学生而言,最直接的表现方式就是解题.解题过程是学生心理活动和思维能力的切入过程.培养学生解题能力要从实践、感悟、内化入手,让学生对自身思维结果进行验证和再认识.如果没有解题反思,学生数学思维就会停滞不前.因此,注重数学解题反思尤为重要.一、解题反思利于教学拓展数学解题过程可以被称之为采蘑菇现象.当人找到了第一个蘑菇之后一定会环顾四周是否有其他蘑菇.解题过程也是这样,不仅能帮助学生形成一定的认知结构,也能激发学生 相似文献
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配凑是解题过程中主要的转化手段,本文谈谈一些常用的配凑策略.1变“1”配凑例1把复数(1 sinθ-i cosθ)/(1 sinθ i cosθ)解 变1凑有:原式=((sinθ icosθ)(sinθ-i cosθ) sinθ-i cosθ)/(1 sinθ i cosθ)=(sinθ-icosθ)(sinθ icosθ 1)/(1 sonθ i cosθ)1 sin6 i cos6=(sinθ-icosθ)=cos(3π/2 θ ) i sin(3π/2 θ)2 已知 S一..86 i Sin6(oed=6M.),又1一Z”.llAfS_罗r_.__.一千六且加I一十个,arg.<十,求5的值.一1 z4——’一 3”一”—-2”“’””一(1993年全国高考试题)_….-.-,一,d矿一d)解 Y!ZI—1,二1—Z‘·Z’,人.一大于7卡夫””一‘“’””——-’””一ZZ (d zZ 相似文献
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解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2) 相似文献