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1.
本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC= 相似文献
2.
王春丽 《中学生数理化(高中版)》2013,(9)
一、自主梳理
1.正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,其中R是三角形外接圆半径.
2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=b2+c2-a2/2bc. 相似文献
3.
一、三角函数1.(全国高考题)△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=3/4. (Ⅰ)求cosA+cotC的值; (Ⅱ)设(?)·(?)=3/2,求a+c的值. 解析(Ⅰ)由cosB=3/4得sinB=(1-(3/4)2)~(1/2)=7~(1/2)/4 由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC. 于是cosA+cotC=1/tanA+1/tanC =cosA/sinA+cosC/sinC=(sinCcosA+cosCsinA)/sinAsinC 相似文献
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由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证 相似文献
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汤晓燕 《数学大世界(高中辅导)》2006,(3)
一、应用正弦定理判定【例1】已知在△ABC中,sin2A+sin2B=sin2C,求证△ABC是直角三角形.证明:由正弦定理sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,代入sin2A+sin2B=sin2C中,得4aR22+4bR22=4cR22,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.二、应用余弦定理判定【例2】在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,a≠b,且a·cosA=b·cosB.判定△ABC的形状.解:α·cosA=b·cosB,由余弦定理得α·b2+2cb2c-a2=b·a2+2ca2c-b2,化简整理得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∵a≠b,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.三、应用根的判别式判定【例3】若a、b、c为△ABC的… 相似文献
6.
肖斌 《中学生数理化(高中版)》2006,(4)
高考注重对学生素质和能力的考查,正弦定理的变式应用,较好地体现了这一精神,本文作一探讨,供大家参考．变式一:a/b=sinA/sinB,b/c=sinB/sinC,c/a=sinC/sinA．例1 若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是( )． 相似文献
7.
田富德 《中学数学研究(江西师大)》2013,(5):20-21
文[1]给出一道南昌市高中数学竞赛题的简证,该题可叙述成如下:命题1△ABC为等边三角形的充要条件是sinA,sinB,sinC顺次成等差且cosA,cosB,cosC顺次成等比.笔者对该命题进行了类比探究,以命题形式进行叙述,本文约定:△ABC三个内角A,B,G所对边分别为a,b,c.命题2 AABC为等边三角形的充要条件是sinA,sinB,sinC顺次成等差且cosA,cosB,cosC顺次成等差.证明:必要性显然,下证充分性.由sinA,sinB,sinC成等差,得2sinB=sinA+sinC,由正弦定理,得 相似文献
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郑观宝 《中学生数理化(高中版)》2006,(2)
一、高中数学(人教版)第一册(下)第129页正弦定理、余弦定理一节中,介绍正弦定理时,仅仅推出了a/sinA=b/sinB=c/sinC,而不是a/sinA=b/sinB =c/sinC=2R,这对同学们全面理解正弦定理是十分不利的,也给解题带来了许多麻烦．所以许多老师都补充了这个知识点,但证明方法大多采用初中的平面几何证法.事实上,利用向量证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,过 相似文献
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李慧英 《山西教育(综合版)》2005,(3)
【知识归纳】互余角的三角函数的关系sinA=cos(90°-A)cosA=sin(90°-A)tanA=cot(90°-A)cotA=tan(90°-A)同角的三角函数的关系平方关系sinA2 cosA2=1倒数关系tanA=1cotA相除关系tanA=sinAcosA解直角三角形的依据边的关系角的关系边与角的关系a2 b2=c2∠A ∠B=90°四种三角函数定义锐角三角函数的增减性sinA递增cosA递减tanA递增cotA递减【例题分析】例1.如图,△ABC中,∠C=90°,D在BC上,BD=4,AD=BC,cos∠ADC=35,求:(1)DC的长;(2)sinB的值.解:(1)Rt△ADC中,∵cos∠ADC=35,∴设DC=3k,AD=5k.∵BC=AD,∴BC==5k,∴BD=2k… 相似文献
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龚辉斌 《中学数学研究(江西师大)》2007,(12):19-20
文[1]用导数的方法证明了下面的结论在△ABC中,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC<2.注意到A:B=C=π/3时,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC的值等于3~(1/2),笔者不禁产生联想:` 相似文献
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在△ABC中,不等式:sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8(等号只在正三角形中成立)即三角形三内角之半的正弦积不大于1/8。兹将几种证法罗列如下。为了方便,记y=sinA/2·sinB/2·sinC/2,A、B、C和a、b、c分别表示△ABC的三内角和三边长,sinA/2、sinB/2、sinC/2均为正数。下不一一赘述。 相似文献
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本文将给出一个类似于正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R的余弦形式。然后举例说明它的应用。 [定理] 设△ABC的外接圆半径为R,垂心为H,则AH=2R|cosA|,BH=2R|cosB|,CH=2R|cosC|。证:设BC=a,AC=b,AB=c,取如图所示的坐标系,则A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA,bsinA)。∵ K_(AC)=tgA,而BH⊥AC,故K_(BH)=-ctgA。∴直线BH的方程为y=-ctgA(x-c),于是CH=|yC-yH|=|bsinA bcosA·ctgA-cctgA| 相似文献
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正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC和余弦定理{a2 b2-2ab·cosC=c2 b2 c2-2bc·cosA=a2 a2 c2-2ac·cosB=b2 是三角形边角关系的美妙体现,它们的发现和证明都显示着人类的智慧,是人类文明史上灿烂的一页. 相似文献
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1、问题:已知△ABC中,b=6~(1/2),a=3~(1/2),A=30°, C边最大,求B。(抽学生板演) 解∵a/sinA=b/sinB, ∴sinB=bsinA/a=6~(1/2)×1/2/3~(1/2)=2~(1/2)/2,又∵c边最大,∴ B是锐角,∴ B=45°。问若去掉“c边最大”这个条件呢? 答由于 0°相似文献
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在三角求值题中,常见到下面一类问题:在△ABC中,(1)已知sinA和sinB,求sinC;(2)已知sinA和cosB,求sinC ;(3)已知cosA和cosB,求sinC.这类题目的解法为sinC=sin(A B)=sinA·cosB cosA·sinB.需要知道sinA、sinB、cosA、cosB的值.但是在根据条件求这些值时,常考虑一解或两解情况.学生在这个问题上往往出现漏解或增解现象.下面给出一种判定方法. 相似文献
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题目已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a 2+b 2+c 2=3,则c的取值范围是.解答∵a+b+c=1,∴a+b=1-c,又∵a 2+b 2+c 2=3,∴a 2+b 2=3-c 2.根据均值不等式a+b 2≤a 2+b 22得1-c 2≤3-c 22,且该均值不等式成立的条件:a、b∈R,等号成立条件:a=0,b≥0或a≥0,b=0或a=b>0.解不等式1-c 2≤3-c 22得:1-c≤0,3-c 2≥0,或1-c>0,3-c 2≥0,()2≤3-c 22,∴1≤c≤3或-1≤c<1,综上可得:-1≤c≤3. 相似文献
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设A、B、C为三角形的三内角,则有 sin2A sin2B sin2C≤3(3~(1/2))/2 (1) sinA sinB sinC≤3(3~(1/2))/2 (2) sinA/2 sinB/2 sinC/2≤3/2 (3) sinA/3 sinB/3 sinC/3≤3·sinπ/9 (4) ……………… sinA/k sinB/k sinC/k≤3·sinπ/3k (5) 相似文献