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例1(2011年四川泸州中考)如图*,点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC;(3)设PA,BC交于点M,若AB=4,PC=2,求CM的长度.解析:这是一例延用许多年的经典问题.其中(1)较为简单,由"圆周角"定理易知:∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,则∠BPC=∠APB+∠APC=60°+60°=120°.对于(3),解法较少,不做过多探究:由∠ABM=∠CPM,∠AMB=∠CMP,可得△ABM∽△CPM,则AMCM=BMPM=ABPC=42=2,设CM=x,则AM=2x,结合BC=AB=4,可知BM= 相似文献
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侯明辉 《数理天地(初中版)》2003,(10)
题如图1,PA、PC、PB是⊙O的三条弦,PA=a,PB=b,∠APC=30°,∠BPC=60°,求PC的长. 1.化整为零,分段计算解法1 如图1,连结AB、AC,过A作AE 相似文献
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文[1]提出有关费马点的一个猜想:设P是△ABC的费马点,记PA=u,PB=v,PC=w,△ABC的三边为a,b,c,则 (u v w)~2≤ab bc ac. (1) 本文证明这个不等式成立. 证 如图∠APB以及∠BPC,∠APC都是120°,记△ABC面积为△,则 相似文献
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一、原题再现题目(苏科版《数学》八(下)练习)如图1,在△PAB中,点C、D在边AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,△APC与△PBD相似吗?为什么?略解本题由PC=PD得出∠ACP=∠PDB,利用三角形内角和定理与推论得出∠A+∠B=60°,∠A+∠APC=60°,得出∠B=∠APC,从而判定△APC∽△PBD.点评本题容易得出∠ACP=∠PDB, 相似文献
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平移法和旋转法是平面几何中解题的两种有效方法.通过图形变换,借助图形各元素之间的新旧位置关系探索解题的方法,在解决平面几何问题时有广泛的应用.例1已知,如图1,△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,P为△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC=7姨.求∠APC的度数.分析:从PB=3,PC=7姨来看,如果还有一条线段为2姨,则可构成直角三角形,这样只要把PA逆时针方向旋转90°,(也可以顺时针方向旋转90°)构成一个等腰直角三角形,问题可以解决.解:过A点作DA⊥AP,(逆时针方向旋转)且DA=AP=1,连结CD、PD∵△DAP为等腰直角三角形,∴PD=2姨,∠DPA=45°.∵… 相似文献
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我们知道:在圆中一条弦(在弦的同侧)所对的圆周角大于圆外角.本文将利用这个性质先证明一个定理,再举例说明该定理的应用.图1定理如图1,若PA⊥平面ABC,则∠BAC>∠BPC.证明作△ABC外接圆,又因为BP>BA,CP>CA,所以若将△PBC翻折到与△ABC共面,则A点在圆上,P点必在圆外,且A点、P点在弦BC的同侧.由圆的性质可知:∠BAC为圆周角,∠BPC为圆外角,且这两个角都在弦BC的同侧,故∠BAC>∠BPC.下面举例说明该定理的应用.图2图3例题如图2所示,A是△BCD所在平面外一点,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的中点.(1)求证:平面AEC⊥平… 相似文献
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例题如图1,⊙O1与⊙O2外切于点P,两圆半径分别为R1,R2,且R1>R2,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AB与O1O2的延长线相交于点C,在AP的延长线上有一点E满足条件:AP∶AB=AC∶AE,求证:(Ⅰ)AC⊥EC;(Ⅱ)PC=EC.图11分析证明,串联基础知识分析(Ⅰ)连PB,O1A,O2B,由AP∶AB=AC∶AE,易知△APB∽△ACE.而要证AC⊥EC,只需证∠ACE=90°.因此,证题关键是证∠APB=90°,故只需证∠2 ∠3=90°.而∠2=∠1=90°-21∠AO1P,∠3=∠4=90°-21∠BO2P,又∠AO1P ∠BO2P=180°,故∠2 ∠3=90°.获证.(Ⅱ)由(Ⅰ),易证∠CPE=∠1=∠E,从而PC=B… 相似文献
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刘晓萍 《数理天地(高中版)》2005,(4)
1.定理 如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180°,那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是 证明 必要性:若A、B、C三点共线,则 S△PAB=S△PAC S△PCB,因此两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所欲证的等式. 相似文献
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在初中几何中 ,由一个角就可以确定其它角的度数的题有很多 ,这里总结九例 ,便于以后遇到相关的习题时能迅速化归到已知经验 ,从而简化思维过程 .图 1 图 2例 1 如图 1,已知△ABC中 ,∠BAC= 5 0° ,其内有一点P ,且有PA =PB =PC ,求∠BPC的度数 .解 因为PA =PB =PC ,所以P为△ABC的外心 ,故∠BPC =2∠BAC =10 0° .例 2 如图 2 ,已知∠ABC、∠ACB的平分线交于点P ,∠BAC =5 0° ,求∠BPC的度数 .解 BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB ,所以∠BPC =180°-(∠ 1+∠ 2 ) =180° -12 (∠ABC +∠ACB) =180… 相似文献
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“梯形”练习题中有这样一个问题:已知等腰梯形ABCD,AD//BC,对角AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S.参考书中通常介绍如下三种作辅助线的方法(如图1).然而不作辅助线,是否也能求解呢?答案是肯定的.解法如下:如图2,因为ABCD是等腰梯形,所以AB=DC,∠ABC=∠DCB,又知BC=BC,所以△ABC≌△DCB(SAS),所以∠1=∠2,AC=BD,而AC⊥BD,所以∠1=∠2=45°,故△BOC等腰直角三角形.同理可知△AOD也为等腰直角三角形.由勾股定理得OA=OD=姨22AD=23姨2cm.OB=OC=姨22BC=7姨22cm.所以AC=OA OC=5姨2cm.于是S梯形ABCD=S△ABC S… 相似文献
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沈文选 《中学数学教学参考》2003,(10)
1 基础知识西姆松定理 过三角形外接圆上异于顶点的任意一点作三边的垂线 ,则三垂足共线 (此线称为西姆松线 ) .证明 :如图 1 ,设P为△ABC的外接圆上任一点 ,从P向三边BC、CA、AB所在直线作垂线 ,垂足分别为L、M、N .连结PA、PC ,由P、N、A、M四点共圆 ,有∠PMN =∠PAN =∠PAB =∠PCB =∠PCL .又P、M、C、L四点共圆 ,有∠PML =∠PCL .故∠PMN =∠PML ,即L、N、M三点共线 .注 :此定理有许多证法 .例如 ,如图 1 ,连结PB ,令∠PBC =α ,∠PCB =β ,∠PCM =γ ,则∠PAM =α ,∠PAN =β ,∠PBN =γ ,且BL =PB… 相似文献
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韩秀鸾 《数理天地(初中版)》2006,(2)
旋转法,是将图形旋转一个角度后使得分散的互不联系的条件有了联系,便于探索出解题的途径．例1 如图1,点P是等边△ABC内一点,且PA=3,PB= 5,PC=4,求∠APC的度数．分析将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°至△ADB处,连接DP,得等边△ADP．所以DP=3,∠ADP=60°, 又因为DB=PC=4,PB=5, 而 32 42=52, 即△BDP中,有BD2 DP2=PB2．图1 相似文献
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【例1】已知(如图1),PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是A上的一点,求证:∠BDP=∠CDP.【错解】∵PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,∴∠PAB=∠PAC即AP是∠BAC的平分线.∵D是AP上的一点,∴DB=DC(角平分线上的点到角两边距离相等).在△PDB和△PDC中PB=PC,DB=DC,PD=PD∴△PDB≌△PDC(SSS).∴∠BDP=∠ 相似文献
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于志洪 《中学课程辅导(初二版)》2006,(10):18-18
本文就等腰三角形的三类新题型解析如下,供同学们学习时参考.一、从已知图形中数等腰三角形的个数例1如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中等腰三角形有()A.6个"B.7个"C.8个"D.9个(天津市中考题)解:因为AB=AC,∠A=36°,所以易求得∠1=∠2=∠3=∠4=36°,∠5=∠6=∠7=∠8=72°,从而图中共有8个等腰三角形,即:△ABC、△FBC、△BCD、△CBE、△DAB、△EAC、△CDF、△BEF.故应选C.二、从已知图形中找构成等腰三角形的点例2在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△… 相似文献
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武九保 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):60-61
一、填空题(每空2分,共18分)1.两个能够完全重合的图形称为____________,全等图形的__________和大小完全相同.2.如图1,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°则∠OAD=_____________.3.如图2,已知AB=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只需填一个)____________.4.如图3,P是∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则图中相等的线段有__________________.5.在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠B′,AB=A′B′,则下列结论①AC=A′C′,②BC=B′C′,③AC=B′C′,④∠A=∠A′中,正确的是____… 相似文献
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设P是△ABC内部满足∠BPC=∠CPA=∠APC=120°的一点,则称点P是△ABC的费尔马点。 定理 设P是△ABC的费尔马点,点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,△ABC的内切圆半径为r.则有 r_n r_2 r_3≤3r.(1) 证明:记BC=a,CA=b,AB=c,PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,则有 a~2=R_2~2 R_3~2 R_2R_3, (2) b~2=R_3~2 R_1~2 R_3R_1. (3) 不妨设a≥b≥c.则可证 相似文献
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刘学勇 《数理天地(初中版)》2008,(5):13-13
例1如图1,设O是等边三角形ABC内一点,∠AOB= 115°,∠AOC=125°,则以OA、OB、OC为边所构成的三角形的各内角的度数各是多少?解如图2,把△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC,则AD=AO,∠2=∠1.所以∠2+∠3=∠1+∠3 =∠BAC=60°. 相似文献
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《数学教学》1993,(5)
306.以△ABC的BC、CA、AB为底边分别在形外作三个相似的等腰三角形,使其底角为30°,顶点是O_1、O_2、O_3,求证:△O_1O_2O_3是正三角形。证:如图1,作C关于O_1O_2的对称点P,连PO_1、PO_2、PO_3、PA、PB、PC。由O_1B=O_1C=O_1P知O_1为△BPC的外心,∠PBC=1/2∠PO_1C,∠PCB=1/2∠PO_1B,故∠PBC ∠PCB=1/2(∠PO_1C ∠PO_1B)=1/2∠BO_1C=60°,∠BPC=120°。同理,∠CPA=120°。于是∠APB=120°。延长BO_3到Q,使O_3Q=O_3B,连QA。∵ 相似文献