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1.
胡芳 《雁北师范学院学报》2001,(6):94
在求函数y=(x2 t 1)/(t为常数)的最小值问题时,学生们往往会将原函数变形为y=√x2 t 1/√x2 t,于是想到利用不等式(a b)/2≥√ab(a,b∈R )(*),马上得到ymin=2,请看下面例题:
…… 相似文献
2.
胡芳 《雁北师范学院学报》2001,17(6)
在求函数y=(x2+t+1)/√x2+t(t为常数)的最小值问题时,学生们往往会将原函数变形为y=√x2+t+1/√x2+t,于是想到利用不等式(a+b)/2≥√ab(a,b∈R+)(*),马上得到ymin=2,请看下面例题: 相似文献
3.
田素伟 《数学大世界(高中辅导)》2004,(3):7-9
1 .利用配方法化成只含有一个的三角函数【例 1】 求函数y =sin6 x +cos6 x的最值 .解 :y =sin6 x +cos6 x=(sin2 x +cos2 x) (sin4 x -sin2 xcos2 x +cos4 x)=(sin2 x+cos2 x) 2 -3sin2 xcos2 x=1-3sin2 xcos2 x =1-34 sin2 2x=58+ 38cos4x∴当x=kπ2 (k∈z)时 ,y取最大值为 1.当x=kπ2 + π4(k∈z)时 ,y取最小值 14∴ymax =1,ymin =142 .利用函数y =x+ ax(a >0 )的单调性【例 2】 求函数y =sin2 x + 3sin2 x(x≠kπ ,k∈z)的值域 .解 :设sin2 x =t(0 相似文献
4.
最值问题是中学数学的重点和难点内容之一,确定正确的解题方向是解题成功的关键 .本文介绍十一种最值问题的思维发散方向 . 一、联想二次函数 例 1. 求函数 y=x2－的最小值 . 解：令 u= (u≥ ),有 x2=. y=u2－ u－ =(u－ 1)2－ 2, 由根据二次 函数的性质可得 ymin=－ . 二、联想函数的单调性 例 2.求函数 y=(a2>b2)的最小值 . 解：令 u= (u≥ |a|),则 y=u＋ (u≥ |a|). 易证函数 y=u＋ (u≥ |a|)为增函数 . ∴ 当 u=|a|,即 x=0时,函数有最小值为 . 三、联想正弦型或余弦型函数的有界性 例 3. 求函数 y=x＋的最值 . 解：令 x=sinα,α∈… 相似文献
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6.
谭玉石 《第二课堂(小学)》2004,(1)
一、直接法例1求函数y=1/(2+x2)的值域. 解∵x2的最小值为0, ∴y的最大值为1/2. 又∵当x无限增大时,y接近0,但总是大于0, ∴函数的值域为{y|0相似文献
7.
夏群华 《中学数学教学参考》2004,(6):32-33
1 问题提出我们经常看到这样一道题:已知a >0 ,b >0 ,且a b =1 ,求(a 1a) 2 (b 1b) 2 的最小值.该题通常这样求解:(a 1a) 2 (b 1b) 2 =a2 b2 1a2 1b2 4=(a b) 2 -2ab 1a2 1b2 4=5 -2ab 1a2 1b2 ≥5 -2 ( a b2 ) 2 2ab=92 2ab≥92 2( a b2 ) 2=2 52 .当且仅当a =b时取等号.作为上题的推广,我们自然会想到问题1 :已知x >0 ,y >0 ,且x y =1 ,求函数f1(x ,y) =(x 1x) 3 ( y 1y) 3的最小值.对于问题1 ,我们同样可以如下求解:由题设条件可求得0 相似文献
8.
一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1)) 相似文献
9.
聂文喜 《数理化学习(高中版)》2002,(5)
三角函数的最值问题是高考重要知识点和命题热点之一,下面就常见题型加以归纳总结,供同学们学习时参考. 类型1y=asinx+b(a≠0) 这是一类比较简单的函数.当x∈R,ymax=|a|+b,ymin=-|a|+b;当x有限制条件时,可结合正弦函数的图像求得函数的最值.例 1(1995年全国高考题)函数y=sin(x-π/6)cosx的最小值是_.解:y=sin(x-π/6)cosx =1/2[sin(2x-π/6+sin(-π/6)] =1/2sin(2x-π/6)-1/4,当sin(2x-π/6)=-1时,ymin=-3/4. 相似文献
10.
反函数是中学数学的一个难点,在高考中几乎年年出现,虽说其解题步骤简单:1.把函数看作方程,解出x;2.对调x、y;3.原函数的定义域、值域是反函数的值域、定义域.然而在实际解题过程中,经常出现以下误区.误区1:求反函数时忽略原函数的定义域.例1:求函数y=x2+4x+3(x≤-2)的反函数.错解:由已知x2+4x+(3-y)=0,得x=-2±"1+y.∴所得反函数为y=-2±"1+x(x≥-1).剖析:上述解法忽视了原函数的定义域(-∞、-2],故在求得反函数时,应舍去y=-2+"1+x.误区2:求反函数时,忽略原函数的值域.例2:求函数y="x2-2x+4(x≤0)的反函数.错解:因为y2=x2-2x+4,y2-3=(x-1)2… 相似文献
11.
廖东明 《数学爱好者(高二版)》2006,(3)
例已知x,y∈R ,常数a,b∈R ,且满足a/x b/y =1,求x y的最小值．错解一因为x,y∈R ,所以x y≥2(xy)~(1/2),当且仅当x=y时取等号．由x=y及a/x b/y=1解得x=y=a b,所以(x y)mm=2(a b)． 相似文献
12.
三角函数的最值问题,是一个比较复杂的问题,涉及范围广,方法典型独特,解法多种多样,又有很独特的技巧性,是三角函数的重点和难点内容之一.现把在教学中常见的几种类型及解法归纳如下,供参考.1.对于形如y=asinx+b或y=acosx+b(a≠0)的三角函数最值问题,可从中解出sinx或cosx,再利用正弦(或余弦)函数的有界性(|sinx|≤1或|cosx|≤1),便可求出原函数的最小值为b-|a|,最大值为b+|a|.【例1】求函数y=sin(x-π4)·cosx的最小值和最大值.解:∵y=12sin(2x-π4)+sin(-π4)=12sin(2x-π4)-24,∴ymin=-24-12=-2+24,ymax=-24+12=2-24.2.对于形如y=asinωx… 相似文献
13.
三角代换法是代数式化简、变形和求值中常用的方法之一 .在使用此方法求函数的值域或最值时 ,容易出现错误 .请先看全国著名一线教师编著的《中学数理化一题多解系列丛书——高中数学卷》(东北师范大学出版社出版 )上一个题目及其解答 :求函数 y =x 1 - x2的最大、最小值 .解 :解法 1 :把函数变形为 y - x =1 - x2 1即 (y - x) 2 =1 - x2 22 x2 - 2 yx y2 - 1 =0 ,方程有实根Δ =4 y2 - 8(y2 - 1 ) =8- 4y2≥ 0y2≤ 2 ,所以 - 2≤ y≤ 2函数的最大值为 ymax =2 ,最小值 ymin =- 2 .解法 2 :设 x =sinθ (- π2 ≤θ≤ π2 ) ,则y =sinθ… 相似文献
14.
朱永瑛 《淮阴师范学院教育科学论坛》2007,(4)
对于形如y=(a1x2 b1x c1)/(a2x2 b2x c2)(a1,a2不同时为0)的函数,常常用根的判别式法求其值域。这是利用方程思想、等价转化思想将所给函数转化为关于x的一元二次方程,通过方程有根,判别式Δ≥0,从而求得原函数值域。根据函数定义域的不同,一般可分为2种类型。一、函数定义域为实数集R例1:求函数y=2xx22 24xx -37的值域解:∵分母x2 2x 3=(x 1)2 2≥2∴函数定义域为R将原函数变形为(2-y)x2 (4-2y)x 7-3y=0(1)当y=2时,方程(1)无解。当y≠2时,(在用判别式前要检查方程二次项系数),由于x∈R∴方程(1)有实数解。∴Δ=(4-2y)2-4(2-y)(7-3y)≥0… 相似文献
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翁玉中 《数学大世界(高中辅导)》2004,(10):20-23
下面以具体的问题来体现函数单调性的妙用,供大家欣赏.一、考虑函数最值【例1】 求函数f(x)=x3-3x2+5x+1,x∈[-1,1]的最值.分析:对于这个问题许多学生感到为难,但如果从单调性入手则会充分显现其优越性.由f(x)=x3-3x2+5x+1的特点易知f(x)可变形成f(x)=(x-1)3+2(x-1)+4,则可设t=x-1,则函数f(x)可变成y=t3+2t+4,t∈[-2,0],所以要求原函数的最值只要求y=t3+2t+4,t∈[-2,0]的最值,易证y=t3+2t+4,t∈[-2,0]是单调递增函数,所以当t=-2时此函数有最小值为-8,当t=0时此函数有最大值为4,从而当x=-1时,原函数有最小值为-8,当x=1时,原函数有最大值为4.… 相似文献
16.
用换元-数形结合法求三角函数最值 总被引：1，自引：0，他引：1
换元和数形结合是中学数学教学中一种重要的思想方法和解题工具,其目的是把复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉或直观的问题来解决;其方法是在解决某一数学问题时,将其中某个函数式(fx)作为新变量t,即通过令t=(fx)将问题化归为易于求解的问题,确定所换元t的范围,画出图形,使原问题得到解决.下面举例说明换元-数形结合法在求解三角函数最值中的应用.例1:求函数y=sin2x+4sinx+a(a为小于0的常数)的最小值.解:令t=sinx,则-1≤t≤1,从而原式可转化为:y=f(t)=t2+4t+a.数形结合(如图1)可知,当t=-1,即sinx=-1时,y取得最小值,从而ymin=f(-1)=(-1)2+4×… 相似文献
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题目设二次函数y=(a+b)x~2+2cx-(a-b)。其中a、b、c分别为ΔABC的三边,当x=-(1/2)时,二次函数的最小值为-(a/2)。试判断ΔABC的形状。(1994年甘肃省中考试题) 解由题意可设二次函数的解析式为 y=(a+b)(x+1/2)~2-(-(a/2)) =(a+b)x~2+(a+b)x+(b-a/4), 又∵y=(a+b)x~2+2cx-(a-b), 比较系数,得{a+b=2c, {b-a/4=-(a-b).解得 a=b=c。 相似文献
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宋庆 《中学数学研究(江西师大)》2006,(1):46-47
2005年全国高中数学联赛加试第二题:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数 f(x,y,z)=x~2/(1 x) y~2/(1 y) z~2/(1 z)的最小值.下面给出与标准答案不同的另外四种解法.解法1:由条件可得 x=(b~2 c~2-a~2)/(2bc),故 相似文献
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恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a… 相似文献
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[例1]把抛物线y=x2向平移个单位再向平移个单位后得到抛物线y=x2-4x 7.[错解]右,4,上,7.[剖析]解答此题要先把一般式y=x2-4x 7,化成顶点式:y=(x-2)2 3,再根据抛物线的变换性质,判断平移的方向和距离.一般情况下,抛物线y=ax2与y=a(x-h)2 k形状相同,抛物线y=ax2向上(下)平移k个单位,再向左(右)平移h个单位,可以得到抛物线y=a(x-h)2 k.此题错解的原因是不熟悉抛物线的变换性质,没有把一般式y=x2-4x 7化成顶点式y=(x-2)2 3.[正解]右,2,上,3.[例2]已知二次函数y=ax2 bx c的图象如图所示,下列结论中:①abc>0,②b=2a,③a b c<0,④a-b c>0,正确的个… 相似文献