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安义人 《中学课程辅导(初二版)》2006,(3):23-23
直角三角形的直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2,这就是我们熟知的勾股定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.灵活巧用它,可使几何问题的解决变得简捷.例1如图1,已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰直角三角形,CD=8,BE=3,则AC的长为()A.8B.5C.3D.&!34(2004年湖北省初中数学竞赛试题)解:依题意,AB=DB,BC=BE.∵BE=3,CD=8,∴BC=3,DB=5,AB=5,∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2∴AC=!AB2+BC2&=&!34.例2如图2,AC=10,BC=17,CD⊥AB于点D,CD=8,求△ABC的面积.(2002年北京市初二数学竞赛试题)解:在△ABC中,∵CD… 相似文献
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吕青芳 《山西教育(综合版)》2001,(12)
一、延长根据已知条件 ,延长一条或几条线段 ,构成所需图形。例 1.已知 :四边形 ABCD中 ,∠ BAD=60°,∠ B=∠ D=90°,BC=11,CD=2。求 :对角线 AC的长。分析 :在 Rt△ ABC中 ,BC是已知的 ,若求出 AB的值 ,问题即可解决。设法把 AB放到另一个直角三角形中 ,延长 AD交 BC的延长线于点 E。这样 ,在 Rt△ CDE中 ,求出 CE值 ,然后得出BE值 ;在 Rt△ ABE中 ,得出 AB值 ;最后 ,在 Rt△ ABC中 ,求出AC的值。二、连结如连结多边形的对角线、三角形的中位线和梯形的中位线 ,从而可以利用它们的定理来解决问题。例 2 .在△ ABC中… 相似文献
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引理 设Rt△ABC中 ,∠C =90° ,CD是斜边上的高 ;过B点作BE ⊥AB ,BE =BC ,连结AE ,过E点作EF ⊥AE交AB的延长线于F ,则DB =BF .证明 在Rt△ABC中 ,BC2 =AB·BD ,Rt△AEF中 ,BE2 =AB·BF ,因为BE=BC ,所以DB=BF .这个引理表明 :在两个直角三角形中 ,若第二个直角三角形的一条直角边在斜边上的射影与高分别等于第一个直角三角形的斜边与一条直角边 ,那么 ,其另一直角边在斜边上的射影等于与高相等的直角边的射影 .本文将用几何方法证明如下的代数不等式 :若x>y >0 ,则y <2xyx y 相似文献
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如果两个直角三角形有公共边,我们可以把这个公共边作为“桥梁”,应用勾股定理建立两个三角形中边的关系．下面举例说明．例1如图1,已知：在△ABC中,AD⊥BC于D,求证：AB~2+CD~2=AC~2+BD~2．证明AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共边,由勾股定理得 相似文献
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构造法是解题的一种工具,也是一种重要的数学思想方法,课本中30°、45°、60°的正切值就是通过构造特殊的直角三角形而求得,tan15°同样可构造合适的图形求出,而且有多条构造途径,下面介绍几例:途径1:从含30°角的直角三角形中直接分出一个15°角如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,设BC=1,则AB=2,由勾股定理,得AC=#3.作∠CBD=15°交AC于D,则∠DBA=45°,再作DE⊥AB于E,则DE=BE.设DE=BE=k,则AD=2k,AE=%3k,由AB=2得#3k+k=2.∴k=#3-1.故CD=AC-AD=#3-2k=#3-2(#3-1)=2-#3.∴tan15°=tan∠DBC=CBDC=2-#13=2-#3.(还可作∠… 相似文献
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在初中阶段,特殊角的三角函数值主要是运用勾股定理、直角三角形的特殊性推导出来的,特殊角有30°、45°、60°。对于15°的三角函数值也可以运用特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值、勾股定理、直角三角形的特殊性质来推导。方法一:如图1,设Rt△ABC中,∠A=15°,∠C=90°。D是AC上的一点,∠BDC=30°,则∠ABD=15°,AD=BD。设BC=x,则AD=BD=2x,DC=3√x,AC=(3√+2)x∴AB=AB2+BC2√=[(3√+2)x]2+x2√=(6√+2√)x,∴sin15°=sinA=BCAB=x(6√+2√)x=6√-2√4。同样可得:cos15°=6√+2√4,tan15°=2-3√,cot15°=2+3√。图1方法… 相似文献
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一、应用特殊角的三角函数例 1 在△ABC中 ,∠A=1 2 0°,AB=3,AC=2 ,求 BC和 sin B。解 :过 C作 CD⊥ BA,交 BA的延长线于点 D,如图 1。∵∠ BAC=1 2 0°,∠ D=90°,∴∠ DAC=60°,∠ ACD=30°。在 Rt△ ACD中 ,AD=12 AC=1 ,CD=AC· sin∠DAC=2×sin60°=3。在 Rt△ BCD中 ,BD=BA AD=4,BC=BD2 CD2 =42 (3 ) 2 =1 9,∴ sin B=CDBC=31 9=571 9。例 2 已知 :△ ABC的边 AC=2 ,∠ A=45°,cos A、cos B是方程 4x2 - 2 (1 2 ) x m=0的二根 ,求 :(1 )∠ B的度数 ;(2 )边 AB的长。解 :(1 )∵∠ A=45°,∴ cos … 相似文献
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黄铈瀚 《数理天地(初中版)》2003,(4)
定理直角三角形的面积等于内切圆在斜边上的切点分斜边所成的两线段的乘积. 如图,⊙O是Rt△ABC的内接圆,分别与三角形切于D、E、F三点,∠C=90°.求证S△ABC=AF·BF. 证明因为⊙O是△ABC的内切圆,所以 CD=CE,AF=AD,BE=BF. 相似文献
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勾股定理是初中几何的一个重要定理,它主要是用于求直角三角形的边长;而其逆定理则是用于判定一个三角形中的某一个角是直角.由此看来,勾股定理与其逆定理在应用上有着很大的不同,然而却有不少的几何问题必须非要应用两者“联手”来解决不可,现略举几例说明.一、先用勾股定理再用其逆定理解题1.求证三角形中的某一个角是直角例1如图1,已知△ABC中,AD是BC边上中线,AB=AD=1,AC=5,求证∠BAD是直角.证明:作AE垂直BC于E.因为AB=AD=1,所以BE=ED.设ED=x,则BD=DC=2x,EC=3x,在Rt△AED中,由勾股定理得AE2=AD2-ED2=1-x2,同理在Rt△… 相似文献
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庞尔新 《雁北师范学院学报》2001,17(3):92-92
有些几何题 ,若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化 ,就会收到化难为易、事半功倍的效果 .1 求边长例 1、如图 1所示 ,在△ABC中 ,AB=4 ,BC=3 ,∠ABC=1 2 0°,求 AC的长 .解 :经过 A作 CB延长线的垂线 ,垂足为 E.因为∠ABC=1 2 0°,故∠ ABE=60°.在 Rt△ ABE中 ,AE=AB· sin60°=4× 3 /2=2 3 ,BE=AB· cos60°=4× 1 /2 =2 .在 Rt△ACE中 ,AC=AE2 CE2=( 2 3 ) 2 52 =3 7.2 求角例 2 如图 2所示 ,在△ ABC中 ,AB=4 ,AC=2 1 ,BC=5,求∠ B的度数 .解 :作 AD⊥ BC于 D.设 BD=x,则 D… 相似文献
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三角形的面积 :S=底×高 ÷ 2 .应用面积关系图 1求解 ,有时可使解题简章明了 .1 利用面积的不变性解题例 1 如图 1,在Rt△ABC中 ,∠C =90° ,AC =4 ,BC =3,CD ⊥AB于D ,求CD .解析 在Rt△ABC中 ,由勾股定理得 ,AB =5,而S△ABC =12 BC·AC =12 AB·CD ,即BC·AC =AB·CD ,故CD =BC·ACAB =2 .4 .结论 1 直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积除以斜边的商 .例 2 (《几何》第二册第 2 4 8页B组第 2题 )如图 2 ,矩形ABCD中 ,AB =a ,BC =b ,M是BC的中点 ,DE ⊥AM ,E是垂足 ,求证DE =2ab4a2 +b2 .解析 根… 相似文献
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一、知识要点1．射影定理及其应用．2．相似多边形的定义、性质及其应用．3．用尺规作一条线段的黄金分割，作两条线段的比例中项．二、解题指导例1（1）Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AB=10cm，AD=4HB，则CD=．（南京市，1994年）（2）在Rt△中，若两直角边在斜边上的射影分别为4和6，则这个三角形面积为（河南，1994年）（3）Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ABC的平分线BE交AC于E．若BC=6，BD=4，则AE0∶EC的值是（）（南通市，1994年），‘、2，＿、3，＿、VS，＿、VS（＊）早；（D手；（C）二7上；（D）二7… 相似文献
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勾股定理是数学学习中一个非常重要的定理,它揭示了直角三角形三边之间的平方关系.解答一些证明线段平方问题时,别忘了灵活应用这个定理.例1如图,△ABC中,∠C=90°,D是AC的中点,求证:AB2+3BC2=4BD2.分析:由△ABC、△DBC都是直角三角形,得AB2=AC2+BC2, 相似文献
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阮曙光 《数理天地(初中版)》2002,(12)
证明勾股定理,历来有很多方法.最近,我发现用三角形相似知识也能证明. 已知:Rt△ACB中,∠C=90°,求证:AB2=AC2+BC2. 证明如图,在AB及其延长线上分别取两点D、E,使BE=BD= 相似文献
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刘顿 《初中生世界(初三物理版)》2004,(Z2)
在几何解题中时常需要辅助线.在含有三角形中线条件的习题中倍长中线是一种重要的添加技巧,它可以将许多较为分散的条件相对集中,从而架设已知与未知的桥梁.现就倍长中线的方法举几例说明.例1如图1,△ABC中,BD=DC,若AD⊥AC,∠BAD=30°.求证:AC=12AB.简析虽然AC、AB在同一个三角形中,但无法证得结论.想到BD=DC,即AD是中线,可倍长中线,即延长AD至E,使DE=AD,再连结BE,则易证得△BDE≌△CDA.于是∠E=∠CAD,BE=AC.而AD⊥AC,则∠E=90°.在Rt△AEB中,∠BAD=ABEDC图1CADEB图230°,所以BE=12AB,故AC=12AB.例2如图2,… 相似文献
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刘顿 《初中生世界(初三物理版)》2004,(27)
掌握了解直角三角形的知识后,我们手中又多了一个解题工具.但是解题中经常遇到的三角形并不是直角三角形,这时怎么办呢?遇到这种情况,不妨根据题意,结合图形,遇“斜”化“直”,即会柳暗花明.现举几例说明.例1(2002年重庆市中考试题)如图1,在△ABC中,∠A=30°,tanB=13,BC=10√,则AB的长为.分析在△ABC中,由条件∠A=30°,tanB=13,可想到遇“斜”化“直”的方法.即过点C作CD⊥AB于D.于是在Rt△BDC中,CDDB=13.设CD=x,则DB=3x(x>0).由勾股定理得x2+(3x)2=(10√)2,即x=1(负根舍去).在Rt△ADC中,∠A=30°,所以AD=3√·CD=3√.因此… 相似文献
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勾股定理是欧几里得几何中的重要定理之一,国外称之为毕达哥拉斯定理.它主要揭示直角三角形三边之间的度量关系,其主要内容是:在△ABC中,若∠C=90°,则a2+b2=c2;反之,若a2+b2=c2,则∠C=90°. 相似文献