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1.
1 分析法分析法就是从题目的结论出发 ,逐步找出使结论成立的原因 ,直到找出所用的原因恰好是题目的已知条件或所学过的定理 ,再按分析的思路从后往前把证题过程写出来 .图 1例 1 如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的平分线ＡＤ交ＢＣ于Ｄ ,⊙Ｏ过点Ａ且与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ、ＡＣ分别相交于Ｅ、Ｆ ,ＡＤ与ＥＦ相交于Ｇ .求证 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ .( 2 0 0 1 ,河南省中考题 )证题思路 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ ＡＦＤＣ=ＧＦＦＣ △ＤＣＦ∽ＡＦＧ(连结ＤＦ) ∠ＣＤＦ =∠ＦＡＤ∠Ｃ =∠ＡＦＧ ＥＦ∥ＢＣ ∠ＥＦＤ =∠ＣＤＦ ∠ＥＦＤ =… 相似文献
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林同坡 《中学数学教学参考》2000,(9)
《中学数学教学参考》1 999年第 1 2期第 1 8页之例 3,是一道几何证明题范例 ,但原文是利用很复杂的三角恒等式来解决的 .下面给出该例题之简短几何证明 ,供读者参考 .原题 已知ＡＢＣＤ是正方形(图 1 ) ,在ＢＣ边上任取一点Ｅ ,又ＡＦ平分∠ＤＡＥ交ＣＤ于Ｆ .求证 :ＡＥ =ＢＥ ＤＦ .几何证法 :以Ａ为轴心 ,将△ＡＤＦ旋转 90°到△ＡＢＧ的位置(图 2 ) .显然 ,Ｇ点在ＣＢ的延长线上 .设∠ＤＡＦ =α ,则∠ＤＦＡ =90° -α ,且∠ＦＡＥ=α .但∠ＦＡＧ =90°,故∠ＥＡＧ=90° -α .而∠ＢＧＡ =∠ＤＦＡ ,因此∠ＢＧＡ =∠ＥＡＧ ,所以… 相似文献
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圆中同一条直线上的四条线段成比例问题是常见的题型之一 ,解题思路是通过转化 ,运用相似形或圆中有关定理加以解决 .1 利用相似形例 1 如图 1 ,圆内两弦ＡＢ与ＡＣ的夹角为60°,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ的中点 ,ＥＦ分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｇ、Ｈ ,求证 :ＧＨ2 =ＧＥ·ＨＦ .分析 将乘积转化为比例式 ＧＥＧＨ =ＧＨＨＦ,则只须证△ＡＧＥ∽△ＦＨＡ和△ＡＧＨ为正三角形即可 .证明 因为∠ＢＡＣ =60°,所以ＢＣ =1 2 0°,ＢＡＣ=2 4 0°.又Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ和ＡＣ中点 .所以∠ 2 =∠ 4 ,∠ 1 =∠Ｆ .∠ 3=∠ 1 ∠ 2 ,∠ＡＨＧ =∠ 4 ∠Ｆ … 相似文献
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李耀文 《中学数学教学参考》2001,(6)
给定△ＡＢＣ和一点Ｐ ,满足∠ＱＡＣ =∠ＰＡＢ ,∠ＱＢＡ =∠ＰＢＣ ,∠ＱＣＢ =∠ＰＣＡ的点 (如图 )Ｑ叫做Ｐ关于△ＡＢＣ的等角共轭点[1] [2 ] .我们发现了等角共轭点的一条新性质 :定理 设Ｐ、Ｑ是△ＡＢＣ的等角共轭点 ,则ＡＰ·ＡＱＡＢ·ＡＣ ＢＰ·ＢＱＢＣ·ＢＡ ＣＰ·ＣＱＣＡ·ＣＢ=1 .证明 :如图 ,在射线ＡＱ上取点Ｄ ,使∠ＡＣＤ =∠ＡＰＢ ,因∠ＡＰＢ >∠ＡＣＢ ,故Ｄ在△ＡＢＣ外 .又因∠ＰＡＢ =∠ＣＡＤ ,从而△ＡＢＰ∽△ＡＤＣ ,故ＡＢＡＤ=ＡＰＡＣ=ＢＰＣＤ,ＣＤ =ＢＰ·ＡＣＡＰ .①又由∠ＱＡＢ =∠ＰＡＣ ,Ａ… 相似文献
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题目 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .图 1 解法 1 连ＡＨ交ＢＣ于Ｄ ,过Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于Ｐ ,连ＡＰ交ＯＨ于Ｇ .设⊙Ｏ的半径为Ｒ ,连ＡＯ、ＢＯ ,则ＡＯ =ＢＯ =Ｒ .由∠Ａ =6 0°,知∠ＢＯＰ =12 ∠ＢＯＣ =6 0° ,ＯＰ= 12 ＢＯ =12 Ｒ .由欧拉定理 ,知Ｇ为△ＡＢＣ的重心 ,且 ＯＰＡＨ =ＰＧＧＡ=12 ,故ＡＨ =2ＯＰ =Ｒ .设∠ＢＡＯ =α ,由∠ＡＯＢ2∠Ｃ ,知∠ＢＡＯ =90° -∠Ｃ ,且∠ＨＡＣ… 相似文献
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题目 如图 1 ,已知四边形ＡＢＣＤ外接圆⊙Ｏ的半径为 2 ,对角线ＡＣ与ＢＤ的交点为Ｅ ,ＡＥ =ＥＣ ,ＡＢ =2ＡＥ ,ＢＤ =2 3.求四边形ＡＢＣＤ的面积 .( 2 0 0 0年全国初三数学竞赛题 )这是一道综合性与技巧性都较强的试题 ,解题的思路开阔 ,方法较多 .图 1图 2 解法一 如图 2 ,∵ ＡＢ =2ＡＥ ,ＡＥ =ＥＣ ,∴ ＡＢ2 =2ＡＥ2 =ＡＥ·2ＡＥ =ＡＥ·ＡＣ .∴ ＡＢＡＣ =ＡＥＡＢ.又∠ＢＡＥ =∠ＣＡＢ ,∴ △ＡＢＥ∽△ＡＣＢ .∴ ∠ＡＢＥ =∠ＡＣＢ .∵ ∠ＡＣＢ =∠ＡＤＢ ,∴ ∠ＡＢＥ =∠ＡＤＢ .∴ ＡＢ =ＡＤ .作直径… 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1 如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ=ＢＣ ,ＡＥ是ＢＣ边上的中线 ,过Ｃ作ＣＦ⊥ＡＥ ,垂足是Ｆ ,过Ｂ作ＢＤ⊥ＢＣ交ＣＦ的延长线于Ｄ ,ＡＣ =1 2 .求ＢＤ的长 . ( 1 997年浙江省中考题 ) 解 ∵ ∠ＡＣＢ =90°,ＣＦ⊥ＡＥ于Ｆ ,∴ ∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△ＤＢＣ和△ＥＣＡ中 ,∵ ∠ＤＢＣ =∠ＥＣＡ =90° ,ＢＣ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ △ＤＢＣ≌△ＥＣＡ .∴ ＢＤ =ＣＥ .∵ Ｃ… 相似文献
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相似三角形的判定定理1,是判断两个三角形相似中最常用的定理,通过两个三角形相似,可得到线段成比例,解决有关线段成比例问题,现举例如下:例1如图1,已知△PQR是等边三角形,∠APB=120°,求证:AQ·RB=QR2.分析:因为△PQR是等边三角形,所以要证AQ·RB=QR2,即证AQ∶QR=QR∶RB,故证AQ∶PR=QP∶RB,因此需证△AQP∽PRB,但∠AQP与∠PRB都是等边三角形的外角,又由外角定理和已知条件∠APB=120°,可证明∠APQ=∠B,由此得到△AQP和△PRB相似。证明:∵△PQR是等边三角形,∠APB=120°∴∠APQ+∠BPR=60°∵∠B+∠BPR=∠PR… 相似文献
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20 0 1年由人民教育出版社数学室编著的九年义务教育三年制初级中学教科书《几何》第二册第 2 34页例 4如下 :如右图 ,已知∠ＡＢＣ =∠ＣＤＢ =90°,ＡＣ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,当ＢＤ与ａ、ｂ之间满足怎样的关系时 ,△ＡＢＣ∽△ＣＤＢ ?现将《几何》第二册第 2 34页中对该例题的分析解答抄录于下 :分析 : 因为△ＡＢＣ与△ＣＤＢ都是直角三角形 ,所以要使△ＡＢＣ∽△ＣＤＢ ,只要ＡＣ与ＢＣ ,ＢＣ与ＢＤ分别成对应边 ,并且ＡＣ/ＢＣ =ＢＣ/ＢＤ即可 ,这样就可以求出ＢＤ与ａ、ｂ之间的关系式。解 ∵∠ＡＢＣ =∠ＣＤＢ =90°∴当ＡＣ/ＢＣ =… 相似文献
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《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵ ∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴ ∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ ∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ… 相似文献
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一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,∠Ａ =32°,那么∠Ｂ =.(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )2 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,若锐角Ａ的平分线与锐角Ｂ的邻补角的平分线相交于点Ｄ ,则∠ＡＤＢ =. (2 0 0 1年河北省中考题 )3 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =∠Ｃ ,ＦＤ⊥ＢＣ ,ＤＥ⊥ＡＢ ,∠ＡＦＤ =15 8° ,则∠ＥＤＦ =度 . (2 0 0 1年天津市中考题 )4 长度为 5ｃｍ ,7ｃｍ ,10ｃｍ的三条线段能否组成三角形 ?答 :.(2 0 0 1年山东省滨州市中考题 )图 1图 2 5 如图 2 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ在ＡＢ的延长线上 .若∠ 1=6 0° ,∠ 2 =5 0°,则∠Ａ… 相似文献
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“圆”是初中几何的重要内容 ,其性质、定理较多 ,题目涉及面较广 ,综合性较强。有关圆题的证明 ,大多数都需要添加适当的辅助线 ,以沟通条件与结论之间的内在联系方能获证 ,现根据圆题中不同的已知条图 1件 ,将常见添辅助线的方法归纳为以下几种。一、若题目中有“直径”这一条件时 ,一般作直径上的圆周角 ,利用“直径上的圆周角是直角”这一性质来证明。例 1 如图 1 ,已知ＡＤ是△ＡＢＣ外接圆的直径 ,ＣＦ⊥ＡＤ交ＡＢ、ＡＤ于Ｅ、Ｆ ,求证 :ＡＥ·ＡＢ =ＡＦ·ＡＤ。证明 :连结ＢＤＡＤ是直径 ∠ＡＢＤ =90°ＣＥ⊥ＡＤ ∠ＡＦＥ =90… 相似文献
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对任一个三角形 ,有内角平分线定理 :定理 1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的平分线ＢＤ交ＢＣ于Ｄ ,则ＢＤＤＣ=ＡＢＡＣ。对ＢＣ上的任一点Ｄ (如右图 ) ,因为△ＡＢＤ与△ＡＤＣ同高 ,所以 ＢＤＤＣ=Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＤＣ=12 ＡＢ·ＡＤ·ｓｉｎ∠ＢＡＤ12 ＡＤ·ＡＣｓｉｎ∠ＤＡＣ=ＡＢｓｉｎ∠ＢＡＤＡＣｓｉｎ∠ＤＡＣ。于是 ,有 :定理 2 若Ｄ是△ＡＢＣ的ＢＣ内的一点 ,则ＢＤＤＣ=ＡＢｓｉｎ∠ＢＡＤＡＣｓｉｎ∠ＤＡＣ。显然 ,当∠ＢＡＤ =∠ＤＡＣ时 ,定理 2转化为定理1 ,所以说定理 2是内角平分线定理的推广。事实上 ,当Ｄ为线段ＢＣ的… 相似文献
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贾玉友 《中学数学教学参考》2001,(9)
定理 Ｈ为三棱锥Ａ ＢＣＤ底面的重心 ,Ｇ为ＡＨ上的点 ,且 ＡＧＡＨ =ｋ ,△Ｂ′Ｃ′Ｄ′为过Ｇ的任一截面 (如图 ) ,则ＡＢＡＢ′ ＡＣＡＣ′ ＡＤＡＤ′=3ｋ .证明 :如图 ,Ｈ为△ＢＣＤ的重心 ,则ＶＡ ＢＨＣ =ＶＡ ＣＨＤ =ＶＡ ＤＨＢ=13 ＶＡ ＢＣＤ.∵ ＶＡ Ｂ′ＧＣ′ＶＡ ＢＨＣ=ＡＢ′·ＡＣ′·ＡＧＡＢ·ＡＣ·ＡＨ =ＶＡ Ｂ′ＧＣ′13ＶＡ ＢＣＤ,ＡＧＡＨ=ｋ ,∴ ＶＡ Ｂ′ＧＣ′ＶＡ ＢＣＤ=ｋ3·ＡＢ′·ＡＣ′ＡＢ·ＡＣ ,同理可得类似的两个等式 .三式相加 ,有ＡＢ′·ＡＣ′·ＡＤ′ＡＢ·ＡＣ·ＡＤ =ＶＡ Ｂ′Ｃ′Ｄ… 相似文献
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我们知道 ,两圆相内切或外切时 ,只有一个公共点 .这时 ,如果过切点作出两圆的公切线 ,构造弦切角 ,从而架设两圆之间的桥梁 ,往往会使问题得到解决 .一、证明两角互补例 1 已知 :两圆外切于点Ｐ ,一条割线分别交两圆于Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ .求证 :∠ＡＰＤ +∠ＢＰＣ=1 80°.分析 如图 1 ,要证明结论成立 ,只需证∠ＢＰＣ =∠Ａ +∠Ｄ .这时想到过点Ｐ作两圆的公切线交ＡＤ于点Ｅ ,构造出两个弦切角 :∠ＥＰＢ和∠ＥＰＣ .从而只需证∠ＥＰＢ =∠Ａ,∠ＥＰＣ =∠Ｄ .这由弦切角定理可得 .图 1 图 2二、证明两角相等例 2 如… 相似文献
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证明三角形全等一般有下面三种思路．一、两个三角形中，已知两边对应相等，需证出它们的夹角对应相等，或者第三边对应相等．例１已知：如图１，Ｂ为ＡＣ的中点，ＢＥ=ＢＤ，∠１=∠２．求证；∠Ａ=∠Ｃ．分析显然需证△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，已有ＡＢ=ＢＣ，ＢＥ=ＢＤ，还需要证明它们的夹角∠ＡＢＥ=∠ＣＢＤ，而∠１=∠２，它们的夹角相等是显然的．证明∠１＝∠２（已知），∠１＋∠３＝∠２＋∠３（等式性质），即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ，△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ… 相似文献
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几何“ａ2 =ｂｃ”型的命题 ,综合性强 ,证法灵活 ,是训练初中学生思维能力的重要题型 ,也一直是中考的“热点” .本文举例说明此类题型常用的证明方法利用共边相似三角形证明 图 1例 1 如图 1,已知⊙Ｏ与⊙Ａ相交于Ｂ、Ｃ两点 ,经过点Ａ ,过Ａ作⊙Ｏ的弦ＡＦ交⊙Ａ于Ｅ ,交ＢＣ于Ｄ .求证 :ＡＢ2 =ＡＤ·ＡＦ .证明 连结ＢＦ ,ＡＣ ,∵ＡＢ =ＡＣ ,∴∠ＡＢＣ =∠ＡＦＢ .又∵∠ＢＡＤ =∠ＦＡＢ ,∴△ＡＢＤ∽△ＡＦＢ ,有 ＡＢＡＦ =ＡＤＡＢ,故 ＡＢ2 =ＡＤ·ＡＦ .2 利用等高相似三角形证明 图 2例 2 … 相似文献
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一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.① 再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.② 比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ… 相似文献
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《中学教与学》2002,(10)
一、1.Ｂ 2 .Ｄ 3.Ｂ 4 .Ｃ 5 .Ｄ 6 .Ｄ 7.Ａ 8.Ｃ 9.Ｃ 10 .Ｂ二、11.1∶ 3∶2 12 .3ｃｍ 13.5 7 14 .1∶ 2 15 .5 0 16 .117 17.2 2 18.6 0° 19.15 2 0 .内切三、2 1.作ＡＤ =ＡＤ′ =1,连结ＯＤ ,ＯＤ′ .则△ＯＡＤ和△ＯＡＤ′为等边三角形 ,有∠ＯＡＤ =∠ＯＡＤ′ =6 0° .连结ＯＣ ,可求得∠ＯＡＣ =4 5° .所以 ,∠ＣＡＤ =6 0°± 4 5° ,即 ∠ＣＡＤ为 10 5°或 15° .2 2 .∵ＦＧ与⊙Ｏ相切 ,∴ＦＧ2 =ＦＢ·ＦＣ .∵ＦＥ =ＦＧ ,∴ＦＥ2 =ＦＢ·ＦＣ .有 ＦＥＦＢ=ＦＣＦＥ.又 ∠ＥＦ… 相似文献
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命题 设△ＡＢＣ的面积为△ ,三边长分别为ａ、ｂ、ｃ.则△ＡＢＣ的内接正三角形的最小面积为 △236(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) + 2△.图 1证明 :如图 1所示 ,正△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ.设∠ＢＲＰ =θ,则易求得∠ＰＱＣ =∠Ａ+ 60° -θ .再设△ＰＱＲ的边长为ｘ ,则分别在△ＢＲＰ和△ＰＱＣ中 ,由正弦定理可得ＢＰ =ｓｉｎθｓｉｎＢｘ ,ＰＣ =ｓｉｎ(∠Ａ + 60°-θ)ｓｉｎＣ ｘ.又因ＢＰ +ＰＣ =ＢＣ =ａ ,故ｘ = ａｓｉｎθｓｉｎＢ+ｓｉｎ(∠Ａ +6 0° -θ)ｓｉｎＣ=ａｓｉｎ(∠Ａ +6 0°)ｓｉｎＣ ·ｃｏｓθ+… 相似文献