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高中代数必修本下册 P33第9题是已知 a>b>c,求证:1/a-b+1/b-c+1/c-a>0证明:1/a-b+1/b-c+1/c-a=-a~2-b~2-c~2+ab+bc+ca/(a-b)(b-c)(c-a)=-[(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2]/2(a-b)(b-c)(c-a) 相似文献
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微笑的人是快乐的,微笑的面孔是美丽的。在进行分式运算时,如果能根据题目的结构特点,将一个分式分拆成几个分式或一些整式与分式的代数和,往往能使问题化难为易.一、逆用同分母分式的加法法则进行分拆例1当x变化时,分式3x2+6x+512x2+x+1的最小值是.解:原式=6x2+12x+10x2+2x+2=6x2+12x+12-2x2+2x+2=6-2x2+2x+2=6-2(x+1)2+1.∴当x=-1时,分式最小值是4.二、逆用通分法则进行分拆例2化简2a-b-c(a-b)(a-c)+2b-a-c(b-c)(b-a)+2c-a-b(c-a)(c-b).解:原式=(a-b)+(a-c)(a-b)(a-c)+(b-c)+(b-a)(b-c)(b-a)+(c-a)+(c-b)(c-a)(c-b)=1a-c+1a-b+1b-a+1b-c+1… 相似文献
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[方法一]提取公因式法 例1 分解因式:5(x-y)~3—45(y-x)~2-20(y-x) 解:原式=5(x-y)~3-45(x-y)~2+20(x-y) =5(x-y)[(x-y)~2-9(x-y)+20] =5(x-y)(x-y-4)(x-y-5) [方法二]公式分解法 例2 分解因式:(a-b)~3+(b-c)~3+(c-d)~3 解:原式=(a-b)~3+(b-c)~3+[(c-b)+(b-a)]~3 =(a-b)~3+(b-c)~3-[(b-c)+(d-b)]~3 =(a-b)~3+(b-c)~3-(b-c)~3-3(b-c)~2(a-b)-3(b-c)(a-b)~2-(a-b)~3 =-3(b-c)~2(a-b)-3(b-c)(a-b)~2 =-3(a-b)(b-c)[(b-c)+(a-b)] =-3(a-b)(b-c)(c-a) =3(a-b)(b-c)(c-a)。 相似文献
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杨忠 《数理天地(初中版)》2008,(12)
例1已知(x/(a-b))=(y/(b-c))=(z/(c-a)),求x+ y+z的值.解设(x/(a-b))-(y/(b-c))-(z/(c-a))=k,则x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)于是x+y+z =k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0,所以x+y+z=0.以上解法中,并没有具体求出x,y,z关于a,b,c的表达式. 相似文献
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含条件分式轮换对称式的求值 ,涉及知识广 ,解题技巧高 ,解法灵活多变 ,不仅需要学生具有较高代数式变形能力 ,而且还需要选择简捷的解题途径 ,故困惑着许多学生。本文根据自己体会将这类问题解法归纳成文 ,供参考。一、裂项法裂项法就是逆用通分法则 ,将原来的分式每一项分成两项或几项 ,然后相消或重新组合出易将已知条件代入的形式。例 1 .已知 a、b、c互不相等 ,求 :2 a-b-c( a-b) ( a-c) 2 b-c-a( b-c) ( b-a) 2 c-a-b( c-a) ( c-b) 的值.解 :∵ 2 a=a a 2 b=b b 2 c=c c∴原式 =( a-c) ( a-b)( a-b) ( a-c) ( b-a) ( b-c)( b… 相似文献
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正引言文[1]—[4]研究了如下几个有意思的不等式:问题1已知a,b,c为正实数,求证:(a2+b2)2≥(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).问题2已知a,b,c为正实数,求证:(ab)2≥1/4(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a))c+a-b).问题3若a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1. 相似文献
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平方关系是三角函数之间的一种基本关系,恰当运用千方关系,不仅能简化问题,而且还能加强数学各部分知识之间的相互渗透,本文略举数例说明其应用。 例1 已知a>b>c,求证1/(a-b) 1/(b-c) 4/(c-a)≥0。 证 由已知a>b>c得a-b>0,b-c>0,a-c>0,又因(a-b) (b-C)=a-C令:a-b=(a-C)cos~2d b-C=(a-c)sin~2d(其中0<口<π/2)。原不等式等价于1/((a-c)cos~2θ) 1/((a-c)sin~2θ)-4/(a-c)≥0即:1/(a-c)[(1 tg~2θ) (1 ctg~2θ)-4]≥0。 显然,不等式1/(a-c)(tgθ-ctgθ)~2≥0成立。故原不等式成立。 例2 已知f(x)=ax b,且2a~2 6b~2=3,证明:对任意实数x∈[-1,1],都有|f(x)|≤2~(1/2)。 证 由已知2a~2 6b~2=3,得(((2/3)a)~(1/2))~2 相似文献
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卫福山 《河北理科教学研究》2013,(3)
文[1]-[4]研究了如下几个有意思的不等式:
问题1:已知a,b,c为正实数,求证:(a2+ b2)2≥(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
问题2:已知a,b,c为正实数,求证:(ab)2≥1/4(a+b+c)(a+ b-c)(b+c-a)(c+a-b)
问题3:若a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1. 相似文献
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一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,满分30分)1.计算a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)的结果是()(A)2a(a-b)(b-c)(B)2b(a-b)(b-c)(C)2c(a-c)(b-c)(D)02.已知四边形四条边的长分别是m、n、p、q,且满足m2+n2+p2+q2=2mn+2pq.则这个四边形是()(A)平行四边形(B)对角线互相垂直的四边形(C)平行四边形或对角线互相垂直的四边形(D)对角线相等的四边形3.向高为10cm的容器注水,注满为止.若注水量V(cm3)与水深h(cm)之间的函数关系的图象大致如图,则这个容器是()4.若x=123456789×123456786,y=123456788×123456787,则x、y的大小关系是()(A)… 相似文献
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不等式a b≥2(ab)~(1/2)是中学数学中一个用得很广的基本不等式,但在应用中常见一些错误,现举几例. 一、忽视了a b≥2(ab)~(1/2)成立条件而导致的错误例1 设a、b、c为正数,求证(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 错误证法: ∵a b c=(a b-c) (b c-a) (c a-b)>0 ∴(a b-c) (b c-a) (c a-b)≥3((a b-c)(b c-a)(c a-b))~(1/2) 即(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 分析:虽a>0,b>0,c>0,但a b-c,b c-a,c a-b不一定都大于0,而x y z≥3(xyz)~(1/2)的中x、y、z必须都大于0. 相似文献
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一些代数问题,直接求解运算量大,难以奏效.但如果恰当进行三角代换,配之以众多三角公式,常能化难为易,顺利求解.下面按题型分别举例说明.一、证明不等式例1(2000年希望杯试题)已知a>b>c,求证:1a-b+1b-c+4c-a≥0.证明:∵a>b>c,∴a-b,b-c,a-c均为正数,又因a-b+b-c=a-c,故可设a-b=(a-c).cos2α,b-c=(a-c).sin2α,(0<α<π2)代入原不等式,即有sec2α+csc2α-4≥2+tan2α+cot2α≥4显然成立.故原不等式成立.例2设a,b∈R+,求证:a3b+b3a≥12(a+b)2.证明:设a+b=m,则可令a=m.cos2α,b=m.sin2α,α∈(0,π2)则原不等式等价于cos6αsin2α+sin6αcos2… 相似文献
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我们知道,对于任意两个正实数a、b恒有不等式:a~(a-b)≥b~(a-b)(※)成立。本文利用这一不等式给出几个难度较大的不等式的简洁证明。例1 已知a、b、c∈R~+,求证: a~(2a)b~(2b)c~(2c)≥a~(b+c)·b~(a+c)·c~(a+b)(1978年上海市中学数学竞赛试题) 证明由(※)得 a~(a-b)≥b~(a-b),b~(b-a)≥c~(b-c),c~(c-a)≥a~(c-a)。以上不等式两边分别相乘得 a~(a-b)·b~(b-c)·c~(c-a)≥b~(a-b)·c~(b-c)·a~(c-a)。整理得:a~(2a)·b~(2b)·c~(2c)≥a~(b+c)·b~(a+c)·c~(a+b) 例2 设a、b、c∈R~+.求证: a~ab~bc~c≥(abc)(a+b+c)/3(1974年美国第三届奥林匹克竞赛试题)。证明由例1知 相似文献
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由 (a-6)2+(b-c)2+(c-a)2 =2(a2+b2+c2-ab-bc-ca),易知 a2+b2+c2-ab-bc-ca =1/2[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2], 这个恒等式,看来普通,殊不知如果你会灵活地用它,不少问题可以得到新颖而又简捷的解法. 例1 已知a-b=5+6,b-c=5-6,求 相似文献
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构造法是解决数学问题的常用方法.许多成功的“构造”所产生的精巧的构思、灵活的手法、优美的形象、简捷的过程,令人赏心悦目,拍案叫绝.但若构造法运用不当,也可能走弯路,产生多余的思维环节,甚至导致错误.这里仅就构造二次方程应该注意的问题作出如下分析.1 构造二次方程,应注意二次项的系数是否为零,以保证解题的周密性例 已知14(b-c)2=(a-b)(c-a)(a≠0),求b ca的值(1999年全国初中数学竞赛题).原解 此题可用构造方程法解,原式化简得:(b-c)2=4(a-b)(c-a),视(b-c),(a-b),(c-a)为一元二次方程的系数,可知一元二次方程(a-b)x2 (b-c)x (c-… 相似文献
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文[2]受文[1]启发,给出"背景不等式":abc≥(a b-c)(b c-a)(c a-b)的若干运用,实际上abc≥(a b-c)(b c-a)(c a-b)是Schur不等式的特例. 相似文献
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《初中生学习(中考新概念)》2006,(Z3)
同学们在日常学习过程中,不应该只为了做题而做题.应该在解题的时候应用“数学”思维去考虑问题.为此,必须着力注意培养解题意识:一、预测意识“凡事预则立,不预则废”,面对问题时要冷静思考,要有一定的直觉判断和预见能力.例1已知5(a-b) !5(b-c) (c-a)=0(a≠b),求(c-b)(c-a)(a 相似文献