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换元法是中学数学的重要解题方法 ,应用极为广泛 ,将此法应用于多项式的因式分解 ,有时能使比较隐蔽的因式迅速显露出来 ,为合理分组、运用公式扫清障碍、铺平道路 ,从而使因式分解化难为易。一、用相同部分换元例 1.分解因式 :( x2 4x 3) ( x2 12 x 35) 15。 ( 1998年“三峡杯”初三数学竞赛决赛试题 )解 :原式 =( x 1) ( x 3) ( x 5) ( x 7) 15=〔( x 1) ( x 7)〕〔( x 3) ( x 5)〕 15=( x2 8x 7) ( x2 8x 15) 15。设 y=x2 8x,则原式 =( y 7) ( y 15) 15=y2 2 2 y 12 0=( y 12 ) ( y 10 )=( x2 8x 12 ) ( x2 8x 10 )=( x 2 ) … 相似文献
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莫克伦 《山西教育(综合版)》2004,(22):23-23
换元法是数学中的一个重要的思想方法。就是将代数式中的某一部分用一个新字母(元)来替换。此法用于多项式的因式分解,能使隐含的因式比较明朗地显示出来,从而为合理分组、运用公式等提供条件,使问题化难为易。例1分解因式(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)。解:设x2+y2=a,xy=b,则原式=(a+b)2-4ab=(a-b)2=(x2-xy+y2)2。例2分解因式(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2。解:设x+y=a,xy=b,则原式=(a-2b)(a-2)+(b-1)2=a2-2ab-2a+4b+b2-2b+1=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2=〔(1-y)(x-1)〕2=(y-1)2(x-1)2。例3分解因式(x2-4x+3)(x2-4x-12)+56。解:设x2-4x=y,… 相似文献
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一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法… 相似文献
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换元法是数学中一种实用而重要的解题方法,一般来说,换元法的形式有以下三种:以元代元、以元代数、以数代元.学生在应用换元法解题时,拘泥于元与元的代换,不习惯于元与数之间的代换.本文通过根式化简中的一些具体例子,说明换元法中“以元代数”的作用,期望能给同学们有点启示.例1化简:7+13+7-13.分析:本题通常的解法是:通过拼凑的方法把二次根式的被开方数配成一个完全平方式.显然,拼凑的难度较大,若通过部分换元后,再运用乘法公式进行变形,其解法虽不能说拍案叫绝,却也能令人耳目一新.解:令7+13=x,7-13=y,则x2+y2=14,xy=6,x+y>0∴(x+y)2=x2… 相似文献
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耿美玲 《山西教育(综合版)》2004,(8):23-23
九年义务教育课程标准实验教科书《数学》(华师大版)七年级下册第七章第2节,要求学生会用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组,并能根据方程组的特点,灵活选用适当的方法。通过学生探索二元一次方程组的解法,经历把“二元”转化为“一元”的过程,从而初步体验消元的思想,以及化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想。一、解二元一次方程组的基本方法1.代入消元法例1:解方程组:(课本28页例题)x+y=7①3x+y=17②解:由①得y=7-x③把③代入②得3x+7-x=17即x=5将x=5代入③得y=2所以x=5y=22.加减消元法我们来研究课本39页… 相似文献
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在解决一些数学问题时,我们可作如下变换:x=a b,y=a-b,这种变换通常称为和差换元法。利用这种换元法可以改变问题的内部结构形式,从而使解题过程显得灵活而新颖、简捷而巧妙,现举例说明如下。 1 解方程(组) 例1 解方程(6x 7)~2(3x 4)(x 1)=6.(1983年湖北省中学数学竞赛题) 解 原方程可化为(6x 7)~2(3x 4)(3x 3)=18, 设3x 4=a b,3x 3=a-b,则6x 7=2a,b=1/3. ∴(2a)~2(a b)(a-b)=18, 即4a~4-a~2-18=0, ∴a~2=9/4或a~2=-2(舍去), ∴a=±3/2,于是6x 7=±3. 故原方程的解为x_1=-(2/3),x_2=-(5/3). 相似文献
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用换元法分解因式．就是将复杂多项式的某一部分看作一个整体，用一个新字母（元）来代换，使原代数式变得简单、明朗，从而使问题易于获解．下面谈谈换元法在因式分解中的应用．一、一般技无例1分解因式：分析如果把两括号内相同的部用字母。在代换，式子就变得较为简单，易于分解．闲设于是原式一切十Zfy（。一：3）一12—a‘45a－6一（＋6）（。。－1）一（x’＋y＋6）（x‘＋y—1）．另外，木沙人，八2‘一。一万）＋2或。一x’＋y＋3．二、均也换元倒2分解因式：心‘，SX一《）（。、’＋5x＋6）＋1．分析本扭团认可用一改换元，设y… 相似文献
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在解题过程中,有时往往需要把某一个“元”看作为主,并给以特殊的地位,不妨称这个元为“主元”。主元法是一种重要的数学思想方法,某些问题,若能有效地转化,恰当运用“主元法”,将化难为易,现举数例。例1 对x∈R,证明不等式 x~6-x~3 x~3-x 1>0。证明:考虑到设y=x~3,则以y为“主元”的二次三项式M=y~2-y x~2-x 1,显然y∈R.又a=1>0,Δ=(-1)~2-4(x~2-x 1)=-(2x-1)~2-2<0,∴M>0,即x~6-x~3 x~2-x 1>0。例2 试确定万程3x~2 6xy 5y~2 6x 相似文献
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换元法是用“整体变量”观念将复杂变量用新的变量代换 ,达到“化繁为简 ,化难为易”的目的 .常见的换元转化方式有 :分式向整式 ,无理向有理 ,超越向代数 ,以及函数、三角、几何、复数等的互化 .下面就换元法的作用分类说明 .一、换元法求外层函数由复合函数知 ,外层函数由对应法则和定义域构成 ,且定义域为内层函数的值域 .换元后一定要对新变量求范围 .例 1 函数 f ( x)满足 f ( x2 - 3) =lg x2x2 - 6 ,判断f ( x)的奇偶性 .简析 :本题实质是换元法求外层函数 ,设 u =x2 - 3,由题设知 x2 - 6 >0 ,则 u =x2 - 3=( x2 - 6 ) +3>3,解出 x2 … 相似文献
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金燕 《山西教育(综合版)》2001,(8)
换元法在代数学中是一种常用的方法。它采用变量替换的方法 ,使复杂的问题简单化、明朗化 ,从而降低题目的难度。换元的方法应随具体问题而灵活选择 ,有整体代换、多元代换、倒代换、均值代换、局部代换等。一、整体代换例 1 .2 x2 3x- 5 2 x2 3x 9 3=0。分析 :注意到根号外未知数的二次项、一次项系数与根号内未知数的二次项、一次项系数相同 ,我们可以通过整体代换作如下换元 :令 2 x2 3x 9=y,则有 y2 - 5y- 6=0 ,从而使复杂的无理方程转化为简单的有理方程。解 :令 2 x2 3x 9=y,∴ y2 - 5y- 6=0 ,∴y1=6,y2 =- 1 ,∵y≥ 0 ,… 相似文献
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换元法是数学中的一个重要的思想方法 .巧妙地利用换元法解题 ,可以使问题化繁为简 ,化难为易 .例 1 已知 x 3- x- 1 =2 ,求x 3 x- 1的值 .解 设 x 3 x- 1 =m,将此式与已知式相乘可得 ( x 3) - ( x- 1 ) =2 m,∴m=2 ,即 x 3 x- 1 =2 .评注 这种在求某代数式的值时 ,把这个式子的本身进行换元的方法可称之为“自身代换 .”例 2 解方程( 7 4 3) x2 ( 2 3) x- 2 =0 .解 因为 ( 2 3) 2 =7 4 3,故可设 t=( 2 3) x,则原方程即t2 t- 2 =0 ,解得 t1 =1 ,t2 =- 2 ,∴x1 =( 2 - 3) t1 =2 - 3,x2 =( 2 - 3) t2 =- 4 2 3.评… 相似文献
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颜禹 《数理天地(初中版)》2003,(12)
看到复杂方程,难免手忙脚乱,其实大可不必紧张,用换元法试一试,一般都能奏效.现在就体验一下. 例1 解整式方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6. 解在方程两边同时乘以12,得2×6(3x+4)(x+1)(6x+7)2=72,即(6x+7)2(6x+8)(6x+6)=72, 相似文献
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解二元一次方程组的基本思想是消元,即化“二元”为“一元”,而消元的方法多种多样.下面仅举一例,介绍几种解二元一次方程组的常用方法.例:解方程组3(x-1)=y+5,5(y-1)=3(x+5) .解法1:代入消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 由(1)得:y=3x-8.(3)(3)代入(2),得:3x-5(3x-8)=-20.解得摇x=5,代入(3)得摇y=7.因此,原方程组的解为x=5,y=7 .解法2:加减消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 (1)-(2),得4y=28,所以摇y=7.把y=7代入(1)得摇3x-7=8,所以摇y=5.所以摇x=5,y=7 .评注:代入消元法与加减消元法是解二元一次方程组的基本方… 相似文献
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《中学课程辅导(初三版)》2003,(7):25-26,50
一、填空题恤澎犷 1,方程(m一2)x袱一钾“十(m一s)x+5二0,当m一_时,方程是关于二的一元二次方程,当m一_时,方程是一元一次方程. 2.把方程(3x十1)(二一幻“11二+2化为a扩+旅十二”。后,一次项系数b‘_,犷一4aC二 3.关于x的一元二次方程(a一1)了十二十矿一1二o的一个根是。,则a的值为_, 4一元二次方程扩+x一1二O的根是,- 5.用换元法解方程(扩一二):一5(x么一士)十右二O,如果设尹一二=y,那么原方程变为 6,《代数》第三册P卯的例2是:解方程x4一6xz+5二O,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的通常解法是:设扩二y,那么扩一少,于是原方程… 相似文献
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《中学数学月刊》2004,(12):40-45
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设锐角θ使关于x的方程x2 4xcosθ cotθ=0有重根,则θ的弧度数为( ).(A)π6 (B)π12或5π12(C)π6或5π12(D)π122.已知M={(x,y)|x2 2y2=3},N={(x,y)|y=mx b}.若对于所有m∈R,均有M∩N≠,则b的取值范围是( ).(A)[-62,62](B)(-62,62)(C)(-233,233](D)[-233,233]3.不等式log2x-1 12log12x3 2>0的解集为( ).(A)[2,3)(B)(2,3](C)[2,4)(D)(2,4]图14.设O点在△ABC内部,且有OA 2OB 3OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ).(A)2 (B)32(C)3 (D)535.设三… 相似文献
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《数学教学通讯》1980,(5)
一、(6分)将多项式x“y一gxy“分别在下列范围内分解因式: (1)有理数范围,(2)实数范围, (3)复数范围。〔解〕(1)x”y一gxjr“=xy(x‘一gy‘) =xy(x“ 3y“)(x“一3y“) (2)x“y一gxy“=xy(x“ 3y“)(x 侧3y)(x一侧3y) (3)x sy一gxy”=xy(x 杯3 yi)(x一侧3 yi)(x 了3y)(x一了3y) 二、(6分)半径为1、2、3的三个园两两外切,证明:以这三个园的园心为顶点的三角形是直角三角形。 三、(10分)用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点。〔证〕取△ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(o,a)、B(b,o)、C… 相似文献