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1.
例 1 已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明 设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2 在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明 设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ… 相似文献
2.
湖北省黄冈市 2 0 0 1年中考数学试卷中设计了一道特别新颖的阅读型试题 :题目 先阅读下列第 (1)题的解答过程 .(1)已知α、β是方程ｘ2 + 2ｘ - 7=0的两个实数根 ,求α2 + 3β2 + 4 β的值 .解法 1:∵ α、β是方程ｘ2 + 2ｘ - 7=0的两个实数根 ,∴ α2 + 2α - 7=0 ,β2 + 2 β - 7=0 ,且α + β =- 2 .∴ α2 =7- 2α ,β2 =7- 2 β .∴ α2 + 3β2 + 4 β =7- 2α + 3× (7- 2 β)+ 4 β =2 8- 2 (α + β) =2 8- 2× (- 2 ) =32 .解法 2 :由求根公式 ,得α =- 1+ 2 2 ,β =- 1- 2 2 .∴ α2 + 3β2 + 4 β =(- 1+ 2 2 ) 2 +3× (… 相似文献
3.
题目 已知 :一元二次方程x2 -x-1 =0的两根是α、β ,设S1=α+β,S2 =α2 +β2 ,S3=α3+β3,… ,Sn =αn+βn(n为正整数 ) .( 1 )计算 :S1,S2 ,S3,S4 ,S5,S6 的值 .( 2 )从 ( 1 )中的计算中发现什么规律 ?( 3 )利用得出的规律计算 1 +527+1 -527的值 .解 ( 1 )∵ α +β =1 ,αβ =-1 ,∵S1=α +β=1 ,S2 =α2 +β2 =(α+β) 2 -2αβ =3 ,S3=α3+β3=(α2 +β2 ) (α +β) -α2 β-αβ2=(α2 +β2 ) +(α+β) =S2 +S1=4,S4 =α4 +β4 =(α3+β3) (α+β) -α3β -αβ3=(α3+β3) +(α2 +β2 ) =S3+S2 =7,S5=α5+β5=(α4 +β4… 相似文献
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《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题 设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数… 相似文献
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若ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根 ,则有ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0。若ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,则当ｘ1 ≠ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2是方程的两不等实根 ;当ｘ1 =ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0的两个相等实根。灵活运用上述结论解涉及一元二次方程的有关问题 ,常能化繁为简 ,化难为易 ,举例如下 :例 1 若α ,β是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 0 0 1 =0的两个实数根 ,则α2 + 3α +β等于 ( ) ( 2 0 0 1年山东省威海市中考题 )Ａ .- 2 0 0 0 ; Ｂ .2 0 0 0 ; Ｃ… 相似文献
6.
韩建新 《数学大世界(高中辅导)》2004,(5):10-12
对于某些三角问题 ,若能合理地构造向量 ,利用向量来解 ,往往可使问题得到快捷方便地解决 ,下面举例说明 .一、求角度【例 1】 若α、β∈ ( 0 ,2 ) ,求满足cosα+cosβ-cos(α + β) =32 的α ,β的值 .解 :原等式化为( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα =32 -cosβ ①构造向量a =( 1 -cosβ ,sinβ) ,b =(cosα ,sinα) ,则a·b =( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα=32 -cosβ ,｜a｜·｜b｜= ( 1 -cosβ) 2 +sin2 β· cos2 α+sin2 α= 2 -2cosβ因 (a·b) 2 ≤｜a｜2 ·｜b｜2 ,于是有 ( 32 -cosβ) 2 ≤ 2 -2cosβ整理得 (cosβ-12 ) 2 ≤ 0 ,∴c… 相似文献
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颜寅 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):34-35
58 .问 :已知ｓｅｃα -ｔａｎα =5,求ｓｉｎα. (河南西平县高中一 ( 6 )班 颜 寅 )答 :ｓｅｃα-ｔａｎα=5=5·1=5(ｓｅｃ2 α -ｔａｎ2 α) =5(ｓｅｃα +ｔａｎα) (ｓｅｃα -ｔａｎα) .故ｓｅｃα +ｔａｎα =15.与已知式联立 ,则ｓｅｃα=135,ｔａｎα=- 125.ｓｉｎα =ｔａｎαｃｏｓα =- 1213.(解答 赵振华 )59.问 :若ａ、ｂ、ｃ均是不等于 0的常数 ,求函数ｙ =(ｘ +ａ) 2 +(ｘ +ｂ) 2 +(ｘ +ｃ) 2 的最值 . (浙江天台县平桥中学高三九班 许海燕 )答 :将原函数化为 ｙ =3ｘ2 +2 (ａ +ｂ +ｃ)ｘ +(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) .因 3>0 … 相似文献
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李显规 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z2)
【题】已知ccooss42βα ssiinn42βα=1,求证:ccooss42αβ ssiinn24αβ=1.法1(三角换元)∵ccooss2βα2 ssiinn2βα2=1,∴可设ccooss2βα=sinφ,ssiinn2βα=cosφ,则sinφcosβ cosφsinβ=cos2α sin2α=1,∴sin(φ β)=1,∴φ β=2π 2kπ,k∈Z,∴sinφ=sin2π-β 2kπ=cosβ,同理,cosφ=sinβ,∴cos2α=cos2β,sin2α=sin2β,∴ccooss42αβ ssiinn24αβ=cos2β sin2β=1.法2(巧构直线与圆相切模型)由已知Accooss2βα,ssiinn2βα,B(cosβ,sinβ)都在单位圆x2 y2=1上,圆x2 y2=1过点B的切线方程l是cosβx sinβy=1,A点也满足此… 相似文献
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邓建书 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):26-28
1 .反弹琵琶 ,独辟蹊径例 1 在椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )上取一点Ｐ ,Ｐ与长轴两端点Ａ、Ｂ的连线分别交短轴所在直线于Ｍ、Ｎ两点 ,设Ｏ为原点 ,求证 :|ＯＭ |·|ＯＮ|为定值 .证明 :设Ｍ ( 0 ,ｍ)、Ｎ( 0 ,ｎ) ,则ｌＰＡ:ｙ=ｍ - 00 +ａ(ｘ +ａ) ,①ｌＰＢ:ｙ =ｎ - 00 -ａ(ｘ -ａ) . ②①×② ,得 ｙ2 =- ｍｎａ2 (ｘ2 -ａ2 ) .又 ｙ2 =ｂ2 1- ｘ2ａ2 ,故ｂ2 ａ2 -ｘ2ａ2 =- ｍｎａ2 (ｘ2 -ａ2 ) .ｍｎ =ｂ2 ,为定值 .即 |ＯＭ |·|ＯＮ| =ｂ2 ,为定值 .评注 :本题没有设出Ｐ点坐标进而求出Ｍ、Ｎ两… 相似文献
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一元二次方程的根与系数的关系是一个非常重要的知识点 ,应用十分广泛 .但是 ,应用这个定理时有几个应注意的问题 ,必须引起大家的重视 .第一 ,要注意对判别式的检验课本叙述根与系数的关系时说 :如果ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的两个根是ｘ1、ｘ2 ,那么ｘ1+ｘ2 =-ｂａ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ.请注意“如果……” ,它告诉我们 ,在实数范围内应用根与系数的关系的条件是 :方程必须有两个实根 ,即Δ≥ 0 .有的同学不注意对判别式的检验 ,往往在这里出错 .例 1 方程ｘ2 -(ｍ +1 )ｘ +3ｍ -5=0的两个实数根为α、β ,且α2 +β2 =1 6,求ｍ的值 .错解… 相似文献
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在三角函数这一章的学习过程中常遇到已知三角函数值求角度这方面问题 ,此类问题怎样求解较好呢 ?请看下面几例 :例 1 已知α、β都是锐角 ,且ｓｉｎα =55,ｓｉｎβ=1 01 0 ,求证 :α +β=π4.分析 ∵α、β都是锐角 ,且ｓｉｎα =55,ｓｉｎβ=1 01 0 ,∴ｃｏｓα =1 -ｓｉｎ2 α=1 -15=2 55. ｃｏｓβ=1 -ｓｉｎ2 β=1 -11 0 =3 1 01 0 .∴ｓｉｎ(α +β) =ｓｉｎαｃｏｓβ+ｃｏｓαｓｉｎβ=55×3 1 01 0 +2 55× 1 01 0 =22 .∴ α+β =π4.这种解法有没有错误呢 ?如果有 ,错误又在什么地方呢 ?∵ 0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,∴ … 相似文献
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所谓角的变换 ,就是通过分析已知角 (条件中的有关角 )与所求角 (结论中角 )的差异 ,然后对角进行相应的组合 .如 ,α=(α+β) -β,2α =(α+β) +(α-β) ,2 β=(α+β) -(α-β) ,α+β2 =α -β2 -α2 -β ,α-β2= α+β2 -α2 +β ,α=α+β2 +α-β2 ,90° =( 90°-α) +α等等 ,这些变换式在三角函数式的求值、化简和恒等式证明中常常采用 .本文拟从两个方面来说明角度变换是如何进行的 .一、条件求值问题把已知角看成整体 ,将所求角表示为已知角的和、差、倍、半的形式 ,再利用相关的公式求解 .例 1 已知cosα-β2 =-19,sin α2 -… 相似文献
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黄传龙 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):34-37
一、选择题 :1.设集合Ｍ ={ 1,2 } ,则满足Ｍ∪Ｎ { 1,2 ,3 }的集合Ｎ的个数为 ( ) .Ａ .1 Ｂ .4 Ｃ .7 Ｄ .82 .已知方程 2 ｘ+ｘ =0的实根为ａ ,ｌｏｇ2 ｘ =2 -ｘ的实根为ｂ ,ｌｏｇ12 ｘ =ｘ的实根为ｃ ,则ａ ,ｂ ,ｃ的大小关系是 ( ) .Ａ .ｂ>ａ >ｃ Ｂ .ｂ >ｃ >ａ Ｃ .ｃ >ｂ >ａ Ｄ .ａ >ｂ >ｃ3 .已知当α∈ -3π4,-π2 时 ,则下列不等式成立的是 ( ) .Ａ .ｓｉｎα >ｃｏｓα Ｂ .ｓｉｎα >ｔａｎα Ｃ .ｔａｎα >ｃｏｔα Ｄ .ｃｏｓα >ｃｏｔα4.已知ｙ =ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎｘ) ,… 相似文献
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同学们在学习了一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系以后 ,很容易形成思维定势 :只要是一元二次方程的根 ,就用根与系数的关系 .有时会出现计算量很大的情况 .若能巧妙运用方程的根 ,则可化繁为简 .例 1 已知α、β是关于ｘ的方程 :ｘ2 +(ｍ + 2 )ｘ +ｍ + 7=0的两个实根 ,且α2 + β2 =5 ,ｐ、ｑ是关于ｙ的方程ｙ2 + (ｎ -1)ｙ +ｍ =0的两个实根 .求(ｍ +ｎｐ +ｐ2 ) (ｍ +ｎｑ +ｑ2 )的值 .(1999年北京市八一中学中考模拟题 )解法一 (略解 )由α2 + β2 =5 ,易得ｍ =-5 .∴ (ｍ +ｎｐ +ｐ2 ) (ｍ +ｎｑ +ｑ2 )=(-5 +ｎｐ +ｐ2 … 相似文献
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一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 3分 ,共 36分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.直线ｘ +3ｙ- 2 =0的倾斜角为 ( ) (Ａ) π6 (Ｂ) π3 (Ｃ) 2π3 (Ｄ) 5π62 .若抛物线的焦点是Ｆ(0 ,- 8) ,准线方程是 ｙ=8,则它的方程是 ( ) (Ａ) ｙ2 =- 32ｘ (Ｂ)ｘ2 =- 32 ｙ (Ｃ) ｙ2 =4ｘ (Ｄ)ｘ2 =- 16 ｙ3.椭圆 2ｘ2 =1- ｙ2 的准线方程是 ( ) (Ａ) ｙ =± 2 (Ｂ)ｘ=± 2 (Ｃ) ｙ =± 2 (Ｄ)ｘ=± 24 .｜ｘ｜≤ 2是｜ｘ+1｜<1成立的 ( ) (Ａ)必要而不充分条件 (Ｂ)… 相似文献
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换元法是将无理方程转化为有理方程、将分式方程转化为整式方程的重要方法 ,它可以起到将方程次数降低、形式化简的作用 .因而换元法是中考、竞赛中考查的重点内容 .例 1 解方程 :ｘ2 +ｘ +1-6ｘ2 +ｘ=0 .( 2 0 0 0年北京市中考题 )解 设ｙ =ｘ2 +ｘ ,则原方程变形为ｙ +1-6ｙ =0 .去分母整理 ,得ｙ2 +ｙ -6=0 .解得ｙ =-3或ｙ =2 .当ｙ =-3时 ,ｘ2 +ｘ =-3,即ｘ2 +ｘ +3=0 .方程无实数根 .当ｙ =2时 ,ｘ2 +ｘ =2 ,即ｘ2 +ｘ -2 =0 .解得ｘ1=-2 ,ｘ2 =1.检验略。评注 换元的实质就是将代数式 (ｘ2 +ｘ)看做一个整体 .当然我们也可将 (ｘ2… 相似文献
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王艳平 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z1)
解析几何是用代数方法研究几何问题的数学分支,题目可能涉及到代数、几何、三角等各种数学知识,这就决定了一个解析几何问题可能有不同的解法.解析几何题的一题多解会有利于提高思维的灵活性,进而有利于提高解决数学综合问题的能力.例 如图,抛物线ｘ2=4ｙ,过定点Ｐ(0,2)作一条直线交抛物线于Ｍ、Ｎ两点.求弦ＭＮ的中点的轨迹方程.解法1:设过Ｐ点的任意一条弦ＭＮ的中点为Ｑ(ｘ,ｙ),且Ｍ(ｘ1,ｙ1),Ｎ(ｘ2,ｙ2),则弦ＭＮ的斜率必然存在∴ ｘ21=4ｙ1,ｘ22=4ｙ2,ｘ1+ｘ2=2ｘ,ｙ1+ｙ2=2ｙ.①②③④①-②,得(ｘ1+ｘ2)(ｘ1-ｘ2)=4(ｙ1-ｙ2),ｙ1-… 相似文献
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《中学生理科月刊》2001,(12)
一、填空题1 若ｘ1和ｘ2 是方程ｘ2 -5ｘ + 2 =0的两个根 ,则ｘ1+ｘ2 =,ｘ1·ｘ2 =.2 已知方程组 ｘ+ｙ=2 ,ｘｙ=-1 5 ,则以ｘ、ｙ为两根的一元二次方程是 .3 方程组 2ｘ -ｙ =1 ,4ｘ2 -ｙ2 =7的解是 .4 解方程 ｘ + 3ｘ2 -1 + ｘ2 -1ｘ + 3=2 65 时 ,若设ｙ=ｘ+ 3ｘ2 -1 ,则原方程可变形为 .5 在数据组 -1 ,0 ,3,6 ,7,9,1 3中插入一个数据ｘ,使这组数据的中位数是 5 ,则ｘ的值是 .6 图象经过Ａ( 0 ,3)、Ｂ( -1 ,0 )两点的一次函数的解析式是 .7 若抛物线经过Ａ( -1 ,0 )、Ｂ( 3,0 )、Ｃ( 0 ,3)三… 相似文献
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定理 1 设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β-γ) ｃｏｓ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α - β) =0 . ( 1) 定理 2 设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β -γ) ｓｉｎ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ-α) ｓｉｎ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α- β) =0 ( 2 ) 证明 沿用文〔1〕、〔2〕的方法 ,构造二元一次方程组ｘｃｏｓ2 α ｙｃｏｓ2 β =ｃｏｓ2 γ , (ａ)ｘｓｉｎ2 α ｙｓｉｎ2 β =ｓｉｎ2 γ . (ｂ)由 (ａ)、(ｂ)两式可得ｘｓｉｎ( β α)ｓ… 相似文献