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一个应用广泛的不等式 总被引：1，自引：1，他引：0
设ｘ、ｙ、ｚ是任意实数,Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,则ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｚｘｃｏｓＢ．（＊）证 注意到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,将不等式（＊）移项、配方、整理,该不等式等价于（ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ）２＋（ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ）２≥０．上面不等式显然成立,故不等式（＊）成立．不等式（＊）揭示了任意三个实数ｘ、ｙ、ｚ与满足条件Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π的三个角Ａ、Ｂ、Ｃ的余弦值之间的一个重要关系．在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明．例１ 在△ＡＢＣ… 相似文献
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“消元——配方法”巧证一类非齐次不等式 总被引：1，自引：1，他引：0
对于在条件ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ下的一类三元非齐次条件不等式,其证明方法甚多,但都颇具难度,不易掌握．本文提出“消元—配方法”,即通过消元：ｘ＋ｙ＝ｋ－ｚ;ｘｙ≤１４（ｘ＋ｙ）２＝１４（ｋ－ｚ）２,将原不等式化归为只含一个元素ｚ的一元三次不等式,然后利用配方法、比较法统一地予以巧证．该方法规律性强,便于掌握,对证明这类非齐次条件不等式十分有效．现举例说明．１ 证仅含ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ,ｘｙｚ及常数项的不等式例１ 已知ａ,ｂ,ｃ皆非负实数,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,试证：ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ－９４ａｂｃ≤１４．（《数学… 相似文献
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刘文武 《黔南民族师范学院学报》2000,(3)
宋庆先生在《一个新发现的代数不等式》（见数学通讯１９９９年第６期）一文中得到如下定理及推论： 定理 若ｘ，ｙ，ｚ是正数，则 ｘｎ（ｘ－ ｙ）＋ ｙｎ（ｙ－ｚ）＋ ｚｎ（ｚ－ｘ） ≥（１）其中ｎ≥０；当ｎ≤０时；不等式（１）反向，等号当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ或ｎ＝０时成立 推论若ｘ，ｙ，ｚ是正数，则 ｘｎ（ｙ＋ｚ－２ｘ）＋ｙｎ（ｚ＋ｘ－２ｙ）＋ｚｎ（ｘ＋ｙ－２ｚ）≤（２）其中ｎ≥０；当ｎ≤０时，不等式（２）反面，等号当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ或ｎ＝０时成立。 本文目的是将不等式（１）与（２）进行推广，得到相应的两个不等… 相似文献
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不等式是中学数学中重要的基础知识，教材中有关不等式的证明重点介绍了比较法、综合法、分析法、数学归纳法及反证法，其实，函数作为中学数学的轴线，它与不等式更有着千丝万缕的联系，因此借助函数的性质证明不等式也是一种重要的思考途径。 １ 运用二次函数的性质推证 当不等式含有某字母的二次项时可构造二次函数，利用二次函数的性质推证不等式。 例１ 设Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π且ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ，求证： 证明 注 高中代数（下册）第１５页习题７、８、９、１０均可利用二次函数性质推证。 例２ 设ｆ（ｘ）＝其中 α∈（０，１］，证明 ２ｆ… 相似文献
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王启龙 《中学数学教学参考》1998,(4)
一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目：已知ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＋ｂ＋１＝０．求证（ａ－２）２＋（ｂ－３）２≥１８．证明一：综合法∵若ｘ,ｙ∈Ｒ,则有ｘ２＋ｙ２≥（ｘ＋ｙ）２２．当且仅当ｘ＝ｙ时取“＝”．又∵ａ＋ｂ＋１＝０,∴（ａ－２）２＋（ｂ－... 相似文献
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岳嵘 《山东教育学院学报》1999,(2)
数学通报１９９８年第１期文［１］用数学归纳法证明了代数不等式：设ｘ,ｙ,ｚ∈Ｒ,且ｘ＋ｙ＋ｚ＝０,ｎ∈Ｎ,则２ｎ－１（ｘ２ｎ＋ｙ２ｎ＋ｚ２ｎ）≥（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｎ。并否定了文［２］中的猜想：设ｍ、ｎ∈Ｎ,ｍ＞３,ｘｉ∈Ｒ,ｉ＝１,２,…,ｍ,且ｘ... 相似文献
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所谓猜想尝试法,就是鼓励学生、引导学生利用发现式学习方法对欲解题目进行大胆猜想,做出种种求解尝试,进而去粗取精、去伪存真、昭示解法或给出结论。 请看下例： 已知：Ｘ＋Ｙ１＝１Ｙ十Ｚ１＝１ 求证：ｚ＋Ｘ１＝１ 已知两个方程,有三个未知数,求证的等式中只有两个未知数,于是猜想只要在已知的两个等式中消去ｙ,即可达到目的。 证明：ｙ＝ １－ Ｚ１代入 Ｘ＋Ｙ＝１得 Ｘ十１Ｚ１ １ 化简 Ｘ＋ Ｚ／（Ｚ— １）＝１ ｘｚ— ｘ ＋ ｚ＝ ｚ— １ ｘｚ－ ｘ＝ －１ 两端同除以ｘ,得到ｚ－１＝－Ｘ１,即ｚ十Ｘ１＝１,猜想正确！ … 相似文献
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一类分式不等式的一种证法 总被引：2，自引：0，他引：2
在分母为多项式的分式不等式中 ,有些不等式 ,通过变量代换 ,把分母化为单项式 ,灵活运用均值不等式或适当的放缩 ,便能得到简洁明快的证法 .举例如下例 1 已知△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ ,ｃ ,求证 :ａｂ ｃ -ａ ｂｃ ａ -ｂ ｃａ ｂ -ｃ≥ 3.证 设ｂ ｃ-ａ =2ｘ ,ｃ ａ -ｂ=2ｙ ,ａ ｂ-ｃ=2ｚ,ｘ ,ｙ ,ｚ >0 .令不等式的左端为Ｍ ,则Ｍ =ｙ ｚ2ｘ ｘ ｚ2ｙ ｘ ｙ2ｚ= (ｙ2ｘ ｘ2ｙ) (ｚ2ｙ ｙ2ｚ) (ｘ2ｚ ｚ2ｘ)≥ 2 ｙ2ｘ· ｘ2ｙ 2 ｚ2ｙ· ｙ2ｚ 2 ｘ2ｚ· ｚ2ｘ= 1 1 1=3.例 2 设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,求证 :ｘ2ｘ ｙ ｚ ｙｘ 2ｙ… 相似文献
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等式的证明一般分为恒等证 明和条件等式的证明两种。而条 件等式由于其条件的形式多种多 样，学生证明起来往往感到困难。 本文就此介绍几种常用方法。 一、由条件直接推进结论 例 １．已知：ｂ２＝ａｃ（ａ、ｂ、ｃ 为不等于１的正数） 证明：将等式ｂ２＝ａｃ两边以 不等于１的正数Ｎ为底取对数， 得 例２．已知：８ｘ＝９ｙ＝６ｚ（ｘ、 ｙ、ｚ≠０） 求证证明：由６ｚ＝８ｘ得ｘｌｏｇ６８＝ｚ ｘ ｚ 由 ６ｘ＝９ｙ得ｙｌｏｇ６９＝ｚ ｙｚ 把①、②代入结论的左式，有 二、消参法 若条件中含有结论中未出现的字母，则可将其看作参数，… 相似文献
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张定强 《中学数学教学参考》1999,(6)
安振平先生就条件是不等式的不等式如何证明在文［１］中进行了归类．其实,条件是不等式的不等式证明方法较多,本文再举例给出几种典型的证法．例１（文［１］中例８,数形结合法）已知ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋１≤０,求证：－３ｘ≤ｙ≤３ｘ．证明：∵ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋１... 相似文献
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文 [1]利用“消去———配方法”所证明的一类三元非齐次条件不等式问题 ,均可转化为形如ｘｙ ｙｚ ｚｘ-ｔｘｙｚ≤Ｍ的不等式问题 .利用下文的定理 ,或证明定理的方法 ,可以使这类不等式获得统一的解决 .定理 已知ｘ ,ｙ ,ｚ均为非负实数 ,且ｘ ｙ ｚ=Ｍ (Ｍ >0 ) ,ｔ∈Ｒ ,则ｘｙ ｙｚ ｚｘ -ｔｘｙｚ≤12 7(9-ｔＭ)Ｍ2 (0 <ｔ≤ 94Ｍ) ; (1)14Ｍ2 (ｔ >94Ｍ) . (2 )证明 由于不等式关于ｘ ,ｙ ,ｚ轮换对称 ,不妨设ｘ=ｍｉｎ{ｘ ,ｙ ,ｚ} ,因为ｘ ｙ ｚ=Ｍ ,所以 0≤ｘ≤Ｍ3.(1)当 0 <ｔ≤ 94Ｍ 时 ,由于ｘｙ ｙｚ … 相似文献
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关于分式不等式的证明 ,人们已总结了不少方法 .本文利用柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式的一种变式再给出一种证法 ,这种证法常被人们所忽视 ,然而它在证明一类分式不等式时却十分凑效 ,现介绍如下 ,以供参考 .柯西不等式的变式 设ａｉ∈Ｒ ,ｂｉ∈Ｒ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=1ａｉｂ2 ｉ) ,( )等号成立当且仅当ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ.由柯西不等式易知不等式 ( )成立 ,证明从略 .为书写方便 ,用 表示循环和 .例 1 已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,ｋ为常数 ,ｋ∈Ｒ ,求证 ｘｋｙ ｚ ｙｋｚ ｘ ｚｋｘ … 相似文献
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函数ｙ＝ｘ＋ｐｘ（ｐ＞０,以下不再说明）在高考题中的应用,可谓出神入化,但对应试者来说却是望难兴叹．为此本文提出：要攻克综合试题难关,必须强化综合思维意识,即把五大数学思想有机地组合起来,既各司其职,又充分发挥其整体的功能．１ 图像意识由ｙ＝ｘ＋ｐｘ变形得ｘ２－ｘｙ＋ｐ＝０,利用一般二元二次方程的判别式得Ｂ２－４ＡＣ＞０,并注意到ｐ＞０,故其图像为双曲线,且渐近线方程为ｘ２－ｘｙ＝０,即ｘ＝０和ｙ＝ｘ．又由基本不等式得｜ｙ｜＝ｘ＋ｐｘ＝｜ｘ｜＋ｐ｜ｘ｜≥２ｐ,当且仅当ｘ＝±ｐ时等号成立,知其顶点… 相似文献
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李文仅就解答有关最值习题时的几种常见错误举例剖析如下：１ 配方法例１ 若ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＝４，求ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２的最大值。错解 ｘ＋ｙ＝４ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２＝（ｘｙ）２－２ｘｙ＋１６＝（ｘｙ－１）２＋１５这函数不存在最大值，只有当ｘ·ｙ＝１时，ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２取得最小值１５。剖析 由已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＝４得，０＜ｘｙ≤（２）２＝４．当日仅当ｘ＝ｙ＝２时等号成立。欲（ｘｙ－１）２最大，即｜ｘｙ－１｜最大，故正确的答案为：当ｘｙ＝４，即ｘ＝ｙ＝２时，ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２取得最… 相似文献
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在复数集中解方程是高考经常考查的内容之一，解复数方程通常有以下几种方法： １．化“虚”为“实” 知识点：如果ａ、ｂ、ｃ、ｄ Ｒ，那么 ａ＋ ｂｉ＝ ｃ＋ ｄｉａ＝ｃ， ｂ＝ｄ． 例１已知ｚＣ，解方程３ｉ＝１＋３ｉ．（’９２全国） 解设ｚ＝ｘ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ Ｒ）， 则ｘ２＋ｙ２－３ｉ（ｘ－ｙｉ）＝１＋３ｉ 即解得或 ｙ＝ ０ ｙ＝ ３ ｚ１＝－１或 ｚ２＝－１＋３ｉ． ２．两边取共轭 知识点：ｚ１＝ｚ２ｚ１＝ｚ２． 例２已知ｚＣ，解方程ｚ－ｚ＝（常数、Ｃ，且１） 解…ｚ－Ａ。二。① ·”·Ｚ－２Ｚ＝。，即ｚ一人。＝Ｊ② … 相似文献
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运用分母代换法证明不等式举例 总被引：1，自引：1，他引：1
对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1 分子为常数型例 1 若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明 设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜… 相似文献
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在解答某些数学问题的过程中,常常可以根据题目特征,联想有关定理或命题,适当地构造几何图形,巧妙地运用几何知识和方法,化抽象为形象,借助直观启发思维,达到另辟蹊径,巧解难题的目的。通常将这种方法称为“构造图形法”。一、利用勾股定理构造图形例：已知ｚ、ｙ、ｚ、ｒ均为正数,且ｘ２＋ｙ２＝ｚ２,ｚ＝ｘ２求证：ｘｙ＝ｒｚ证：考虑题设特点,构造Ｒｔ△ＡＢＣ（如图１）,使ＢＣ＝ｘ,ＡＣ＝ｙ,则ＡＢ＝ｚ;又作ＣＤＡＢ于Ｄ,由射影定理ｘ２＝ＢＣ２＝ＡＢ·ＢＤ＝ｚ,又由题设ｘ２＝ｚ,故ＣＤ＝ｒ,从而Ｓ△ＡＢＣ＝ｘｙ… 相似文献
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利用指数函数和对数函数的单调性解题时，通常要根据底数的大小进行分类讨论，其过程较为繁琐．本文介绍一种方法，可以十分方便的解决一些关于指数或对数的不等式问题．我们知道：指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）和对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１），当０＜ａ＜１时是减函数，当ａ＞１时是增函数．由此可得如下定理：定理１ 在指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个实数ｘ１、ｘ２，ａｘ１－ａｘ２与（ａ－１）（ｘ１－ｘ２）的符号相同．定理２ 在对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个… 相似文献