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我们把三边边长成等差数列的三角形叫做等差三角形．它有一个重要的性质如下：定理 在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａ、ｂ、ｃ成等差数列，则有ｔｇＡ２ｔｇＣ２＝１３．证明 由题意知 ２ｂ＝ａ＋ｃ，由正弦定理得 ２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，∴ ４ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝２ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ－Ｃ２．又∵ ｓｉｎＡ＋Ｃ２≠０，则有２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝ｃｏｓＡ－Ｃ２，即 ２ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２－２ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２＝ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２＋ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２，∴ ３ｓｉｎＡ２… 相似文献
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《中学数学教学参考》1998,(7)
成果集锦不等式ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥４３Δ的一个对偶定理在非钝角△ＡＢＣ中,有１ａ２＋１ｂ２＋１ｃ２≥５４Δ．（＝｜△ＡＢＣ为等腰直角三角形）①证明：由ｃｔｇＡ＝２ｂｃｏｓＡ２ｂｃｓｉｎＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２４Δ,及ｃｔｇＢ、ｃｔｇＣ的类似表达式,知①等价... 相似文献
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三角形的一个有趣性质兰州石油学校王江云若用Ａ，Ｂ，Ｃ表示凸ＡＢＣ的三个内角，以ａ，ｂ。ｃ分别表示它们的对边（即ＢＣ＝ａ“ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ）则有以下定期。定理在ＡＢＣ中，若Ａ≥Ｂ，则即ｓｉｎａ＝ｓｉｎｂ＋ｓｉｎＢ，正弦定理，得推论１在ＡＢＣ中，若Ａ＞... 相似文献
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梁增康 《中学数学教学参考》1999,(10)
题目：已知实数ａ、ｂ满足ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,求ａ２－ａｂ＋ｂ２的取值范围．（１９９８年湖北黄冈市初中数学竞赛题）解：令ｋ＝ａ２－ａｂ＋ｂ２,由于ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,当ａｂ＝０（ａ、ｂ不能同时为零）时,不妨设ａ＝０,则ｂ２＝１,易得ｋ＝１．当ａｂ≠０时,不失一般性,不妨设｜ａ｜≤｜ｂ｜．作等腰△ＡＢＣ,使底边ＡＢ＝２｜ａ｜,高ＣＤ＝｜ｂ｜．设ＡＣ＝ＢＣ＝ｃ,△ＡＢＣ的面积为Ｓ,∠ＡＣＢ＝α,则０°＜α２≤４５°,０°＜α≤９０°,０＜ｓｉｎα≤１,｜ａｂ｜＝Ｓ＝１２·ｃ２ｓｉｎα．（１）若ａｂ… 相似文献
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擂题（３７）（张云华提供）证明或否定：在△ＡＢＣ中,有ｓｉｎ２Ａ（ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）≤２ｃｏｓ２ 。 本题收到颜玉勇（安徽无为中学数学组,邮编２３８３００）提供的解答。解答中利用了一个精巧而又普通的变换ａ＝ｘ＋ｙ、ｂ＝ｙ＋ｚ、ｃ＝ｚ＋ｘ和三角形 相似文献
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本文先给出三角形的外接圆半径、内切圆半径与面积之间的一个不等式 .定理 1 若三角形的外接圆半径为Ｒ ,内切圆半径为ｒ,面积为Ｓ ,则Ｒｒ≥2 39Ｓ .证 设△ＡＢＣ的三边长为ａ、ｂ、ｃ,由Ｓ =ａｂｃ4Ｒ ,得 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ=ｃ4ＲＳ ａ4ＲＳ ｂ4ＲＳ=ａ ｂ ｃ4ＲＳ =ａ ｂ ｃ4Ｒ·12 (ａ ｂ ｃ)ｒ=12Ｒｒ,即 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ=12Ｒｒ. ( 1)∵ Ｓ =12 ａｂｓｉｎＣ =12 ｂｃｓｉｎＡ =12 ｃａｓｉｎＢ ,∴ 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ=ｓｉｎＣ2Ｓ ｓｉｎＡ2Ｓ ｓｉｎＢ2Ｓ =ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ2Ｓ .又易证 ｓｉ… 相似文献
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命题 设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ =ｃ ,ｓ=12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ、△ＡＢＣ的面积分别记为△Ａ、△Ｂ、△ Ｃ、△ ,△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .则有 ∑(ｓ-ａ)△ Ａ=△22Ｒ.证明 :由三角形周界中点的定义知ｓ=ＡＢ +ＡＥ =ｃ +ＡＥ ,ｓ=ＡＣ +ＡＦ =ｂ +ＡＦ ,则ＡＥ =ｓ-ｃ,ＡＦ =ｓ-ｂ .又∵ｓｉｎＡ =ａ2Ｒ,ｓｉｎＢ =ｂ2Ｒ,ｓｉｎＣ =ｃ2Ｒ,∴△Ａ =12 ＡＥ·ＡＦ·ｓｉｎＡ=12 (ｓ-ｃ) (ｓ-ｂ)· ａ2Ｒ=ａ4Ｒ(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) .故 (ｓ-ａ)△Ａ=… 相似文献
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玉邴图 《中学数学教学参考》1999,(11)
正余弦定理是三角中非常重要的公式,它们具有广泛的应用,故值得我们研究和总结．为此,文［１］对余弦定理作了多方位探讨．本文再给出正弦定理的别证、变式及应用,供读者参考．正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且等于外接圆的直径,即ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２Ｒ．１．定理的证明教材中是运用三角形的面积公式Ｓ△＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ｃａｓｉｎＢ来证明的,除此之外我们可利用几何法构造直角三角形或利用余弦定理来证明．证明：如图１,在△ＡＢＣ中,作ＣＤ⊥ＡＢ,… 相似文献
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正弦定理和余弦定理是解斜三角形的两个常用定理．但是对于某些问题,若运用射影定理解决则更为方便．１定理与证明射影定理在△ＡＢＣ中,ａ、ｂ、ｃ分别是角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边,则有ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢ,ｂ＝ａｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡ,ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．图... 相似文献
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巧用等比性质，可使许多问题变得简单易解，下面举例说明之．例１ 已知ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，求ｂａ的值．解 ∵ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，∴ ｂａ＝ａ－ｃ＋ｃ＋ｂｂ＋ａ＋ｂ＋ａ＝ａ＋ｂ２（ａ＋ｂ）＝１２．例２ 已知ｃｔｇα＝２，求ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα的值．解 ∵ｃｔｇα１＝２１＝ｃｏｓαｓｉｎα，∴ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα１＋１＋ｓｉｎα＝２，即ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα＝２．例３ 求ｎ３ｎ－９ｎ＋２７ｎ５ｎ－１５ｎ＋４５ｎ的值．解 ∵３ｎ５ｎ＝－９ｎ－１５ｎ＝２７ｎ４５ｎ＝３… 相似文献
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这道题有毛病 总被引：1，自引：0，他引：1
在高三复习中 ,我们在一本资料上看到如下一道“典型例题” .学习中 ,我们发现该题存在很大毛病 .以下谈谈我们的看法 .原题 :已知外接圆半径为 6的△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,且Ｓ =ａ2 -(ｂ -ｃ) 2 (ａ、ｂ、ｃ分别为角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边 ) ,ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ =43 .求ｓｉｎＡ的值及Ｓ的最大值 .原解 :Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 -(ｂ -ｃ) 2 =ａ2-ｂ2 -ｃ2 + 2ｂｃ=2ｂｃ-2ｂｃｃｏｓΑ ,∴ 12 ｓｉｎＡ =2 -2ｃｏｓＡ ,∴ 1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,即ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ =43 ,即 ｂ2Ｒ+ ｃ2Ｒ=43 ,∴ｂ+… 相似文献
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一试一、选择题（满分３６分,每小题６分）１．设ａ＝１０１９９８＋１１０１９９９＋１,ｂ＝１０１９９９＋１１０２０００＋１,ｃ＝１０２０００＋１１０２００１＋１,则ａ、ｂ、ｃ的大小关系是（）．Ａ．ａ＞ｂ＞ｃＢ．ｂ＞ｃ＞ａＣ．ａ＞ｃ＞ｂＤ．ｃ＞ｂ＞ａ２．... 相似文献
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中考试题常把一元二次方程与三角函数综合起来．解这类问题时要正确应用锐角三角函数的定义及有关性质，以及一元二次方程的有关知识．现以近两年的中考题为例，介绍这类问题的解题思路． 一、求锐角三角函数的值 例 １ 若 ａ为锐角，且 ｓｉｎ ａ是方程 ２ｘ２＋３ｘ－２＝０的一个根，求ｃｏｓ ａ的值．（２０００年海南省中考题） 分析与解 根据已知条件，先求ｓｉｎ ａ的值，再求ｃｏｓａ的值．解方程，得幻（舍去）． 二、判别一元二次方程根的情况 例 ２ 在凸ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，且满足 ｂ＋ｃ＝１… 相似文献
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二次三项式因式分解的一种简易方法兰州铁道学院附中郝亚平设二次三项式Ａｘ２＋Ｂｘ＋Ｃ可分解为（８Ｘ＋ｂ）（Ｃｘ＋ｄ），亦即ａｃｘ２＋（ａｄ＋ｂｃ）ｘ＋ｂｄ。比较系数得Ａ＝ａｃ，Ｂ＝ａｄ＋ｂｃ，Ｃ＝ｂｄ。设ａｄ＝Ｆ１，ｂｃ＝Ｆ２，则有ＡＣ＝Ｆ１·Ｆ２，Ｂ... 相似文献
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众所周知 ,任一三角形都有一个内切圆 ,内切圆与三边各有一切点 ,连接三切点所得的三角形叫做切点三角形 .本文给出切点三角形的几个面积公式 .定理 三角形的三个内角为Ａ、Ｂ、Ｃ ,它们所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ ,Ｒ、ｒ分别为三角形的外接圆和内切圆半径 ,ｓ为三角形的半周长 ,则该三角形的切点三角形面积为Ｓ切△ =2ａｂｃ ｓ(ｓ -ａ) 3(ｓ -ｂ) 3(ｓ -ｃ) 3;或 Ｓ切△ =12 ｒ2 (ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ)或 Ｓ切△ =ｒ2 ｓ2Ｒ.证明 如图 ,在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ｃ,ＢＣ=ａ ,ＡＣ =ｂ ,Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为内切圆Ｏ与三边的切点 ,且… 相似文献
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吴启斌 《中学数学教学参考》1998,(10)
设ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢＣ的三条边的长,Δ是这个三角形的面积,则有ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥４３Δ,其中等号当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时成立．该不等式是世界著名数学家Ｆｉｎｓｌｅｒ给出的,人们称之为Ｆｉｎｓｌｅｒ不等式．本文将该不等式推广到ｎ边形的情形．定理设ａ... 相似文献
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在△ＡＢＣ中,角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ,其内切圆半径为ｒ,现设ａ＝ｘ＋ｙ,ｂ＝ｚ＋ｘ,ｃ＝ｙ＋ｚ,则ｘ、ｙ、ｚ的几何意义如图１所示．显然有ｘ＝ｒｃｔｇＣ２,ｙ＝ｒｃｔｇＢ２,ｚ＝ｒｃｔｇＡ２．（Ⅰ）又半周长ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ｘ＋ｙ＋... 相似文献
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文 [1 ]证明了 :若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边 ,则ａ′=ｂ2 ｃ2 ,ｂ′ =ｃ2 ａ2 ,ｃ′ =ａ2 ｂ2 可构成△Ａ′Ｂ′Ｃ′ .采用通用记号 (如△、△′表面积 ,ｐ、ｐ′表半周长 ,ｒ、ｒ′表内切圆半径 ,等等 ) ,则由公式(△′) 2 =△2 ∑ 1ｓｉｎ2 Ａ.可推出 △Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ间的一系列关系 :1 △′≥ 2△ ( =|ａ =ｂ=ｃ) ;2 2 ｐ≤ｐ′<3ｐ ;3 ｒ′≥869ｒｃｏｓ Ａ2 ｃｏｓ Ｂ2 ｃｏｓ Ｃ2 ;4 Ｒ′≥ 82Ｒｓｉｎ Ａ2 ｓｉｎ Ｂ2 ｓｉｎ Ｃ2 ;5 ( ｈａ′ｈａ)2 ( ｈｂ′ｈｂ)2 ( ｈｃ′ｈｃ)2 ≥ 6.二次均值三角形的性… 相似文献
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三角形四心间的距离设△ＡＢＣ的内心、外心、重心、垂心分别为Ｉ、Ｏ、Ｇ、Ｈ,三边长为ａ、ｂ、ｃ,ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,外接圆、内切圆的半径分别为Ｒ、ｒ,则ＯＩ２＝Ｒ２－２Ｒｒ;（Ｅｕｌｅｒ定理）（１）ＯＧ２＝Ｒ２－１９（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）;（２）ＯＨ... 相似文献