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题目:设P为△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又设D、E分别是△APB及△APC的内心证明:AP、BD、CE交于一点。 相似文献
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设P是△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又D,E分别是△APB和△APC的内心,证明AP,BD,CE 相似文献
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第37届IMO试题的第2题为:设P是△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又设D、E分别是△APB及△APC的内心,证明:AP、BD、CE交于一点. 相似文献
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如图1,已知△ABC,P是边AB上的一点,连结CP,当△ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?图1分析:∵∠A=∠A∴当∠ACP=∠ABC时,△ACP∽△ABC·于是AACB=AACP=CPBC·注意比例式AACP=CPCB中的四条线段,其中AP与AC是△ACP的∠1与∠2的对边,PC与CB是△PBC的∠3与∠4的对边,而∠1=∠3,∠2 ∠ 相似文献
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正多边形不仅本身的内容丰富多采,而且在相当多的问题中可借助这些美丽图形得以顺利解决。其中的奥妙是无穷尽的,试看以下举例。1 构造正三角形 例1 如图1,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为形内一点,∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAC的度数。 分析因为∠BAC=80°,要求∠PAC,必须求∠BAP,由已知可求∠ABC=∠ACD=50°,又∠PBC=10°,可求∠ABP=40°,现在只要求∠APB的度数或从直观上看是否有AB=BP,由此 相似文献
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例1(2011年四川泸州中考)如图*,点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC;(3)设PA,BC交于点M,若AB=4,PC=2,求CM的长度.解析:这是一例延用许多年的经典问题.其中(1)较为简单,由"圆周角"定理易知:∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,则∠BPC=∠APB+∠APC=60°+60°=120°.对于(3),解法较少,不做过多探究:由∠ABM=∠CPM,∠AMB=∠CMP,可得△ABM∽△CPM,则AMCM=BMPM=ABPC=42=2,设CM=x,则AM=2x,结合BC=AB=4,可知BM= 相似文献
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一、原题再现题目(苏科版《数学》八(下)练习)如图1,在△PAB中,点C、D在边AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,△APC与△PBD相似吗?为什么?略解本题由PC=PD得出∠ACP=∠PDB,利用三角形内角和定理与推论得出∠A+∠B=60°,∠A+∠APC=60°,得出∠B=∠APC,从而判定△APC∽△PBD.点评本题容易得出∠ACP=∠PDB, 相似文献
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文[1]提出有关费马点的一个猜想:设P是△ABC的费马点,记PA=u,PB=v,PC=w,△ABC的三边为a,b,c,则 (u v w)~2≤ab bc ac. (1) 本文证明这个不等式成立. 证 如图∠APB以及∠BPC,∠APC都是120°,记△ABC面积为△,则 相似文献
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本文给出关于三角形内点的一个结果,并用之解决两道IMO赛题。 定理 设P是△ABC内一点,若∠BPC=∠BAC α,∠CPA=∠CBA β,∠APB=∠ACB γ。则 相似文献
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华东师大版《数学》七年级下册第52页习题8.2的第3题:如图(1)△ABC中,∠ABC=80°,∠ACB=50°,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.求∠BPC的度数.下面通过对这道习题的教学,谈谈我实施探究式教学的具体做法.一、设疑引入此题可分解为:∠PBC=12∠=°;∠PCB=21∠=°;则∠BPC=°.学生利用角平分线的知识及三角形内角和定理,很容易得到∠BPC=115°.这时再从此题出发变式设疑,创设情境:如图(2)△ABC中,∠A=50°,BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB,此时∠BPC还是115°吗?这一问题激起了学生强烈的好奇心和求知欲,一石激起千层浪,使他们立刻投… 相似文献
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1原题呈现(安徽23题)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:h12=h2·h3. 相似文献
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吴嘉程 《苏州教育学院学报》2000,(4)
设P为△ABC内一点,且上∠PAC=∠PCB=∠PBA=α,则称P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,(如图1).作为平面几何的亮点名角,二者相辅相存,交相辉映.多层次剖析、全方位透视勃罗卡角,既可以欣赏其优美,领略其精采,又可以激发学习兴趣,磨炼钻研意志.一、勃罗卡角的性质及推论二、性质 如图1,设P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,则ctgα=ctgA ctgB ctgC勃罗卡角的这一性质定理,证法很多,这里只用一种方法证之.证明:∵∠BPC=∠A ∠C=180°-∠B同理上:∠APB=180°-∠A,∠CPA=∠180°-∠C∴ 在△BPC、△APB中用正弦定理可得: 相似文献
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本刊1988年第1期“埃丢斯——莫都(Erd(?)s——Mordell)不等式的加强”一文将埃丢斯——莫都不等式加强为: P为△ABC内部或边上一点,PD′、PE′、PF′分别为∠BPC、∠APC、∠BPA的平分线,则PA PB PC≥2(PD′ PE′ PF′)。本文给出它的指数形式的推广: 定理设P为△ABC内部(或边界)上一点,记∠BPC、∠APC、∠BPA的角平分线长依次为t_a、t_b、t_c,PA=x、PB=y、PC=z,则 x~2 y~2 z~2≥2(t_a~2 t_b~2 t_c~2)。其中s≥1。证如图,设∠APB=2α、∠BPC=2β、 相似文献
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例1 设AABC的内心为I，三角形内一点P满足∠PBA＋∠PCA=∠PBC＋∠PCB．求证：AP≥AI，而且等号当且仅当P=I时成立． 相似文献
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众所周知,P为ΔABC内一点,且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA-θ时,点P叫做ΔABC的布勃卡点,θ叫做ΔABC的布勃卡角,并有csc~2θ=csc~2A csc~2B csc~2C.① 我们发现,布勃卡角在圆内接四边形中有一个极其优美的推广,现介绍如下。 相似文献
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高群安 《数理化学习(高中版)》2014,(7):3-4
问题：如图1,电影屏幕的上下边缘A、B到地面的距离AD=a、BD=b（a＞b）,屏幕的正前方地面上一点P,求视角∠APB的最大值,以及当∠APB最大时,P、D两点的距离.解：设∠APB=β,∠BPD=α,PD=x,则因为β为锐角,所以当tanβ最大时,∠APB最大.由tan（α＋β）=a x,tanα=b x得tanβ=tan（（α＋β）-α）=a x-b x/1＋a x·b x=a-b/ x＋ab x≤a-b/2√ab,当且仅当x=ab/x即x=√ab时,tanβ有最大值a-b/2√ab.故得结论。 相似文献