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如图1,已知△ABC中,P是其内部一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则α称为勃罗卡角,点P称为勃罗卡点,据有关文章介绍,任意一个三角形都有两个勃罗卡点和两个勃罗卡角,本文拟给出勃罗卡点到三角形各顶点的距离公式,及包括勃罗卡角计算公式在内的几个重要结论。定理已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,设PA=x,PB=y,PC=z,则 相似文献
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刘南山 《中学数学研究(江西师大)》2014,(9):21-22
设P是AABC内的一点,若∠PAB=∠PBC=PCA=α,则称点P为αABC的勃罗卡点,α称为△ABC的勃罗卡角．关于三角形中勃罗卡点的研究文献已有不少,本文给出它到三顶点距离的几个不等式．为行文方便,记△BC的三内角分别为A,B, 相似文献
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聂厚仁 《中学课程辅导(初二版)》2003,(7):40-40
应用三角形的内角和定理与外角定理,可以推出许多有趣的结论,现举三例,供同学们参考,希望同学们从中得到启示,学会运用所学知识去探索新结论,从而不断提高自己数学的发现与创新能力. 结论1:在△ABC中,∠B∠C的平分线相交于P点,则∠BPC=90°+1/2∠A 证明:∵∠B、∠C分别平分∠ABC和∠ACB.∴∠PBC=1/2∠ABC,∠PCB=1/2∠ACB,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=180°-1/2(180°-∠A)=90°+1/2∠A. 结论2:在△ABC中,BP、CP分别是外角平分线,求证:∠BPC=90°-1/2∠A 证明:方法1:∵BP、CP分别平分∠EBC和∠FCB, 相似文献
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林秀玲 《中学课程辅导(初二版)》2003,(7):38-38
有关三角形的角度计算是三角形一章中重要问题之一,解决这类问题的方法虽因题而异,但利用列方程求解不失为一种好方法。现举几例加以说明. 例1 已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 解设∠A=x°,∵AD=BD, ∴∠ABD=∠A=x°,∵∠BDC=∠ABD+∠A,∴∠BDC=2x°, ∵AB=AC,BD=BC,∴∠BDC=∠C=∠ABC=2x°. ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, 即x+2x+2x=180°,∴x=36°∴△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°, 例2 已知:如图2,在△ABC中,AB=BD=AC,AD=CD,求△ABC各角的度数.解:设∠B=x°,∵AB=AC,AD=CD,∴∠C=∠DAC=∠B=x°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x°,∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x°, 相似文献
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命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、 相似文献
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在初中几何中 ,由一个角就可以确定其它角的度数的题有很多 ,这里总结九例 ,便于以后遇到相关的习题时能迅速化归到已知经验 ,从而简化思维过程 .图 1 图 2例 1 如图 1,已知△ABC中 ,∠BAC= 5 0° ,其内有一点P ,且有PA =PB =PC ,求∠BPC的度数 .解 因为PA =PB =PC ,所以P为△ABC的外心 ,故∠BPC =2∠BAC =10 0° .例 2 如图 2 ,已知∠ABC、∠ACB的平分线交于点P ,∠BAC =5 0° ,求∠BPC的度数 .解 BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB ,所以∠BPC =180°-(∠ 1+∠ 2 ) =180° -12 (∠ABC +∠ACB) =180… 相似文献
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魏春强 《陕西教育学院学报》1998,(4)
如图1,P为△ABC中一点,若∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α,则称P点为勃罗卡点,角α为勃罗卡角。文［1］给出设P到三角形三边BC,CA,AB的距离分别为x,y,z,△表△ABC面积文［2］给出实际上,如图所示作出的勃罗卡点是唯一的,则P点到三顶点、三边距离应是确定的。定理1：P是△AB 相似文献
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如图1，已知△ABC中，P是其内部一点，如则α称为勃罗卡角，点P称为勃罗卡点．文[1］指出了P点到A、B、C、三点的距离之和为本文打算用较简明的方法．分别求出点P到A、B、C三点的距离．为此，先证明下面的预备定理（图1）；已知P是△ABC的一个勃罗卡点．相应的勃罗卡角是中，由余弦定理得同理可得上面三式相加．并注意代入化简即得下面的定理，给出了PA、PB、PC的计算公式．定理：已知P是△ABC的一个勃罗卡点，相应的勃罗卡角是证明：（图2）过A作AB的垂线，与线段AC的中垂线相交．设交点为O.∴AB是△PCA外接圆的切线，A是… 相似文献
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例1(2011年四川泸州中考)如图*,点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC;(3)设PA,BC交于点M,若AB=4,PC=2,求CM的长度.解析:这是一例延用许多年的经典问题.其中(1)较为简单,由"圆周角"定理易知:∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,则∠BPC=∠APB+∠APC=60°+60°=120°.对于(3),解法较少,不做过多探究:由∠ABM=∠CPM,∠AMB=∠CMP,可得△ABM∽△CPM,则AMCM=BMPM=ABPC=42=2,设CM=x,则AM=2x,结合BC=AB=4,可知BM= 相似文献
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例如图1,梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AD=8,DC=2,AB=m(m>0)(1)当∠BPC=90°时,求证:△ABP∽△DPC;(2)当m为何值时,能使∠BPC=90°的点P分别有两个,一个,或不存在?(3)是否存在合适的m的值和P点的位置,使得△APB、△PDC、△PBC都相似?如果不存在,说明理由;如果存在,求出m的值和P点的位置.解(1)当∠BPC=90°时,易证得∠A=∠D=90°,∠1=∠3=90°-∠2,∴△ABP∽△DPC.(2)当△ABP∽△DPC时,也能证得∠BPC=90°,所以问题(2)转化为:“当m为何值时,能使△ABP∽△DPC的点P分别有两个,一个,或不存在?”假设存在合适的m值,使… 相似文献
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顶角为 80°的等腰三角形 ,虽然图形简单 ,但用它构造的一批习题却新颖 ,且解法巧妙 .现将相关命题介绍如下 ,供参考 .例 1 如图 1 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=80°,P为△ ABC形内一点 ,使∠ PBC= 1 0°,∠ PCB=2 0°,试求∠CAP的度数 .图 1解 作 P关于AC的对称点 D,由∠PCA =30°知△ PCD为正三角形 ,且 AP=AD.又∠ BPC =1 5 0°,∠BPD =36 0°-∠ BPC-∠CPD=36 0°- 1 5 0°- 6 0°=1 5 0°,∴△ BPD≌△ BPC,∠ CBD=2∠ PBC= 2 0°且 BC=BD,故∠BDC=12 (1 80°-2 0°) =80°=∠ BAC.∴ B,A,D,C四点共圆 .… 相似文献
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在数学课上,杨老师出了一个练习题.例1如图1,已知∠B=∠C=30°,∠A=40°,求∠D(图1中所示的钝角)的度数.小毛第一个举手发言:“连结B、C,如图2.因为△ABC的内角和为180°,所以∠DBC+∠DCB=180°-30°×2-40°=80°;又因为△DBC的内角和为180°,所以∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-80°=100°”.杨老师微笑着点了点头,表示赞同,又问:“还有什么解法?”聪明的小倪举手.“延长BD交AC于E,如图3,因为∠BDC=∠C+∠CED,∠CED=∠A+∠B,所以∠D=∠C+∠A+∠B=100°”.小倪答完,同学们不禁鼓掌,杨老师摸着下巴不住地点头小侯在旁边不… 相似文献
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我们知道:在圆中一条弦(在弦的同侧)所对的圆周角大于圆外角.本文将利用这个性质先证明一个定理,再举例说明该定理的应用.图1定理如图1,若PA⊥平面ABC,则∠BAC>∠BPC.证明作△ABC外接圆,又因为BP>BA,CP>CA,所以若将△PBC翻折到与△ABC共面,则A点在圆上,P点必在圆外,且A点、P点在弦BC的同侧.由圆的性质可知:∠BAC为圆周角,∠BPC为圆外角,且这两个角都在弦BC的同侧,故∠BAC>∠BPC.下面举例说明该定理的应用.图2图3例题如图2所示,A是△BCD所在平面外一点,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的中点.(1)求证:平面AEC⊥平… 相似文献
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刘顿 《中学课程辅导(初二版)》2003,(7):41-41
三角形的内角和定理及推论有着广泛的应用,现归类举例说明. 一、求角度的大小例1 在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠C= ——. 分析与解:依题意,不妨设∠A=x°,则∠B=2x°,∠C=3x°,由三角形内角和定理知x+2x+3x=180°,即x=30°,故∠C=3°=90°. 例2 如图1,∠α=125°,∠1=50°,则∠β的度数是——. 分析:易求得∠2=55°,由推论2知∠β=∠1+∠2=50°+55°-105° 相似文献
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关于勃罗卡点的两个命题 总被引：1，自引：0，他引：1
本文介绍与勃罗卡点相关的三角形、双圆四边形中的两个命题. 命题1 设P是△ABC的勃罗卡点(如图),△BPC、△CPQ、△APB的内切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c,△_a、△_b、△_c,△ABC的内切圆半径和面积为r、 相似文献
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本文给出关于三角形内点的一个结果,并用之解决两道IMO赛题。 定理 设P是△ABC内一点,若∠BPC=∠BAC α,∠CPA=∠CBA β,∠APB=∠ACB γ。则 相似文献
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华东师大版《数学》七年级下册第52页习题8.2的第3题:如图(1)△ABC中,∠ABC=80°,∠ACB=50°,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.求∠BPC的度数.下面通过对这道习题的教学,谈谈我实施探究式教学的具体做法.一、设疑引入此题可分解为:∠PBC=12∠=°;∠PCB=21∠=°;则∠BPC=°.学生利用角平分线的知识及三角形内角和定理,很容易得到∠BPC=115°.这时再从此题出发变式设疑,创设情境:如图(2)△ABC中,∠A=50°,BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB,此时∠BPC还是115°吗?这一问题激起了学生强烈的好奇心和求知欲,一石激起千层浪,使他们立刻投… 相似文献
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第42届IMO试题解答 总被引：4，自引：2，他引：4
《中等数学》2001,(5):30-32
1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明: ∠CAB ∠COP<90°。 证明:令α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,δ=∠COP。 设K、Q为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,R为△ABC的外接圆半径。则 相似文献