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1.
若数列an 满足递推方程an L =an(n =1,2 ,3…… )L为某一自然数 ,则称数列an 是以L为周期的周期数列 .下面我们看几个周期数列的例子 .例 1 已知an =sin( n4 π) (n∈N )求a1 a2 … a2 0 0 4的值 .简析 因为sin( n4 π)为周期函数 ,所以an 为周期数列最小正周期为 8,且a1 a2 … a8=0 ,所以a1 a2 … a2 0 0 4=a2 0 0 1 a2 0 0 2 a2 0 0 3 a2 0 0 4=a1 a2 a3 a4=1 2 .例 2 记f(n)为自然数n的个位数字 ,an =f(n2 ) -f(n) .求 :a1 a2 a3 …… a1 997.简析 易知f(n 10 ) =f(n) ,f[(n 10 ) 2 ] =f(n2 ) ,所以an 1 0 =… 相似文献
2.
1.设a,b为非零实数,则代数式1a2b3a4b2+1ab212a2b4可能取到的数值有个.2.甲、乙两人在圆形跑道上从点A同时出发,按相反方向跑步,甲的速度为7米/秒,乙的速度为8米/秒,则甲、乙两人从第一次相遇(不在A点)到他们第一次在A点再次相遇为止,共相遇过次.3.已知a<0,b>0且a2+5a=1b+5b=1,则代数式a3bb+1bb的值为.4.给定有次序的n个数a1,a2,…,an,记Sk=a1+a2+…+ak(1≤k≤n),称A=S1+S2+…+Snn为它们的凯森和(例如a1=2,a2=3,a3=3,则S1=2,S2=5,S3=8,凯森和A=2+5+83=5),若有99个数a1,a2,…,a99,它们的凯森和A=100,则添上21以后的100个数21,a1,a2,…,… 相似文献
3.
一、填空题(每题3分,满分36分)1.已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=52,则a5=.2.已知{an}为等比数列,公比为q,且a5=8,q=2,则an=.3.已知{an}是等比数列,公比为q,前n项和为Sn,q=2,a1=7,Sn=217,则n=.4.在等差数列{an}中,若a3=6,且a3、a7、a10成等比数列,则公差d=.5.设已知{an}是单调递增的等比数列,若a1=-2,则公比q的取值范围为.6.根据下列4个图形及相应点个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.7.已知数列{an}为等差数列,a1 a3 … a2k 1=96,a2 a4 … a2k=80,则整数k=.8.已知数列{an}满足以下关系a1=3,an 1=a2n 1,则数列{an}的通项公式为an=.9.等… 相似文献
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第一试一、填空题(每小题8分,共64分)1.已知集合M是{1,2,…,2011｝的子集,且M中任意四个元素之和均不能被3整除.则｜M｜max=____2.若n∈N,n≥2,ai∈{0,1,…,9｝(i=1,2,…,n),a1a2≠0,且√a1a2…an - √a2a3 …an=a1,则n=____,其中,a1a2…an为由a1,a2,…an构成的n位数.3.在△ABC中,I是△ABC的内心.若AC+ AI=BC,AB+ BI=AC,则∠B=_____.4.对任意正整数n,记an为满足n｜an!的最小正整数.若an/n=2/5,则n=____. 相似文献
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一、利用对称式求解例 1 .已知 :a=15- 2 ,b=15 2 ,求a2 b2 7的值。解 :由题设可得 a b=2 5,ab=1。∴原式 =( a b) 2 - 2 ab 7=( 2 5) 2 - 2 7=2 5=5。二、定义法求解例 2 .已知 y=x- 8 8- x 1 8,求代数式 x yx - y- 2 xyx y - y x的值。解 :依据二次根式的定义 ,知 x- 8≥ 0 ,且 8- x≥ 0 ,∴ x=8,从而 y=1 8。∴原式 =x yx - y- 2 ( xy) 2xy( x - y )=( x - y ) 2x - y =x - y=8- 1 8=- 2 。三、用非负数性质求解例 3.如果 a b | c- 1 - 1 | =4a- 2 2 b 1 - 4,那么 a 2 b- 3c=。解 :将原条件式配方 ,得 ( a- 2 - 2 ) … 相似文献
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问题设a1,a2,a3,…,an都是正数,且a1a2a3…an=1.试用数学归纳法证明:a1 a2 a3 … an≥n.错证(1)当n=1时,a1=1,结论显然成立.(2)假设n=k时,结论成立,即a1a2a3…ak=1时,a1 a2 a3 … ak≥k成立.当n=k 1时,a1 a2 a3 … ak ak 1≥k ak 1,而a1a2a3…akak 1=1,所以ak 1=1,从而a1 a2 a3 … ak ak 1≥k 1.这就是说,当n=k 1时,结论仍成立.由(1)(2)可知,对任意的n∈N*,结论成立.剖析在归纳假设中,由a1a2a3…ak=1(其中ai>0,i=1,2,…,k),则有a1 a2 a3 … ak≥k成立,其实质是若k个正数的积是1,则这k个正数的和不小于k.在递推中,当n=k 1时,有a1a2a3…akak … 相似文献
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李映华 《数学大世界(高中辅导)》2004,(11):6-7
现行高中《数学》(必修 )第一册 (上 )第3 .5节例 4是 :已知Sn 是等比数列 {an}的前n项和 ,S3,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .这是一道难得的好题 ,具有很好的研究价值 .一、例题引申引申 1:若Sn 是公比q≠ 1的等比数列{an}的前n项和 ,a2 ,a8,a5成等差数列 ,则S3,S9,S6 成等差数列 .证明 :设等比数列 {an}的首项为a1 (a1 ≠ 0 ) .∵a2 ,a8,a5成等差数列∴ 2a8=a2 +a5.即 :2a1 q7=a1 q +a1 q4∴ 2q6 =1+q3,∴q3+q6 =2q9.又q≠ 1,∴S3+S6 =a1 ( 1-q3)1-q +a1 ( 1-q6 )1-q=a1 [2 -(q3+q6 ) ]1-q=2a1 ( 1-q9)1-q =2S9.∴S3,… 相似文献
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9.
在各级各类的初中数学竞赛中 ,有许多较困难的问题 ,若能善于运用奇偶分析的方法 ,往往有“四两拨千斤”的效果 .现分类例析当今初中数学竞赛中经常出现的可用奇偶分析法来解决的问题 ,供参考 .1 与正整数有关的问题1 .1 求正整数例 1 一个正整数 ,若分别加上 1 0 0与1 6 8,则可得到两个完全平方数 ,求这个正整数 .( 2 0 0 1年全国初中数学联赛题 )解 设此数为 n,且 n+ 1 6 8=a2 ,n+ 1 0 0= b2 ,则 a2 - b2 =6 8=2 2 × 1 7,即 ( a+ b) ( a-b) =2 2 × 1 7.但 a+ b与 a- b的奇偶性相同 ,故 a+ b=34,a- b=2 .于是 a=1 8,从而 n=1 56 .1 .… 相似文献
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黄细把 《中学课程辅导(初一版)》2004,(9)
在给定条件下求代数式的值,如果运用整体代人的方法,则可化难为易. 例1若a 29=b 9=。 8,贝TJ(a一b)2 (b一e)2 (c一a)z-一 (1998年希望杯初一数学竟赛试题) 解…。 19=b十9=c十8,…。一b=一lo,b一c=一1,c一a=11.则所求式=(一20)2 (一1)2 112=222. 例2已知扩一3二十5的值为7,则代数式3x2一9x一2的值为() A .0 B.2 C.4 D.6 (1099年桃李杯初一数学竞赛试题) 解…xZ一3x十5=7,:沈2一3x=2,3x2一9x=6. …孙2一9x一2二(3x2一9x)一2=6一2二4. 例3如果a b 。=o,a2 bZ 。2=1,那么。(b c) b(c 司十c(a十b)=_. (l 995年广州等五市初一数学竟赛试题) … 相似文献
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在给定的条件下求代数式的值 ,人们往往用代入法 ,它是一种最基本而又重要的运算方法 .但是有时单一地代入 ,往往计算繁琐 ;如果能根据题设条件 ,将某些代数式看作一个数 (量 ) ,巧作“整体地代入” ,有时能算得既准又快 ,可收到事半功倍的效果 .现例说如下 :1.凑式成“式” ,整体代入 先看一例 : 例 1 已知a+1a =8,则代数式a2 +1a2 的值是 .解 既然已知a+1a =8,可将代数式a +1a 看作一个整体 ,它又等于 8.而a2 +1a2 =a+1a2 -2 =82 -2 =62 .说明 本例解法 ,不是从已知条件中先求出a是多少 ,再代入计算 ,因为这样做太繁琐了 .… 相似文献
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题目 已知数列{an}满足：a1=2,an=2（an-1＋n）（n=2,3,…）.求数列{an}的通项公式.（2013年全国高中数学联赛（B卷）试题）本文从一题多解,一题多变两个角度对本题目进行探究,希望对同仁有所帮助.一、一题多解解法1：a1 =2,a2 =2（a1＋2）=8,当n≥3时,我们有an-2an-1=2n,an-1-2an-2=2（n-1）,两式相减,得an-3an-1＋2an-2=2,即an-an-1＋2=2（an-1-an-2＋2）,令bn=an-an-1＋2（n≥2）,则数列{bn}（n≥2）是公比为2的等比数列,且b2=a2-a1 ＋2=8,于是bn=b2×2n-2=2n＋1,即an-an-1＋2=2n＋1,于是,an-1-an-2＋2=2n,…,a2-a1＋2 =23,将上面n-1个等式相加,得an-a1＋2（n-1）=23 ＋24＋…＋2n＋1=2n＋2—8,∴.an=2n＋2—2（n＋2）,注意到当n=1,2时,公式仍适用,所以这就是所求的通项公式. 相似文献
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韦兴洲 《中学生数理化(高中版)》2013,(6)
本文讨论了n个正整数的和与积相等的一个必要条件,并证明了两个与素数、合数有关的结论.
结论1:若n(n≥2)个正整数a1,a2,…,an满足条件n∑i=1ai=n∏i=1ai,则ai≤n(i=1,2,…,n).
证明:(1)当n=2时,a1·a2-(a1+a2)=(a1-1)·(a2-1)-1≥0,当且仅当a1=a2=2时等号成立,故a1·a2=(a1+a2)时a1≤2,a2≤2,符合结论1.
(2)当n≥3时,设a1≤a2≤…≤an.令a1=a2=…=an-2=1,an-1=2,an=n,则n∑i=1ai=n∏i=1ai=2n.此时ai≤n(i=1,2,…,n).
又设存在n(n≥2)个正整数b1,b2,…,bn满足条件1≤b1≤b2≤…≤bn-1≤bn,bn＞n,且n∑i=1bi=n∏i=1bi.不妨令bi=1+ti(i=1,2,…,n-1,ti∈N),bn=n+tn(n∈N+). 相似文献
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李奇特 《数学大世界(高中辅导)》2004,(12):22-23
老师给我们布置了这样一道题:已知函数f(x)=-2x+2,x∈[0.5,1],设f(x)的反函数为y=g(x),a1=1,a2=g(a1),…an=g(an-1),求数列{an}的通项公式.此题中,由于g(x)=1-12x,因此,本题实质就是:已知a1=1,an=1-12an-1,求an.我对求数列通项公式很感兴趣,经过钻研,找到了许多很好的解法,现将各解法汇集如下,供我们共同学习和参考.解法一(归纳法):因为a1=1,a2=12,a3=34,a4=58,a5=1116,a6=2132,a7=4364,a8=85128,a9=171256,…,经观察,an的分母为2n-1;而奇数项的分子为1、3、11、43、171、…、它们的3倍恰比2的幂多1,即可表为2n+13(n为奇数);偶数项的分子为1… 相似文献
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1 .2 0 0 4年元旦这一天是星期四 ,那么再过 1 +2 -3 +4 +5 -6+7+8-9+… +2 0 0 0 -2 0 0 1 +2 0 0 2 +2 0 0 3 -2 0 0 4天之后的那一天是星期几 ?2 .若a=12 × 1 69m,1a =12 × 43 7n,求 ( 3 6m+74n-1 ) 2 0 0 4的值 .3 .求证 1 1… 12 0 0 4个 1-2 2… 21 0 0 2个 2=3 3… 3 21 0 0 2个 3.4.已知 y1=3x ,y2 =3y1,y3 =3y2,… ,y2 0 0 4=3y2 0 0 3.试求 y1·y2 0 0 4的值 .5 .给出下列数阵 :12 3 45 6 7 8 91 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6… … … … …问 2 0 0 4应排在第几行 ,且在该行上从左向右… 相似文献
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设 {an}是以 q为公比的正项等比数列 ,则有以下两个性质 :性质 1 n a1 a2 … an=n-2 m am +1 am +2 … an-m(n >2 m)证明 :n a1 a2 … an =n a1 .a1 q… a1 qn-1 =n an1 qn( n-1 )2 =a1 qn-1 2 .设 m 2 m)的几何平均数 .记数列前 n项的积为∏n,则 (1)式可以写成n ∏n =n-2 m ∏n-m∏m(2 )注 :… 相似文献
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设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)≤a1c1+a2c2+…+ancn(乱序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和),当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和. 相似文献
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已知一元二次方程有整数根 ,求方程中参数的值 ,这类问题类型较多 ,解法不一 .本文介绍几种常见方法供参考 .1 求根法当一元二次方程的判别式Δ是完全平方式或完全平方数时 ,可利用因式分解法 ,先求出方程两根 ,再求参数 .例 1 已知关于 x的一元二次方程 a2 x2 - (3a2- 8a) x +2 a2 - 1 3a +1 5 =0有整数根 ,求整数 a的值 .分析 因为Δ =(3a2 - 8a2 ) - 4 a2 (2 a2 - 1 3a+1 5) =(a2 +2 a) 2是完全平方式 ,故可用因式分解法求出方程根 .解 解方程得 x1 =2 - 3a,x2 =1 - 5a.因为方程有整数根 ,所以 x1 或 x2 是整数 .因此 ,a是 3或 5的因… 相似文献
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张贤胜 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z2)
均值不等式是指课本中的不等式:①若a、b∈R,则a2 b≥ab;②若a、b、c∈R ,则a 3b c≥3abc.那么,在运用它们求最值时,必须满足“一正、二定、三相等”这三个基本条件,但在具体的问题中,这些条件往往不全满足,这时,就必须对式子作一定的恒等变形,使它同时满足这三个条件,现将恒等变形的常见方法与技巧归纳如下:一、拆项法【例1】若x>0,求函数y=x2 2x 1x4的最小值.解:∵x>0且x2 2x 1x4=x2 1x6=x2 8x 8x,∴y=x2 8x 8x≥33x2·8x·8x=12.故当且仅当x2=8x,即x=2时,ymin=12.二、添项减项法【例2】已知a≥b>0,求y=a (2a4-b)b的最小值.解:∵a≥b>2b>… 相似文献
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2005年高考江苏卷第23题为: 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn 1-(5n 2)Sn=An B,n=1,2,3,…,其中A,B为常数. 相似文献