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1.
几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝… 相似文献
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姚宜如 《初中生世界(初三物理版)》2003,(17)
在一些涉及相似三角形的几何证明题中，有关面积之比的重要性质在证题中发挥着重要的作用．灵活运用面积比，可以巧证几何题．例１如图１，已知：△ABC中，∠C＝９０°．求证：AC２＋BC２＝AB２．这是大家熟悉的勾股定理．它的证明方法很多，利用相似三角形的面积之比进行证明，是其中一种较好的证明方法．证明：作CD⊥AB于D．∵∠ACB＝９０°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．∴S△ACDS△ABC＝AC２AB２，S△CBDS△ABC＝BC２AB２．∴AC２AB２＋BC２AB２＝AC２＋BC２AB２＝S△ACD＋S△CBDS△ABC＝１，∴A… 相似文献
3.
《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵ ∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴ ∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ ∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ… 相似文献
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一、填空题（每空３分，共３０分）１．若一个三角形的两边分别为６和２，则第三边ｘ的取值范围是２．等腰三角形的一边等于４ｃｍ，另一边等于１０ｃｍ，则三角形的周长是３．在△ＡＢＣ中，∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝１：３：５，则∠Ａ＝度， ∠Ｂ＝度，∠Ｃ＝ 度．这个三角形按角分类是 三角形，按边分类是 三角形４．在△ｔＡＢＣ中，∠Ａ＝５０°，∠Ｂ＝∠Ｃ＝１０°，则∠Ｂ＝ 度．Ｓ．在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＞ＡＣ，则∠Ｂ ∠Ｃ．６．全等三角形对应边上的高．二、判断题（每小题２分，共１０分，对的打“√”，错误的打“×… 相似文献
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人教版初中《几何》第二册有这样一道习题：“如图１，△ABC和△CDE都是等边三角形，求证：AD＝BE．”此题看似平常，但只要我们对其作深入挖掘，便能得出一系列结论，这对于激发同学们的学习兴趣，培养同学们的思维能力是极为有益的．证明过程如下：在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝１２０°，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE．∴∠１＝∠２，AD＝BE．一、条件不变，拓宽结论在条件不变的前提下，我们可从这道题引出下面一些结论：（１）CM＝CN；（２）△CMN为等边三角形；（３）MN∥BD；（４）∠AFE＝１２０°．分… 相似文献
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证明三角形全等一般有下面三种思路．一、两个三角形中，已知两边对应相等，需证出它们的夹角对应相等，或者第三边对应相等．例１已知：如图１，Ｂ为ＡＣ的中点，ＢＥ=ＢＤ，∠１=∠２．求证；∠Ａ=∠Ｃ．分析显然需证△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，已有ＡＢ=ＢＣ，ＢＥ=ＢＤ，还需要证明它们的夹角∠ＡＢＥ=∠ＣＢＤ，而∠１=∠２，它们的夹角相等是显然的．证明∠１＝∠２（已知），∠１＋∠３＝∠２＋∠３（等式性质），即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ，△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ… 相似文献
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大家都知道，三角形三个内角的和等于１８０°．对于这个定理的证明，除了课本所介绍的外，还有其他的证法．看一看，以下证法你能想到吗？已知：△ＡＢＣ．求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．证法１如图１所示，过点Ａ作ＡＥ／／ＢＣ，则∠１＝∠Ｃ．∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．而∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠１，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°（等量代换）．证法２如图２，过点Ａ作ＥＤ／／ＢＣ，则∠Ｉ＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ．而∠１＋∠ＢＡＣ＋∠２＝１８０°（平角定义），所以∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝１８… 相似文献
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学习了三角形全等的判定以后，可以利用全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等）解决许多类型的几何问题，如下面几例．一、证明线段相等例1在△凸ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分钱交AC于E，交BC边上的高于D，过D作直线平行于BC交AC于F．求证：AE＝CF．证明如图1，作DM⊥AB交AB于M，作FN⊥EC交BC于N．∵BE是∠B的平分线．二、证明角相等例2如图2，已知AC＝AB，DE＝DB，∠CAD＝∠EDA＝60°．求证：∠AFB＝∠BGC证明∵AC＝AB，DE＝DB，又∠CAD＝∠EDA＝60°，．．bABC和凸BDE都是等边三角… 相似文献
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相似三角形是全等三角形内容的延伸．结合图形弄清相似三角形的性质定理及判定定理的条件、结论是正确解题的前提．现举例如下：例１已知：如图１，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC２＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB．其中能满足△APC和△ACB相似的条件是（）．A．①、②、④B．①、③、④C．②、③、④D．①、②、③析解：本题主要考查相似三角形的判定．由于所判定的两个三角形隐含着一个公共角∠A，因此，依据判定定理１或２，只要再附加一个条件∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB… 相似文献
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已知△ABC中，∠ACB＝９０°，四边形ACDE和CBFG是在△ABC外的正方形，△ABC的高CH所在的直线交DG于M．求证：（１）DG＝AB；（２）CM＝１２DG．（人教版《几何》第二册１９７页B组第４题）当我们做完此题后，不妨以此图形为引子，并弱化条件，使△ABC为斜三角形，作以下探究：命题１在已知锐角三角形ABC的外面，作正方形ACDE和正方形BCGF，求证：AG＝BD．（人教版《几何》第二册１９６页A组第１３题）分析：只要证△ACG≌△DCB（可通过两边夹角）即可．本题还可以得到AG⊥BD．命题２在命题１的条件下，若O１、O… 相似文献
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辅助线在几何证明中很重要，本文介绍添加辅助线的几种思路，以训练思维方法．题目如图１，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至点F，使CF＝BD．求证：∠DAF＝∠BAF．思路启发：本题已知条件和结论之间的关系并不明显，解题时应充分考虑以下几个方面：①矩形的边、角、对角线的性质；②条件BD＝CF的转化；③∠DAF与∠BAF之间的联系．分析１：如图２，由∠DAB＝９０°知，欲证∠DAF＝∠BAF（＝４５°）可考虑构造等腰直角三角形，然后证明两底角相等．略证１：连结AC交BD于点O，延长DC交AF于M点．在矩形ABC… 相似文献
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先看一个题目：已知：如图１，AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝１２０°．求证：１AB＋１AC＝１AD．分析：求证结论是一个形式优美的等式，可以采用常见的策略，变等式．两边同乘AD，得ADAB＋ADAC＝１，用比例线段来证明．证明：过点D作DE∥AC，交AB于点E，则∠２＝∠３．∵∠１＝∠２＝１２∠BAC＝１２×１２０°＝６０°，∴∠１＝∠３＝６０°．∴AE＝ED＝AD．由ED∥AC，得EDAC＝BEAB．∴ADAC＝AB－ADAB．∴ADAB＋ADAC＝ADAB＋AB－ADAB＝ABAB＝１．∴１AB＋１AC＝１AD．仔细观察求证的等式，若令AB… 相似文献
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几何学习中，有时会遇到一类与三角函数有关的证明问题。解答此类问题的关键在于利用或构造直角三角形，将三角函数转化为线段的比加以考虑。例１如图△ABC中，以BC为直径的⊙O和AB、AC分别交于D、E。求证：DE＝BC·cos∠A。证明：连BE，因为BC为⊙O的直径，则∠BEC＝９０°，从而△ABE为Rt△，cos∠A＝AEAB。∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB。∴AEAB＝DEBC。又∵cos∠A＝AEAB，∴DE＝BC·cos∠A。例２如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，C在⊙O上。求证：ctg２∠BOC２＝ADBD。证明：由… 相似文献
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一些较复杂的图形题，都是由简单图形演变而成的，只要能借助辅助线变形化简，解法就接踵（zhǒnɡ）而至了。例１设任意五边形ABCDE，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝？解：经过A点向C、D作对角线，把五边形ABCDE分成△ABC、△ACD、△ADE。因为每个三角形的内角和为１８００，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝１８００×３＝５４００。例２凸多边形ABCDE……N有n个边，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋……∠N＝（n－２）×１８００证明１：在多边形内任取一点O为顶点，向n边形各顶点引辅助线，把n边形分成n个三角形，其内角… 相似文献
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学习几何必须学好几何证明．这里和初一同学说说与几何证明有关的几个问题，供学习时参考．问题一：什么是“几何证明”？根据已知条件和学过的知识，运用推理的方法得出结论的过程就是几何证明．例１如图１，已知a∥b，c为截线，试说明∠１＝∠３．显然，这不是一句话就可以说清楚的，应怎样说明呢？可这样说明：∵a∥b（已知），∴∠２＝∠３（两直线平行，同位角相等）．又∠１＝∠２（对顶角相等），∴∠１＝∠３（等量代换）．这个说明∠１＝∠３的过程就是几何证明．由此可知，一个完整的几何证明应由三部分组成：（１）论题———需… 相似文献
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袁福臣 《初中生世界(初三物理版)》2002,(29)
责任编辑王写之已知△ABC中，∠A＝７０°，如果要你画出图形，你一定会说可以画无数个，因为△ABC中仅知道∠A＝７０°，∠B或∠C的大小不固定，三角形的任何一条边长也不确定，因此三角形的大小形状都在改变．但这无数个变化的三角形中，有一些特定位置的角的值是固定不变的，它们的大小由∠A的度数决定，而与∠B、∠C的大小无关．举例说明如下：例１△ABC中，已知∠A＝７０°，H是角平分线BD、CE的交点．求∠BHC的度数．解：∠BHC＝１８０°－∠HBC－∠HCB＝１８０°－１２∠ABC－１２∠ACB＝９０°＋１８０°－∠ABC… 相似文献
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张成元 《初中生世界(初三物理版)》2002,(32)
三角形的内角和定理及其推论以及周角等于３６０°的结论，在求解几何应用问题中有着广泛的应用．下面举两例以增强同学们的数学应用意识．例1一个零件的形状如图１，按规定∠A应等于９０°，∠B、∠C应分别是２１°和３２°，检验工人量得∠BDC＝１４８°，就断定这个零件不合格，这是为什么？（１９９９年宁夏中考试题）解：延长BD交AC于M，或延长CD交AB于N，利用三角形内角和定理的推论可得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C．若零件合格，则∠A＝９０°，∠B＝２１°，∠C＝３２°，∴∠BDC＝９０°＋２１°＋３２°＝１４３°．而检… 相似文献
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证明共线的四条线段的等积式，一般都要进行代换．本文列举用不同形式代换的五种方法．一、利用相等的线段代换例１如图１，过圆心O的直线l垂直于弦AB，交⊙O于D、M两点，作⊙O的另一条弦AE，并延长交l于点C，连结BE交DM于点F．求证：OD２＝OC·OF．分析：OD是⊙O的半径，可用半径OE代换OD，证OE２＝OC·OF，即证△OEF∽△OCE．证明：作直径EN，连结BN，则∠EBN＝９０°，故∠N＋∠BEN＝９０°；又∠A＋∠C＝９０°，∠A＝∠N，所以∠C＝∠BEN；又∠EOF是公共角，所以△OEF∽△OCE，OE∶OC＝OF∶OE．∴OE２… 相似文献