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文 [1]给出了在约束条件Ax2 Bxy Cy2 =M下 ,求函数ω =Ax2 Dxy Cy2 (A、C、M ∈R ,B、D ∈R)最值的一种方法 ,其实求解这类问题的关键在于设法消去乘积项xy .众所周知 ,任意两个实数x、y ,均可表示成x=u v,y=u -v的形式 ,于是u2 -v2 =xy,从而也达到了消去乘积项xy之目的 .我们不妨称这种方法为和差换元法 ,运用和差换元法可以解决更具一般性的问题 ,我们先以文 [1]中的例题予以说明 .例 1 (1993年全国高中数学联赛试题 ,文 [1]中例 1)设x、y∈R ,且 4x2 - 5xy 4y2 =5 ,记S=x2 y2 ,… 相似文献
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在约束条件Ax2 Bxy Cy2 =M下 ,求函数ω =Ax2 Dxy Cy2 (A、C、M∈R ,B、D∈R)的最值 ,可采用解几或三角换元的方法求解 ,但计算繁杂 .若抓住条件式和欲求式中x2 、y2 系数相同这个特征 ,利用不等式 (a±b) 2 ≥ 0 ,可简易地解决这类问题 .例 1 ( 1993年全国高中数学联赛题 )设x ,y∈R ,且 4x2 - 5xy 4y2 =5,记S=x2 y2 ,求 1Smin 1Smax的值 .解 由 (x±y) 2 ≥ 0 ,得5x2 10xy 5y2 ≥ 0 ,①- 5x2 10xy- 5y2 ≤ 0 .②又由条件式得8x2 - 10xy 8y2 =10 ,③③分别与① ,②… 相似文献
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贵刊在文 [1]中给出了“在约束条件Ax2 Bxy Cy2 =M下 ,求函数ω=Ax2 Dxy Cy2 (A ,C ,M∈R ,B ,D ∈R)的最值”这类问题的简易求法 ,读罢颇有收益 .笔者在教学实践中也对此问题作过一些探讨 ,发现了解决它的一种新方法 ,在此方法中主要用到如下两个结论 :(1)a2 b2 ≥ 2 |ab|[2 ] (a ,b∈R) .(2 ) |f(x)|≤g(x) -g(x) ≤f(x)≤g(x) [f(x) g(x) ]· [f(x) -g(x) ]≤ 0 .下面就以文 [1]中的例 1—例 3为例具体说明这种解法 .例 1 (1993年全国高中联赛题 )已知x、y∈R ,且 4x2 -… 相似文献
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一道习题的探讨性教学 总被引:1,自引:0,他引:1
对于一道解法具有典型性与代表性的习题 ,采用在教师指导下 ,以学生探讨为主的教学模式 ,收到了远比教师单向灌输好得多的教学效果。题 若x、y∈R+ ,且 2x +8y -xy =0 ,求x +y的最小值。生A :依题意得xy=2x +8y≥ 2 2x·8y=8xy ①∴xy≥ 8xy,(xy) 2 -8xy≥ 0 ,∴xy≥ 8或xy≤ 0 (不合题意 ,舍去 ) ,∴x +y≥ 2 xy≥ 1 6②∴x +y的最小值为 1 6。生B :生A的解法是错误的。因为①式等号成立的条件为 2x =8y ,即x =4 y ,②式等号成立的条件为x =y ,两者相互矛盾。应采用以下解法 :∵x、y∈R… 相似文献
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定理 1 设D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点 ,且 ADDB =x ,AEEC =y(x、y∈R+ ) ,BE、DC交于点G ,连结AG交BC于点F .则(1) BFFC =yx ; (2 ) AGGF =x +y ;(3)S△DEF =2xy(1+x) (1+y) (x +y) S△ABC.证明 (1) BFFC =S△ABGS△ACG =S△ABGS△GBCS△ACGS△GBC =AEECADDB=yx .(2 ) AGGF =S△ABGS△GBF =S△AGCS△GFC =S△ABG+S△AGCS△GBC =S△ABGS△GBC +S△AGCS△GBC =x +y .(3)∵ … 相似文献
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第 一 试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1.已知x、y是两个不等的正数 ,则A =x2 +y22- x +y2 ,B =x +y2 -xy ,C =xy - 21x + 1y的大小顺序是 ( ) .(A)A >B >C (B)A >C >B(C)B >A >C (D)B >C >A2 .函数y =f(x)与y =g(x)有相同的定义域 ,对定义域中任何x ,有f(x) +f(-x) =0 ,g(x)g(-x)= 1,且当x≠ 0时 ,g(x)≠ 1.则F(x) =2f(x)g(x) - 1+f(x)是 ( ) .(A)奇函数 (B)偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数3 .已知a、b为非零常数 .若M =a… 相似文献
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一、选择题 :本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1 设M ={y|y=2 x,x∈R} ,N ={y|y=x2 ,x∈R}则 :(A)M ∩N ={ 2 ,4} (B)M ∩ N ={ 4 ,1 6}(C)M =N (D)M N2 已知三条直线 3x -y 2 =0 ,2x y 3 =0 ,mx y =0不能构成三角形 ,则m可能取得的值构成的集合是 ( ) .(A) { -3 ,-2 } (B) { -3 ,-1 ,2 }(C) { -1 ,0 } (D) { -3 ,-1 ,1 }3 设复数z=cosθ isinθ ,θ∈ [0 ,π],w =1 i则|z-w|的最大值是 ( … 相似文献
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函数是初中数学的重要内容 ,也是中考命题的热点 ,特别是两个函数的综合问题更显重要 .现结合中考试题进行分析 ,供参考 .图 1例 1 如图 1,双曲线y =kx与直线y =-x -k相交于A ,过A作x轴的垂线AB (B是垂足 ) .如果S△ABO=2 ,求 :( 1)两个函数的解析式 ;( 2 )S△ABC.( 1998年甘肃省中考题 )解 ( 1)由S△ABO=2知 ,|k|=|xy|=4.又k <0 ,∴ k =-4 .∴ 双曲线的解析式为y =-4x,直线的解析式为y =-x +4.( 2 )由方程组 y =-4x,y =-x +4,得A( 2 -2 2 ,2 +2 2 ) .又C( 4 ,0 ) ,B( 2 -2 2 ,0 ) ,∴ BC … 相似文献
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1 已知x2 y2 +x2 +y2 -4xy -8x -8y + 2 5=0 ,求x、y的值 .2 已知a、b、c都是正实数 ,且a >b.求证 :a2 +c2 -b2 +c2 <a-b.3 已知 2 5a -5b +c =0 (a≠ 0 ) .求证 :b2 ≥ 4ac.4 已知△ABC的三边a、b、c满足不等式a+b +c + 1 7≤ 4a -8+ 6b-3+ 8c-1 ,试判定△ABC的形状 .5 若x1、x2 是方程x2 + 5x -7=0的两个根 ,则 (2x21+ 1 3x1-1 9) (2x22 + 1 3x2 -1 9)的值是.参考答案1 已知等式可变形为 (xy -3) 2 + (x +y) 2-8(x +y) + 1 6 =0 ,即 (xy -3) 2 + (x +y -4 ) 2=0 .∴ x… 相似文献
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代数部分Ⅰ .数与式选择题1 .a +1的相反数是 ( ) .A .-(a +1 ) B .-a +1C .a -1D . 1a +12 .下列各式中 ,计算正确的是 ( ) .A . 1 6=± 4 B .( 3a3) 2 =6a6C .( 12 ) - 1-( 13 ) - 1=-16D .(π -3 1 4) 0 =13 .下列计算中 ,正确的是 ( ) .A .2x2 y +3xy2 =5x3y3B .( -x) 3·( -x) 2 =-x5C .( -a3) 2 ÷ ( -a2 ) 3=1D .2 3 +3 2 =5 54.下列计算中 ,正确的是 ( ) .A .( -4x)·( 2x2 +3x -1 ) =-8x3-1 2x2 -4xB .(x +y) (x2 +y2 ) =x3+y3C .( -4a -1 ) ( 4a -1… 相似文献
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第 一 试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.方程 6× (5a2 +b2 ) =5c2 满足c≤2 0的正整数解 (a ,b,c)的个数是 ( ) .(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 52 .函数y =x2x - 1(x∈R ,x≠ 1)的递增区间是( ) .(A)x≥2 (B)x≤0或x≥2(C)x≤0 (D)x≤1- 2 或x≥ 23.过定点P(2 ,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B ,使△AOB(O为原点 )的面积最小 ,则l的方程为 ( ) .(A)x +y - 3=0 (B)x +3y - 5 =0(C) 2x +y - 5 =0 (D)x +2y - 4=04 .若方程cos 2x +3sin 2x =a +… 相似文献
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《中学数学教学参考》2001,(3)
一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)集合M ={1,2 ,3 ,4 ,5}的子集个数是 ( ) .A .32 B .31 C .16 D .15( 2 )函数f(x) =ax(a >0且a≠ 1)对于任意的实数x ,y都有 ( ) .A .f(xy) =f(x) f( y)B .f(xy) =f(x) f( y)C .f(x y) =f(x) f(y)D .f(x y) =f(x) f(y)( 3)limn→∞Cn2nCn 1 2n 2=( ) .A .0 B .2 C .12 D .14( 4 )函数y =- 1-x (x≤ 1)的反函数是( )… 相似文献
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《中学数学教学参考》2003,(3):58-61
一、选择题 (每小题 5分 ,共 60分 )1 .若集合M ={y|y =2 -x},P ={y|y =x -1 },则M∩P等于 ( ) .A .{y|y>1 } B .{y|y≥ 1 }C .{y|y >0 } D .{y|y≥ 0 }2 .若 f(x) =x -1x ,则方程 f( 4x) =x的根是( ) .A .12 B .-12 C .2 D .-23 .设复数z1=-1 +i,z2 =12 +32 i,则arg z1z2等于 ( ) .A .1 3π1 2 B .71 2 πC .51 2 π D .-51 2 π4.函数 f(x) =11 -x( 1 -x) 的最大值是 ( ) .A .45 B .54 C .34 D .435… 相似文献
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一、选择题 (5分 × 12 =60分 )1.设集合M ={(x ,y)||x + yi|=1},N ={(x ,y)||x + y|=1},其中x ,y∈R ,则M∩N的元素个数是 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 42 .过点P(-2 ,1)且垂直于向量a=(2 ,1)的直线方程是 ( ) (A) 2x + y=0 (B) 2x + y + 3 =0 (C) 2x + y + 4=0 (D) 2x + y -3 =03 .若a ,b ,c,d都是实数 ,且满足以下三个条件 :①a +b=c +d ,②a +d<b +c,③d>c,则有 ( ) (A)a >b>d >c (B)b>d >c >a (C)a>d >c>b (D)d >c… 相似文献
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我们知道圆x2 + y2 =R2 在其上任一点 (x0 ,y0 )处的切线方程为x0 x+ y0 y=R2 如果对于直线Ax+By +C =0 (C ≠ 0 )作如下变形 :R2 A-CR2 x +R2 B-CR2 y =1.若点P(- R2 AC ,- R2 BC )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点P .椭圆 x2a2 + y2b2 =1在其上任一点 (x0 ,y0 )处的切线方程为 x0 xa2 + y0 yb2 =1,对于直线Ax+By +C =0 (C≠ 0 )作如下变形 : a2 A-Ca2 x+b2 B Cb2 y=1.若点P(- a2 AC , b2 BC )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点P .双曲线x2a2 - y2… 相似文献
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王连笑 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):32-33
一、选择题 :1.已知函数f(x) =x2 - 2mx +4 +2m的定义域是R ,值域是 [1,+∞ ) ,则实数m的集合为 ( ) .A .{m|- 1≤m≤ 3} B .{m|1- 5<m <5}C .{- 1,3} D .{m|m <1或m >3}2 .要使函数 f(x) =ax2 +(a - 6 )x +2对一切正整数x都取正值 ,其充要条件是 ( ) .A .a =3 B .2 <a <18 C .a >2 D .以上都不对3.对每一对实数x ,y,函数 f(x)满足 f(x +y) - f(x) -f( y) =xy +1,且f( 1) =1,那么满足f(n) =n(n≠ 1)的整数n的个数共有 ( )个 .A .0 B .1 C .2 … 相似文献
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定理 设P是△ABC平面一动点 ,BC=a ,CA =b ,AB =c.则有PAa PBb PCc ≥ ∑a2∑b2 c2 . ( 1 )为证式 ( 1 ) ,先给出两个引理 .引理 1 [1] 设x、y、z∈R .在△ABC中 ,有(x y z) (xPA2 yPB2 zPC2 )≥a2 yz b2 zx c2 xy . ( 2 )引理 2 [2 ] 在△ABC中 ,有PB·PCbc PC·PAca PA·PBab ≥ 1 . ( 3 )式 ( 2 )即著名的Klamkin不等式 ,式 ( 3 )是我们熟知的Hayashi不等式 .定理证明 :在式 ( 2 )中 ,令x =1a2 ,y =1b2 ,z =1c2 ,得 P… 相似文献
19.
《现代中小学教育》2000,(6)
一、1 - 1 0 2 9× 10 - 9 2 .x =3 3.x8-a8 4 .x≤ 1 5.0 6 .- 2 7.负数 8 x≠ 0 ,x≠ 2 9.2 5a2 b2 10 .x12 11.a b 12 .x <0 13.- 2xy 14 a ,b互为相反数且b≠ 0 15 x =1y =4 x =2y =2二、1 A 2 C 3 C 4 A 5 B 6 C 7 C 8 D 9 B 10 D三、1 2 56x8- 32b4 x4 b8 2 .a6 - 2a3b3 b6 3.2xy - 2 y2 - 2 yz 4 .43a6 b55.3b2 - 2ab - 25a2 6 .axn 2 -bn 1 cxn四、1 x =83y =23 2 .x =136y =- 144 55… 相似文献
20.
杜雷虹 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):20-20
不等式恒成立问题是一类常见题型 ,其综合性强 ,解法灵活多样 ,能很好地考查学生的数学能力 .下面通过一个具体问题加以说明 :例 若不等式 9x- (k +1) 3x+2 >0对任意x∈R恒成立 ,则k的取值范围是 ( ) .A .( -∞ ,- 1) B .( -∞ ,2 2 - 1)C .( - 1,2 2 - 1) D .( - 2 2 - 1,2 2 - 1)解法 1:(特值否定筛选法 )令k =- 1,原式变为 9x+2 >0 ,显然对x∈R恒成立 ,排除A、C .再令k =- 5,原式变为 9x+4·3x+2 >0 ,也恒成立 ,排除D ,故选B .解法 2 :(图象分析法 )令 3x=t(t>0 ) ,原式化为t2 +2 >(k+1)t.在… 相似文献