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1.
本文探讨抛物线对顶点张直角的弦的几个性质及应用.设点A,B在抛物线y2=2px或x2=2py(p>0)上,且OA⊥OB(O为坐标原点).1、对抛物线y2=2px,弦AB过定点(2p,0),反之也成立;对抛物线y2=2px弦AB过定点(0,2p),反之也成立.2、若直线OA的斜率为k(k≠0),则:(1)对抛物线y2=2px,弦AB的中点为(p(k2 1/k2),p(?k 1/k));对抛物线x2=2py,弦AB的中点为(p(k?1/k),p(k2 1/k2)).(2)弦AB的长l=2p(k2 k12 12)2?94;(3)△AOB面积2S2p2k1k= .下面只对y2=2px的情形加以证明,对x2=2py的情形类似可证.证明由???yy2==k2x,px,得A(2k p2,2kp).由OA⊥OB可得B(2pk2,?… 相似文献
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刘玉兰 《中学生数理化(高中版)》2006,(6)
抛物线的焦点弦有着很多值得思考的性质,这里略举一二.图1(一)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1 x2 p.这由抛物线的定义很容易得到.(二)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-p2.证明:抛物线y2=2px与直线AB:x=ky 2p,联立得y2-2kpy-p2=0,所以由韦达定理得y1·y2=-p2.(三)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,令|AF|=r1,|BF|=r2,则r11 r12=2p.设抛物线的焦点F2p,0,当直线的斜率不存在… 相似文献
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《中学数学杂志》2018,(11)
<正>2018年北京高考数学试题理科第19题:已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,QM(向量)=λQO(向量),QN(向量)=μQO(向量),求证:1/λ+1/μ为定值.思考1该试题揭示了抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,QM(向量)=λQO(向量),QN(向量)=μQO(向量),求证:1/λ+1/μ为定值.思考1该试题揭示了抛物线C:y2=4x的一个有 相似文献
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我们知道,若P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P(x,y),且P分P_1P_2的比为λ(λ=-1),见y=y_1 λy_2/1 λ或λ=y-y_1/y_2-y。由公式易得: 1°.λ>0(?)y介于y_1、y_2之间。 相似文献
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罗文军 《中学生数理化(高中版)》2019,(2):31-33
设直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A、B两点(直线AB的倾斜角为α),设A (x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,准线方程为:x=-p/2,则关于抛物线C的焦点弦有以下九条常用的性质:(1)2x1x2=p/4;(2)y1y2=-p2. 相似文献
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周华生 《数理化学习(高中版)》2007,(23)
本文介绍圆锥曲线标准方程的两个用定比λ表示的斜率公式及解题时的巧妙应用.定理1若AB是椭圆Γ1:b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0)或双曲线Γ2:b2x2-a2y2=a2b2或抛物线Γ3:y2=2px(p>0)的焦点弦,F为焦点且AF=λFB,(A在B之上),则弦AB所在直线斜率k满足k2=(λ 1)2(λ-1)2e2-1(λ≠0,λ≠±1 相似文献
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高中数学教材(试验修订本.必修)第119页有这样一道习题: 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2),求证:x1x2=p2/4,y1y2=-p2. 相似文献
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戴志祥 《数理天地(高中版)》2005,(6)
04年全国高考数学理科试题(北京卷)第17题:如图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求抛物线上纵坐标为p/2的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求(y1 y2)/y0的 相似文献
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设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0. 相似文献
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张俊英 《中学数学研究(江西师大)》2008,(5):43-44
线段的定比分点坐标公式x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y:(y_1 λy_2)/(1 λ),λ=(x-x_1)/(x_2-x)反映了线段的起点P(x_1,y_1)、终点P_2(x_2,y_2)、分点P(x,y)与定 相似文献
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石德军 《开封教育学院学报》2004,24(4):82-82
有向线段的定比分点公式有两种形式，一种是教科书中介绍的坐标式，即设p1(x1，y1)，p2(x2，y2)且点P分p1p2所成的比为λ（λ≠-1），则{xp=x1 λx2/1 λ yp=y1 λy2/1 λ;另一种是向量式，教科书没有提到，即设点P分p1p2所成的比为λ，O为其平面内任一点， 相似文献
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习题:过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的一条直线和这抛物线相交 ,两个交点的纵坐标是y1,y2,求证:y1y2＝-p2(人教版<解析几何>第二章习题八第8题) 相似文献
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定理过点(k,0)作直线AB和抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则有x1x2=k2,y1y2=-2pk.证明设直线AB的方程为x=my+k,代入y2=2px,有y2-2pmy-2pk=0.因为直线AB与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,于是y1y2=-2pk.由y21y22=4p2x1x2,得到x1x2=y21y224p2=4p2k24p2=k2.推论(焦点弦定理)若AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1y2=-p2,x1x2=p24.在解决某些与抛物线相关问题的时候,应用该定理和推论的内容,能简洁、快速地解题,同时也能达到优化解题过程的目的.例1如图1所示,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0… 相似文献
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题如图1,过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条直线和抛物线相交,交点的纵坐标为y1、y2.求证y1y2=-p2.证法1由已知,抛物线焦点F(2p,0),设过点F的直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2).若AB⊥x轴,则y1=p,y2=-p.所以y1y2=-p2.若AB与x轴不垂直,设直线AB的方程为y=k(x-2p),与y2=2px联立,得y2-2kpy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.证法2因直线AB过定点F且与x轴不平行,所以设直线AB的方程为x=my 2p.代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.法1是常规解法,法2设出直线方程,避免了讨论直线斜率的存在性,是一种很… 相似文献
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花芳 《中学生数理化(高中版)》2005,(15)
本文首先给出抛物线中的几组“定”结论,并举例说明它们在求解抛物线有关问题时的应用. 结论1 过抛物线y2=2px(p >0)的焦点F的直线l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,设|FA|=m,|FB|=n,O为原点,则有:(1)x1x2=p2/4;(2)y1y2=-p2;(3)kOAkOB=-4; (4)1/m+1/n=2/p.证明略. 相似文献
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解析几何中有这样一个结论,即命题1在抛物线y2=2px(p>0)中,过顶点O作互相垂直的两直线交抛物线于A,B两点,连A,B交x轴于E点,则E为定点.图1证设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=ky+m,代入y2=2px,得y2-2pky-2pm=0.故y1y2=-2pm.又OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0,(1)21y22故y4p2+y1y2=0,m2-2pm=0,m=2p,或m=0(舍).即E点坐标为(2p,0)是定点.利用这个命题,求点O在直线AB上的射影的轨迹,显得特别方便,因OE为定长,就能看出所求轨迹是一个以OE为直径的圆(去掉点O).y1y2=b2m2-a2b2a2+b2k2,又DA=(x1+a,y1),DB=(x2+a,y2),因DA⊥DB,故DA·DB=0,即(x1+a)(x… 相似文献