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李琴堂 《少年天地(小学)》2003,(11)
一、由方程的定义确定参数例1若(m2-m-2)x2+mx+3=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是().(A)m≠-1;(B)m≠2;(C)m≠-1且m≠2;(D)一切实数.解:由一元二次方程的定义,得m2-m-2≠0,∴(m-2)(m+1)≠0,∴m≠2且m≠-1.故选(C).二、由方程根的定义确定参数例2方程x2-12x-m=0的一个根是2,那么m的值是.解:由方程根的定义,把x=2代入方程,得22-12×2-m=0,解得m=-20.三、由方程根的情况确定参数例3已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2k+1√x-1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:∵方程有两个不相等的实数根,∴△=(-2k+1√)2-4(1-2k)×(-1)=-4k… 相似文献
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一元二次方程是初中数学的重要内容之一 ,以一元二次方程知识为背景的问题是历年中考的热门试题 .这里与同学们交流一下如何恰当地构造一元二次方程 ,利用根与系数的关系或判别式解题 .一、解不等式问题例 1 已知一元二次方程 2x2 -2x + 3m-1 =0有两个实数根x1 、x2 ,且它们满足不等式 x1 x2x1 +x2 -4 <1 ,求实数m的取值范围 .解 由题意得 :x1 +x2 =1 ,x1 x2 =3m -12 ,代入上式得3m-121 -4 <1 ,∴m >-53.又由Δ≥ 0可得4-4 × 2 ( 3m -1 ) ≥ 0 ,∴m ≤ 12 .∴m的取值范围是 -53相似文献
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一、数学课堂教学中典型问题情境创设成功范例剖析范例 1:阅读理解型问题情境设计。(摘自《中小学数学》1999年第三期《浅谈阅读型中考试题》)。阅读 :已知方程 x2 - 3x+ 1=0 ,求一个一元二次方程 ,使它的根是原方程各根的立方。解 :设方程 x2 - 3x+ 1=0的根为 x1,x2 ,所求方程的根为 x31,x32∵ x1+ x2 =3, x1· x2 =1第一步∴x31+ x32 =( x1+ x2 ) ( x21- x1x2 + x22 )第二步 =( x1+ x2 ) [( x1+ x2 ) 2 - 3x1x2 ]第三步 =3× ( 32 - 3× 1) =3× 6 =18x31· x32 =( x1x2 ) 3 =13 =1根据以上阅读材料 ,完成以下填空 :1.得到… 相似文献
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高英军 《少年天地(小学)》2003,(11)
一元二次方程根的判别式主要用于判断方程根的情况,灵活运用它还可以解决其它问题.一、用于求值例1如果代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,求m的值.解:∵代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,∴(2m-1)x2+2(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.∴△=〔2(m+1)〕2-4×4(2m-1)=0.解之,得m=1或m=5.二、用于求最值例2已知a、b都是正实数,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解:设a+b=k,则b=k-a,将b=k-a代入a3+b3=2,并以a为主元整理,得3ka2-3k2a+k3-2=0.∵a是正实数,则关于a的方程必有实数根,∴△=(-3k2)2-12k(k3-2)≥0,解得0相似文献
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《中学课程辅导(初三版)》2003,(1)
探索型1.解 :( 1)依题意可得 :x1+ x2 =2 ,x1· x2 =k由 y=( x1+ x2 ) ( x12 + x2 2 -x1x2 ) =( x1+ x2 ) [( x1+ x2 ) 2-3 x1x2 ] =2 ( 4 -3 k) =8-6k 即 y=8-6k.( 2 )∵方程有两实数根∴ Δ=b2 -4ac=4-4k≥ 0 .∴ k≤ 1.由此得 -6k≥ -6. ∴y=8-6k≥ 8-6=2 .即当 k=1时 ,y有最小值 2 ,没有最大值 .2 .( 1)解 :∵∠ BAC=∠ BCO,∠ BOC=∠ COA=90°,∴△ BCO∽△ CAO,∴ AOCO=COOB.∴ CO2 =AO· OB.由已知可得 :AO=| x1| =-x1,OB=| x2 | =x2 .∵ x1x2 =-m<0 ,∴ m>0 .∴ CO=m,AO· OB=m.∴ m2 =m,∴ m=1,m=0 (舍去 ) .∴… 相似文献
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徐利根 《初中生世界(初三物理版)》2005,(18)
在中考复习中,注意某些公式、法则的适用范围以及它们的限制条件,是很有必要的.在本文中,我们一起探讨数学中考中容易失分的几个问题,希望能引起同学们的重视.一、忽视应用根的判别式例1已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0的两个实数根α、β满足α1+β1=1,求m的值.(2004年重庆市中考数学试题)错解:∵1α+β1=1,∴αα+ββ=1,即α+β=αβ.又∵α+β=-(2m-3),αβ=m2,∴3-2m=m2.解之,得m1=-3,m2=1.∴m的值是-3或1.分析:应用一元二次方程的根与系数的关系时,首先要判别方程有无实数根,只有符合Δ≥0的条件,方能确保公式的应用.∵α,β… 相似文献
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一、已知方程及系数的附加条件 ,证明根的存在性这种题型实质上是判别定理的直接应用 ,可归纳为如下思路 :方程———→△———→加入已附加条件 △的符号——结论例 1.已知关于 x的方程 x2 (m - 2 ) x 12 m- 3=0 ,求证 :无论 m取什么实数值 ,这个方程总有两个不相等的实数根。证明 :由方程得△ =(m- 2 ) 2 - 4 (12 m- 3) =m2 - 6 m 16 =(m- 3) 2 7,∵ m为实数 ,∴ (m- 3) 2≥ 0 ,即△ =(m - 3) 2 7>0。∴无论 m取何实数值 ,方程总有两个不相等的实数根。二、已知方程及根的存在性 ,证明与方程系数有关的等式及不等式这类题的思路… 相似文献
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例 1 解方程 a - x + x - b =a - b.解 :设 m =a - x ,n =x - b,则 m + n =a - b,又因为 m2 + n2 =a - b,即 ( m + n) 2 - 2 mn =a - b,∴ m n =0 .由韦达定理知 ,m ,n为方程 u2 - a - bu =0的两个根 ,∴ m =0 ,n =a - b,或 m =a - b,n=0 .由此可解得 x1=a,x2 =b.经检验 ,它们都是原方程的根 .例 2 解方程 x + 12 x - 1- 2 x - 1x + 1=22 .解 :设 m =x + 12 x - 1,n =- 2 x - 1x + 1,则 m + n =22 ,m n =- 1,由韦达定理知 ,m,n是方程 u2 - 22 u - 1=0的两个根 ,∴ m =2 ,n =- 22 或 m =- 22 ,n =2 .由此可解得 x =1,经检验 ,x =1是原方程… 相似文献
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含参数的一元二次方程或二次函数题是中考常见的一类题型,由于参数值的不确定,它往往有较强的迷惑性,一不小心即掉入“陷阱”.下面略举数例,以引起同学们的重视和注意.例1关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为().(A)1(B)-1(C)1或-1(D)12解:选(B).评注:若只考虑题中的明显条件“一根为零”,而忽视了“二次项系数不能为零”这一隐含条件,则会误选(C).例2已知x1、x2是关于x的方程x2-x+a=0的两个实数根,且1x12+1x22=3,求a的值.解∵x1、x2是方程的根,∴x1+x2=1,x1x2=a,∴1x12+1x22=x12+x22x12x22=(x1+x2)2-2x1x2(x1x2)2=… 相似文献
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[题目]若关于x的方程2x+1√=x+m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.错解一:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵方程有两个不同的实数根,∴△=(2m-2)2-4(m2-1)>0,即m<1.分析:此解法出错的原因是,思路停留在套用公式上,而完全忽视了题目给出的隐含条件.错解二:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵2x+1≥0,即x≥-12,设f(x)=x2+(2m-2)x+m2-1,则△>0,f(-12≥0 解得m<1.分析:错解二的思路是正确的,但却忽视了题目给出的另一个隐含条件x+m≥0.所以,本题的正确答案应是:12≤m<1.一般地,在判断形如ax2+bx+c=0,x∈(t1,t2)的二次… 相似文献
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吴复 《数理化学习(初中版)》2006,(9)
一元二次方程的根的判别式和韦达定理(根与系数关系)在解题中有广泛的应用,近年来中考中屡屡以压轴题形式出现,现举例说明·例1(四川省)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0,①的两个不相等实数根中有一个根为0,是否存在实数k,使关于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0,②的两个实数根x1、x2之差的绝对值为1?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由·解:因为方程①有两个不等实根,所以Δ=|-2(m+1)|2-4(m2-2m-3)=16m+16>0,所以m>-1·又因为方程①有一根为0,所以m2-2m-3=0,即(m-3)(m+1)=0·解得m1=-1,m2=3·又因为m>-1,所以m1=-1应舍去,所以m=3·当… 相似文献
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一、顾此失彼例1(1998·重庆市万州区中考题)在RtABC中,∠C=90°,sinA、sinB是方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的两个根,求m的值.错解由根与系数关系可得:sinA+cosA=2m-5m+5,sinA·cosA=12m+5.由sin2A+cos2A=1,有2m-5m+52-24m+5=1.解之得m=20或-2.经检验,m=20或-2是原方程的解,∴m=20或-2.分析本题在解分式方程时,考虑到了验根,但却忽略了三角函数的值域.事实上,因∠A是锐角,可知0相似文献
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宋子模 《初中生学习(中考新概念)》2004,(11)
在中考数学试卷中和中考数学复资料中,常常碰到一元二次方程公共的问题.在求这类问题时,一般的方是应用方程的根的定义,并借助方程的相关知识加以解决.现向同学们绍一种巧求的方法.例1 方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0有一个公共根,求这个公共根m的值.解:设这个公共根为α,则α2+mα+6=0 (1)α2-(m+4)α-12=0 (2 ) (1) + (2) 得:2α2- 4α-6 = 0,即α2-2α-3=0,∴α1= -1,α2=3.当α=-1时,m = 7,当α= 3时,m =-5. ∴方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0 . 当m = 7时,公共根是-1;当 =-5时,公共… 相似文献
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解含参数的一元二次方程的整数根问题,关键是要熟练掌握一元二次方程的基础知识,以及整数、完全平方数的性质,并能适当运用分类讨论等思想方法.现举例说明解决这类问题的常用思路与方法.一、判别式法若一元二次方程有整数根,则有Δ≥0,并且Δ恰为完全平方数.同时,方程的二次项系数不为零,由此可解决相关问题.例1当m是什么整数时,关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的解都是整数?解依题意,有Δ1=(-4)2-4m×4≥0,Δ2=(-4m)2-4(4m2-4m-5)≥0.得16-16m≥0,-4m-5≤0.∴-45≤m≤1,而m为整数,∴m=-1,或0,或1.当m=-1时,方程mx2-4x+4=… 相似文献
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题目:当m取什么实数时,方程x~2 (m-2)x (m 3)=0两根平方和有最小值?最小值是多少?解法一:设此方程的两根为x_1、x_2,则x~2_1 x~2_2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=〔-(m-2)〕~2-2(m 3)=m~2-6m-2∴当m=-(b/2a)即m=3时,x~2_1 x~2_2=m~2-6m-2 有最小值为:3~2-6×3-2=-11。解法二:设此方程的两根为x_1、x_2,则 相似文献
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1·一般化策略在求值中的应用字母相对于数字来说是一般形式,对于题目中含繁杂数字,可以利用一般化策略,用字母代替数字,寻求一般化规律,从而达到化繁为简的目的·【例1】若函数f(x)=12x+2,求f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值·解析:本题逐项求值是繁难的,由于自变量的值两两之和相等,即(-5)+6=(-4)+5=(-3)+4=(-2)+3=(-1)+2=0+1=1·这样的信息启示我们考察一般化情形即f(x)与f(1-x)间的关系·∵f(1-x)=12x-1+2=2+22x·2x,f(x)=22+2·2x,∴f(1-x)+f(x)=2x+22(2x+2)=22,∴f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=6×22=32.2·一般化策略在不等… 相似文献
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一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法… 相似文献
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在学习二次函数、反比例函数时,有些同学常因概念不清、思维不周或理解不透而发生解题错误.现列举几例共同探究. 例1 已知抛物线y=(m-3)x2-2mx+m与x轴有两个交点,求m的取值范围. 错解:∵抛物线与轴有两个交点,∴△>0,即(-2m)2-4×(m-3)×m>0解得m>0. 相似文献
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一元二次方程是初中数学的重要内容,也是中考的热点.下面以2013年中考题为例,说明一元二次方程中常用的数学思想.
一、整体思想
例1 (2013年黔西南卷)已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是____.
解析:∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,
∴12+a+b=0,∴a+b=-1,
∴.a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.
温馨小提示:本题主要考查一元二次方程解的概念,把根直接代入方程,即可求得a+b的值,然后整体代入求出代数式的值. 相似文献