“互叠法”证不等式的两个定理     

《中学数学教学参考》2007,(15)

定理1 欲证 P≥Q,只需证 P Q≥2Q.例1 (《数学通报》数学问题解答1602)已知 a,b,c∈R_ ,求证:((a b)/(a c))a~2 ((b c)/(b a))b~2 ((c a)/(c b))c~2≥a~2 b~2 c~2 .证明:不等式可化为P=a~3b~2 b~3c~2 c~3a~2≥a~2b~2c ab~2c~2 a~2bc~2≥Q.P Q=(a~3b~2 ab~2c~2) (b~3c~2 a~2bc~2) (c~3a~2  相似文献   

一组猜想不等式的统一证明     

沈兵  陈罗英 《中学数学研究(江西师大)》2015,(2):20-21

宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想4为:已知a,b,c是正数,求证a~2/(a~2+(b+c)~2)+b~2/b~2+(c+a)~2+c~2/c~2+(a+b)~2≥3/5(1);(a~3)/(a~3+(b+c)~3)+(b~3)/(b~3+(c+a)~3)+(c~3)/(c~3+(a+b)~3)≥1/3(2);(a~4)/(a~4+(b+c)~4)+(b~4)/(b~4+(c+a)~4)+(c~4)/(c~4+(a+b)~4)≥3/(17)(3).  相似文献   

1986年献礼     

张焕明  数学组  刘宁 《数学教学通讯》1986,(3)

1.若(a b)/(a-b)=(b c)/(b-c)=(c a)/(c-a) 求证:|a~(1986)|=|b~(1986)|=|c~(1986)| 【证明】:由条件(*)知a、b、c两两不等,且abc≠0,对(*)式用合分比定理得a/b=b/c=c/a=x≠1从而c=ax,b=cx=ax~2,a=bx=ax~3 ∴ x~3=1,可见x是1的立方虚根w或w~2。∴ c=aw,b=xw~2或c=aw~2,b=aw~4=aw, 于是|a~(1986)|=|(aw~2)~(1986)|=|(aw)~(1986)| 故|a~(1986)|=|b~(1986)|=|c~(1986)| 2.证明:是合数【证明】:=10~(1986)-1/9=(10~(993))~2-1/9=((10~(993) 1)(10~(993)-1))/9  相似文献   

一类无理不等式的构图证明和推广     

许国芳  崔建华 《中学数学月刊》1998,(9)

文[1]提到这样一组题:已知a,b,c为正数,求证: (1)(a~2 b~2 ab)~(1/2) (b~2 c~2 bc)~(1/2)>(c~2 a~2 ca)~(1/2); (2)(a~2 b~2)~(1/2) (b~2 c~2)>(c~2 a~2)~(1/2); (3)(a~2 b~2-ab)~(1/2) (b~2 c~2-bc)~(1/2)>(c~2 a~2-ca)~(1/2); (4)(a~2 b~2-ab)~(1/2) (b~2 c~2-bc)~(1/2)≥(c~2 a~2-ca)~(1/2). 并巧妙地利用复数证明了(4)。受文[1]的启发,本文将给出上述各不等式的构图证明,以及两个一般性的结论。 在下文中,记OA=a,OB=b,OC=c。 证明 (1)如图1,设∠AOB=∠BOC=∠COA=(2π)/3,由余弦定理知AB=(a~2 b~2 ab);…,再由AB BC>CA知  相似文献   

三角形与其内接三角形面积的关系     

高鹰 《数学教学通讯》1992,(5)

设A_1,B_1,C_1分别是△ABC中BC,CA,AB边上的任意点,则你△A_1B_1C_1为△ABC的内接三角形。本文中记△ABC的面积为S,AB=c,BC=a,CA=b,内切圆半径为r,三旁切圆半径为r_a,r_b,r_c;AC_1/C_1B=m,BA_1/A_1C=n,CB_1/B_1A=l,△AC_1B_1,△BA_1C_1,△CB_1A_1,△A_1B_1C_1的面积分别为S_1,S_2,S_3,S′。则有。定理、△ABC的面积S与其内接△A_1B_1C_1面积S′有如下关系式:S′=(1+mnl)/((1+m)(1+n)(1+l))S其中AC_1/C_1B=m,CB_1/B_1A=l,BA_1/A_1C=n。  相似文献   

巧算六边形面积     

曹秀萍 《时代数学学习》2002,(Z2)

题目如图1,RtΔABC的三边长为a,b,c(c~2=a~2+b~2),由边AB,BC,CA向外作正方形ABB_1A_2,ACC_2A_1,BCC_1B_2,连结A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2,得六边形A_1A_2B_1B_2C_1C_2,求此六边形的面积。分析与解求六边形A_1A_2B_1B_2C_1C_2的面  相似文献   

两个相关三角形的勃罗卡角的一个性质     

刘康宁 《中学数学教学》1994,(1)

性质 设△ABC的中线m_a、m_b、m_c构成△A＇B＇C＇,O、O＇分别是△ABC和△A＇B＇C＇内一点,且∠OAB=∠OBC=∠OCA=α,∠O＇A＇B＇=∠O＇B’C＇=∠O＇C＇A’=α＇,那么α=α＇。 证明 记△ABC和△A＇B＇C＇的面积分别为△、△＇。在△ABC中,由勃罗卡角等式及正、余弦定理,得ctgα=ctgA ctgB ctgC=cosA/sinA cosB/sinB cosC/sinC=(b~2 c~2-a~2)/(2bc sinA) (c~2 a~2-b~2)/(2ca sinB) (a~2 b~2-c~2)/(2ab sinC)=(a~2 b~2 c~2)/(4△)。在△A＇B＇C＇中,同理可得ctgα＇=(m_a~2 m_b~2 m_c~2)/(4△)。据熟知的结论,有 m_a~2 m_b~2 m_c~2=3/4(a~2 b~2 c~2), △＇=(3/4)△, ∴ctgα=ctgα＇。 又α、α＇∈(0,π/2),故α=α＇。  相似文献   

高中数学会考模拟试卷(B)     

傅启凤 《中学数学月刊》1998,(Z1)

(1)∵A_1B_1∥AB,AB⊥BC,∴A_1B_1⊥BC,又∵直棱柱,∴BB_1⊥平面A_1B_1C_1。∴BB_1⊥A_1B_1,∴A_1B_1⊥平面BB_1C_1C.(2)∵A_1C在平面BC_1内射影为B_1C,由三垂线定理得A_1C⊥BC_1.(3)取BB_1中点F,连EF,DF,∵DE∥A_1B_1,∴BE⊥平面BB_1C_1C,∴∠DFE为二面角D-BB_1,-E  相似文献   

运用直线重合的条件解题     

钱军先  邓超 《中学数学月刊》1996,(4)

众所周知,直线l_1:A_1x B_1y C_1=0与直线l_2:A_2x B_2y C_2=0(其中A_1、B_1、C_1、A_2、B_2、C_2均不为零)重合的充要条件是(A_1)/(A_2)=(B_1)/(B_2)=(C_1)/(C_2)。然而,运用这一条件求解某些数学问题,构思新颖,方法巧妙,过程简捷。本文就此作一些探讨,旨在抛砖引玉,并希望对我们的教学能有所帮助。  相似文献   

关于a+b+c=0的一组优美结论     

武增明 《中学数学教学参考》2006,(15)

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3  相似文献   

求函数最值的常规方法与技巧     

李土兴 《考试》2009,(11)

例.已知0相似文献   

一个公式的巧用     

张山 《数学教学通讯》1985,(5)

公式(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca)=a~3+b~3+c~3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a~2-(b+c)a+(b~2+c~2-bc)] =a~3-(b+c)a~2+(b~2+c~2-bc)a+(b+a)a~2-(b+c)~2a+(b+c)(b~2-a~2-bc) =a~3+(b~2+c~2-bc-b~2-2bc-c~2)a+b~2+c~3 =a~3+b~3+c~2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c~3-3abc =(a+b)~3+c~3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c)  相似文献   

例说对称条件在解题过程中的作用     

凌国香 《中学数学月刊》1998,(5)

很多数学问题,给出的条件往具有某种对称性,利用这种对称条件,不但能使我们预测问题的结论,发现解题途径,而且能够简化解题过程.深化问题的结论.1 预测问题的结论例1 已知四面体P-ABC的六条棱长之和为l,并且∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,试求它的最大体积.(美国第五届中学奥林匹克竞赛题)分析 设 PA=a,PB=b,PC=C,则AB=(a~2 b~2)~(1/2),BC=(b~2 c~2)~(1/2),CA=(c~2 a~2)~(1/2),  相似文献   

余弦定理的向量复数证明及其变式应用     

顾长亮 《中学数学研究(江西师大)》2013,(1):28-29

一、余弦定理的向量证明在任意△ABC中,a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边,则a~2=b~2+c~2-2bccosA,b~2=a~2+c~2-2accosB,c~2=a~2+b~2-2abcosC(2011年陕西省理科(文科)第18题"叙述并证明余弦定理").(直接来原于课  相似文献   

一道中考题感言     

黄廷飞 《安徽教育》1991,(10)

（一）我省今年中考数学试题第八题是这样的：在△ABC中，已经学过△=(1/2)absinC，c~2=a~2+b~2-2abcosC，另外还学过sin~2a+cos~2a=1，试根据上述公式证明△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2)（这里s=(a+b+c)/2）。  相似文献   

一组三角不等式新证     

范培养 《中学数学月刊》1998,(6)

△ABC中,若a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,△为△ABC的面积,则有 ctgA=cosA/sinA=(b~2 c~2-a~2)/2bcsinA=(b~2 c~2-a~2)/4△, tg(A)/2=(1-cosA)/sinA=(a~2-（b-c）~2)/4△等。由此以及海伦面积公式,不难得出以下一些性质: 1. ctg A ctg B ctg C=(a~2 b~2 c~2)/4△.  相似文献   

Weitjenbok不等式简记八法     

陈文明 《中等数学》1990,(1)

设△ABC的边和面积分别为a,b,c和△,则a~2 b~2 c~2≥3~(1/4)△. 证1 比较法.a~2 b~2 c~2-3~(1/4)△=2(b~2 c~2)-4bcosin(A 30°)≥2(b-C)~2≥0. 证2 (a~ b~2 c~2)-(3~(1/4)△)~2=(a~2 b~2 c~2)-3(a b c)(a b-C)·(b c-a)·(C d-b)=2[(a~2-b~2)~2 (b~2-c~2)`2 (c~2-a~2)~2]≥0.  相似文献   

也谈整数边的三角形     

方纯义 《中学数学教学》1987,(5)

本刊1986年第四期刊载蒋声同志的文章,给出了有一个内角为120°的三角形的三边长的整数解,即C=120°,三边长分别为 d=2mn+m~2, (A) b=2mn++3n~2, c=m~2+3mn+3n~2,其中m、n为自然数,且m≠3的倍数(否则三边长有公因数)。显然(A)式是不定方程 c~2=a~2+b~2+ab的一组整式解,但蒋老师并没有给出如何找到这一组整式解的方法。本文打算就这个问题谈一点方法,并就整数边三角形的存在给出一个充要性条件。一、不定方程 c~2=a~2+b~2+ab的整数解的求法关键是配方。首先c~2=a~2+b~2+ab=a~2+ab+1/4 b~2+3/4b~2=(a+1/2b)~2+(1/2 3~(1/2)b~2又由恒等式 (p~2+q~2)~2=(p~2-q~2)++(2pq)~2  相似文献   

几个常见数学问题的联接     

《中学数学教学参考》2007,(13)

日本《代数学辞典》上册(上海教育出版社1982年出版)第589页的问题2412为问题1 设 a、b、c 是正数,a~2 b~2=c~2,证明 a~3 b~3相似文献   

W.Janous猜测的幂指推广     

李同林 《中学教研》1993,(11)

《中学数学》(苏州大学)1993年第1期与第5期集锦栏对著名的W.Janous猜测: “设x、y、z都是正数,则有y~2-x~2/z+x+z~2-y~2/x+y+x~2-z~2/y+z≥0”给出了两个简证。现可子以推广,得到: 命题设x、y、z都是正教,m、n均为自然数,则有(y~m-x~m)/(z~n+x~n)+(z~m-y~m)/(x~n+y~n)+(x~m-z~m)/(y~n+z~n)≥0. 下面利用对称思想给出一个巧妙的证法。证明:因为命题中不等式左边是一个关于x、y、z的轮换对称式.所以可设x≥y≥z,于是, 左式=((y~m-x~m)/(z~n+x~n)-(y~m-x~m)/(y~n+z~n))+((z~m-y~m)/(x~n+y~n)-(z~m-y~m)/(y~n+z~n))=(y~m-x~m)·(y~n-x~n)/((z~n+x~n)(y~n+z~n)) +(z~m-y~m)·(z~n-x~n)/((x~n+y~n)(y~n+z~n)) 又对任何自然数p,有a~p-b~p=(a-b)(a~(p-1)+a~(p-2)b+…+b~(p-1))。从而,左式  相似文献