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赵大坤 《新乡师范高等专科学校学报》1994,(2)
<正>在多年的数学教学实践中,为了激发学生的积极性,引导学生探讨一些习题的不同解法,这对培养学生的能力,开发学生的智力都起着十分重要的作用.例如 对弧长的曲线积分:(?)l (x~2+y~2)~(1/2)ds其中l为园周x~2+y~2=ax解法如下:法一 令 x=rcosθ y=rsinθ则园周x~2+y~2=ax可变为r=acosθ且-(π/2)≤θ≤(π/2),如图一∵ds=(r~2+r~(12)~(1/2)dθ=adθ 且(x~2+y~2)~(1/2)=r=acosθ∴(?)l(x~2+y~2)~(1/2)ds法二取θ为参数,如图二∵OA=acosθ -π/2≤θ≤π/2 相似文献
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一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角,则异面直线 AB 和 CD 所成的角是( ).A.30° B.45° C.60° D.90°2.如果(1+sin~2θ)sinθ>(1+cos~2θ)cosθ,且θ∈(0,2π),那么角θ的取值范围是( ).A.(0,π/4) B.(π/2,(3π)/4) C.(π/4,(5π)/4) D.((5π)/4,2π)3.定义:离心率 e=(5~(1/2)-1)/2的椭圆为“黄金椭圆”.对于椭圆 E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0),如果 a,b,c 不是等 相似文献
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1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值. 相似文献
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众所皆知,增设性构作给某些数学问题的求解带来化繁为简的生机,但不恰当的增设性构作给某些数学问题的解答蒙上消极被动的阴影,未必被众人所晓,下面对此进行剖析。一只图形式忽视本质增设性构作常诞生于审析问题的形式结构之中,初步产生后将继续结合问题解答的需要逐步修正完善,千万可可忽视,修正完善过程。例1 求函数f(x)=x+(1-x~2)~(1/2)的值域。错解:设x=sinθ,则y=sinθ+cosθ=(2sin(θ+σ/4))~(1/2) 函数f(x)的值域是[-2~(1/2),2~(1/2)]。剖析:这里仅注意f(x)的定义域与三角函数值域之关系,选用三角代换,而忽视了x=sinθ时,(1-x~2)~(1/2)=cosθ≥0并非对任意实数θ恒成立。应将增设修正为x=sinθ,θ∈[-1/2π,1/2π],得出正确结果[-1,2~(1/2)]。例2 求函数y=(x~2-8x+17)~(1/2)+(x~2+4)~(1/2)的最小值。错解:∵ y=((x-4)~2+1)~(1/2)+((x~2+2~2)~(1/2) ∴设z_1=(x-4)+i,z_2=-x-2i, 则y=|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2|=(17)~(1/2),y的最小值是(17)~(1/2)。 相似文献
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三角代换在代数中有广泛应用,本文举例说明它在解一类无理不等式中的应用。 [例1] 解不等式(2x+5)/~(1/2)>x+1(85高考题) 解:由2x+5≥0得x≥-5/2,当-5/2≤x≤0时,设x=-5/2sin~2θ,θ∈(0,π/2),不等式化为5cos~2θ-2(5~(1/2)cosθ-3<0。此不等式对θ∈[0,π/2]恒成立,∴-5/2≤x≤0是不等式的解。当x>0时,设x=5/2tg~2θ,θ∈(0,π/2),则不等式化为5sec~2θ-2(5~(1/2))secθ-3<0,解得1相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(11)
定理1 圆锥侧面积 S_c、底面积 S_d 与体积 V 有关系 S_c~2S_d-S_d~3=9πV~2.证明:设圆锥高为 h,底面半径为 r,则S_c~2S_d=(1/2·2πr·(h~2 r~2))~2·πr~2=π~3r~4h~2 相似文献
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黄爱民 《第二课堂(小学)》2005,(3)
一、知识归纳 1.任意角的三角函数 ①定义:设P(x,y)是角α终边上的任意一点,且|OP|=r(r>0),则 sinα=y/r,cosα=x/r,tanα=y/x,cotα=x/y,secα=r/x,cscα=r/y. ②符号法则 ③同角三角函数关系: sin2α+cos2α=1, cosα·secα=1, tanα=sinα/cosα, ④诱导公式: 1+tan2α=sec2α. sinα·cscα=1, cotα=cosα/sinα. 1+cot2α=csc2α, tanα·cotα=1, 相似文献
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《数学通报》88—2《高中数学复习探讨》一文P33例4: 已知椭圆方程x~2/4+y~2=1,过P(4,-2)作一直线l交椭圆于M、N两点,又Q点在直线l上,并且满足2/|PQ|=1/|PM|+1/|PN|。求Q点的轨迹方程。解:设过P点的直线方程为 {x =4+tcosθ y=-2+tsinθ(t为参数)代入椭圆方程得(cos~2θ+4sin~2θ)t~2+(8cosθ-16sinθ)t+28=0由2/|t|=1/t_1+1/t_2得Q点轨迹方程为: 相似文献
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早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法 相似文献
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在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。 相似文献
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一、从反面来巩固正面知识进行新课,宜从正面入手。因为学生接受知识往往先入为主,正面未巩固,即渗入反面,可能引起思维混乱,以致喧宾夺主。但复习课是在学生已有一定的基础上来进行的,除去从正面系统概括所学过的知识以外,列出一些易犯的错误,让学生自己指点出来,以加深印象,对正面知识却可起巩固作用。这里根据平常教学不等式时,从测验与作业中归纳了一些较普遍性的错误,并作了粗线的分析,提供同志们组织复习时参考。 1.由于数的概念与绝对值概念不清所引起的错误。例如已知x,y为非0的实数,试比较(x/y~2) (y/x~2)与1/x 1/y的大小。学生作出了如下的论断: 因为(x/y~2 y/x~2)-(1/x 1/y)=(x~3 y~3-xy~2-x~2y)/(x~2y~2) =((x y)(x~2-xy y~2)-xy(x y))/(x~2y~2) =((x y)(x-y)~2)/(x~2y~2)=(x~2-y~2)(x-y)/(x~2y~2)。分母x~2y~2>0,分子(x~2-y~2)与(x-y)同符号,其积 相似文献
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[题] 从椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1的中心作三条两两互成2π/3角的半径r_1,r_2,r3,求证:1/r_1~2+1/r_2~2+1/r_3~2定值。证:将椭圆方程化为极坐标方程得ρ~(2)cos~(2)θ/a~(2)+ρ~(2)sin~(2)θ/b~(2)=1→1/ρ~(2) 相似文献
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题 (1993年全国高中数学联赛试题)设实数x、y满足4x~2-5xy4y~2=5,设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/(S_(min))=____·(答:8/5) 贵刊文[1]推广为:设实数x、y满足ax~2-(a 1)xy ay~2=a 1,(其中a>1或a<-(1/3),a≠-1),设s=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S-(min))=2a/(a 1) 本文将在文[1]的基础上作一点改进,给出更为一般的推广命题的两种解法. 命题 实数x、y满足Ax~2 Bxy cy~2=D(其中B~2<4AC,D>0),设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S_(min))=(A C)/D.(1)×S-(2)×D得(AS-D)x~2 BSxy (CS-D)y~2=0. 由题设知y≠0,∴(AS-D)(x/y)~2 BS(x/y) (CS-D)=0,∵x/y∈R,∴△=(BS)~2-4(AS-D)(CS-D)≥0. 即(B~2-4AC)S~2 4D(A C)S-4D~2≥0.又因B~2-4Ac<0,若记S_1相似文献
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一、直接由定义引出解法 对于某些考查概念理解程度的问题,必须严格按照定义的要求去做,否则将会产生错误。 例1 到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为2~(1/2)/2的动点的轨迹方程是 ( ) (A)x~2/16 y~2/12=1 (B)x~2/12 y~2/16=1 (C)x~2 2y~2 8x-56=0 (D)3x~2 3y~2-8x 68=0 错解:由定义知动点的轨迹是椭圆,故 相似文献
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康义武 《中学生数理化(高中版)》2010,(6)
策略一挖掘隐含条件例1已知tanα,tanβ是方程x~2+3(3~(1/2))x+4=0的两根,且-π/2<α<π/2,-π/2<β<π/2,求α+β的值. 相似文献
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高中代数中的反三角函数是一个难点,概念性较强,所以要真正掌握反三角函数,就必须透彻理解其定义及了解它的性质,才能准确、熟练在进行反三角函数的运算和证明。以下两个问题是学生较难掌握的内容: 一、求三角函数在任意单调区间上的反函数对这个问题课本上没有例题而有习题,对习题的解答教学参考书上只给出答案而无解答过程。个人认为,课本这样处理给学生增加了难度。为使学生能较好地掌握这部分知识,归纳出这类问题的解法是:对于三角函数在任意单调区间上的反函数,关键在于把其单调区间转化为反三角函数定义中所对应的单调区间(主值区间)上即可。例1 用反函数表示下列各式中的x。 (1)sinx=3~(1/2)/5 (0相似文献