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定理1 △ABC中,AD是中线,F为AD上任一点、BF交AC于E,若AE(?)EC=m,则AF:FD=2m.证 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则AF:FD=AE:EG.∵ D为BC中点,∴AF/FD=AE/((1/2)EC),即AF:FD=2m.定理2 △ABC中,D为BC上一点,E为AC上的一点,AD、BE交于点F,若AE:EC=m,CD:DB=n,则AF:FD=m(1 n).证明 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则 相似文献
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定理 设A’、B’、C’分别在△ABC的三边BC、CA、AB上,若AC’:C’B=p,BA’:A’C=q,C’B:B’A=r,△ABC与△A’B’C’的面积为S与S_0.则S_0/S=pqr 1/(p 1)(q 1)(r 1)证 设△AB’C’、△BA’C’、△CB’A’的面积分别为S_1、S_2、S_3、则 相似文献
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有一道1994年印度数学奥林匹克试题是这样的:假如 P 是△ABC 内一点,AP、BP、CP分别交对边于 D、E、F.求证:AP/PD=AF/FB AE/EC.证明:因为 AF/FB=S_(△ACP)/S_(△BCP),AE/EC=S_(△ABP)/S_(△CBP)·所以 AF/FB AE/EC= 相似文献
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定理 设P是△ABC所在平面上一点,AP,BP,CP分别与对边BC,CA,AB所在的直线交于D,E,F,则AP/PD=AE/EC AF/FB. 证明 如图1,因为△APC和△BPC有公共边CP,故S_(△APC)/S_(△BPC)=AF/FB,同理S_(△APB)/S_(△BPC)=AE/EC。 图1 ∴AE/EC AF/FB=S_(△APC)/S_(△BPC) S_(△ABC）/S_(△BPC)=(S_(△ABC)-S_(△BPC))/S_(△BPC)=(S_(△ABC)/S_(△BPC)-1)=AD/PD-1=AP/PD。 即AP/PD=AE/EC AF/FB。 相似文献
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定理若四边形一条对角线平行另一条对角线,则此对角线必平分该四边形的面积,其逆命题亦成立。如图1,(1)若AE=EC,则S_(△ABD)=S_(△BCD);(2)若S_(△ABD)=S_(△BCD),则AE=EC。这两个命题是显然成立的,读者可根据图1自己证明。下面举例说明它的应用。例1 如图2,在(?)ABCD中,E是对角 相似文献
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引理设Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边上的高;过B点作BE⊥AB,BE=BC,连结AE,过E点作EF⊥AE交AB的延长线于F,则DB=BF. 相似文献
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如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AB=BC,BE⊥AD,垂足为点E,则结论1 BE=DE.证明:过点C作CG⊥BE于G,如图2,则有矩形CDEG,CG=DE.易证△BAE≌△CBG,所以BE=CG=DE.结论2(1)BE=AE+CD;(2)2BE=AD+CD.证明:(1)由矩形CDEG得GE=CD.由△BAE≌△CBG得AE=BG,所以BE=BG+GE=AE+CD. 相似文献
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公式1 △ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆半径为r,则r=1/2(a b-c). 证明:如图1,⊙o内切于△ABC,D、F、E为切点.由切线长定理知:AF=AE.CE=CD,BF=BD. ∴a b-c=(BD DC) (AE EC) -(AF BF) =2CE=2r. 相似文献
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与角平分线有关的证明和求值问题在几何学习中屡见不鲜。解答此类问题时 ,可采取沿角平分线两侧构造全等三角形的方法 ,这样能化难为易。一、当题设中出现了角的一边上一点与角平分线的垂线段时 ,可延长该垂线段与角的另一边相交。例 1 如图 ,AC=BC,∠ ACB=90°,∠ A的平分线 AD交 BC于 D,过 B作BE⊥ AD于 E。求证 :BE=12 AD。 (1 999年天津市初二数学竞赛试题 )证明 :延长 BE交 AC的延长线于 F。∵∠ AEB=∠ AEF=90°, AE=AE,∠ 1 =∠ 2 ,∴△ AEB≌△ AEF(A SA)。∴ BE=FE=12 BF。∵BC⊥AF,AE⊥ BF,∴∠ B… 相似文献
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定理 P是△ABC形内任一点,AP、BP、CP的延长线分别与其对边交于D、E、F,则PD/AD PE/BE PF/CF=1 证 如图1,设△PAB、△PBC、△PAC和△ABC的面积依次为S_1、S_2、S_3和S,则,S_1 S_2 BS_3=S,又PD/AD= 相似文献
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三角形内(外)角平分线定理三角形的内(或外)角平分线分对边所得两条线段和这个角的两边对应成比例。证明:这里采取利用三角形面积的证法。如图1,AD(AE)是△ABC的内角∠CAB(外角∠CAF)的平分线,作DG⊥AB,自D作AC的垂线交延长线于H,则DG=DH。于是 S_(ΔABD):S_(ΔACD)=(1/2AB×DG):(1/2AC×DH)=AB:AC又设BC与AD的夹角为α(锐角),则当以AD为底时△ADB与△ADC的高BM、CN分别为BDsinα,DCsinα。这样,S_(ΔADB):S_(ΔADC)=(1/2AD×BDsinα) 相似文献
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“等腰三角形底边上的高是底边上的中线,也是顶角的平分线。”这就是通常说的“三线合一”定理。利用上述定理来证明几何题,能化繁为简,变难为易。以下分五个方面举例说明它的应用。一、证明线段相等例1 如图,AE是∠BAC的平分线,CD⊥AE,BE⊥AE,M是BC的中点,求证:ME=MD。证明:延长CD交AB于T,延长AC、BE交于K。∵ AE平分∠BAC,AE⊥BE,AE⊥CD, ∴ D、E分别是TC、BK的中点。 相似文献
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引理 设Rt△ABC中 ,∠C =90° ,CD是斜边上的高 ;过B点作BE ⊥AB ,BE =BC ,连结AE ,过E点作EF ⊥AE交AB的延长线于F ,则DB =BF .证明 在Rt△ABC中 ,BC2 =AB·BD ,Rt△AEF中 ,BE2 =AB·BF ,因为BE=BC ,所以DB=BF .这个引理表明 :在两个直角三角形中 ,若第二个直角三角形的一条直角边在斜边上的射影与高分别等于第一个直角三角形的斜边与一条直角边 ,那么 ,其另一直角边在斜边上的射影等于与高相等的直角边的射影 .本文将用几何方法证明如下的代数不等式 :若x>y >0 ,则y <2xyx y 相似文献
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众所周知,若P为△ABC的重心,连结AP、BP、CP并延长分别交对边BC、CA、AB于D、E、F,则 S_(△DEF)=1/4S_(△ABC)。如果P为△ABC内的任意一点,那么S_(△DEF)和1/4S(△ABC)又有何大小关系呢?本文将回答这一问题。定理:若P为△ABC内的任意一点,分别连结AP、BP、CP并延长交对边BC、CA、AB于D、E、F,则 相似文献
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1992年初二暑假作业第27页有这样一题:已知D为△ABC边AB的中点,E为AC边上的一点,AE=2CE,BE和CD相交于G,求证:BE=4GE。这道题和重心定理极其相似,重心定理是:已知D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,求证:E,CD相交于一点且BE=3GE。因此,我想AE=3CE,结果如何呢?更一般地,AE=nCF呢?于是得出下面的定理。定理1 已知D为△ABC边AB的中点,E为AC边上的一点,AE=nCE,BE和CD相交于G,则BE=(n+2)GE 证明:作AH∥EB交CD的延长线于N, ∴△CGE∽△CHA。 相似文献
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题目 在锐角△ABC中 ,AD是∠BAC的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .( 2 0 0 3,IMO中国国家集训队选拔考试 )图 1证明 :如图1 ,作DG′⊥BE于G′ ,AM⊥BC于M ,连结FG′.记∠ABC =α ,∠ACB =β,则BM =AMcotα ,CM =AMcotβ.由已知得BF =DFcotα,CE =DEcotβ ,DE =DF ,AF =AE .故 BFCE=tanβtanα=BMCM.因此 ,BF·CM·AECE·BM·AF=1 .在△ABC中 ,由… 相似文献
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1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC. 相似文献