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1.第五届初中“祖冲之杯”数学邀请赛有一道有趣的题目: 定义平面上有n(n≥3)个点,如果其所有两点间的距离取z个不同的值,若z=[n/2],那么由这n个点及其任意两点的连线所构成的图形,叫做n个点的祖冲之图形,请画出所有4—6个不同的四点的祖冲之图形。对一般祖冲之图形,严桂光作了初步探讨,显见正n边形的n个顶点及其两两连线组成n个点的祖冲之图形。除此之外的祖冲之图形称为奇异的祖冲之图形。[1]中证明对于n≥4的偶数及形为6k+1(k≥l)的奇数 相似文献
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杨之先生在文[1]末给出了一个颇为有趣的猜想：任意凸n(n≥3)边形AlA2…An边上任意一点P，记PA1 PA2 … PAn=Z(P)，Z(P)取最大值时的点P为凸n边形的最大点，则P点是它的最小值的顶点． 相似文献
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单位正多面体的体积探究 总被引：1，自引：0，他引：1
我们知道,对于边长为1的正n（n∈Z,n≥3）边形而言,n越大,其面积越大．事实上,由正n边形的一个内角为（n-2）^π/n,据图1可知,单,位正n边形A1A2…An的面积为 相似文献
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1990年冬季全国祖冲之杯数学邀请赛的最后一题是这样的。给出祖冲之点集的定义:在平面上由n个点所组成的点集,如果点集中的任意两点的垂直平分线都经过点集中至少一个点,那么这个点集就叫做n点的“祖冲之点集”。举出由5点和7点组成祖冲之点集两个例子,然后要求考生在平面上分别表示出6个点及10个点的祖冲之点集。标准答案说明,对n≥3的奇数个点的祖冲之点集是存在的,但对一般n>2的偶数个点的祖冲之点集是否存在?命题者未说清楚。 相似文献
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定义 平面上 ,以凸n边形Q的顶点作为顶点的凸r边形 (3 ≤r≤n)称为Q的内接r边形 .命题 1 正n边形有16n(n - 1 ) (n - 2 )个内接三角形 ,其中互不全等的内接三角形有 n2 +31 2 个 ,亦即〈n21 2 〉个 .([x]表示不大于x的最大整数 ,x∈R ;〈x〉表示最接近x的整数 ,x∈R ,x≠n +12 ,n∈Z)证明 :正n边形Q的内接三角形一一对应于Q的顶点集S的三元子集 ,由相等原理[1] 知Q的内接三角形个数M =C3n=16n(n - 1 ) (n - 2 ) .如图 1 ,设△ABC为Q的内接三角形 ,A、图 1B、C按逆时针方向排列 ,设其外接圆周长为n ,依逆时针方向的弧长AB =n1,BC … 相似文献
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一、引言文[1]建立了如下结论：在任意当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形时，（1）式取等号．本文将不等式（1）推广为定理在任意凸n边形A_1A_2…_A_n中当且仅当A_1A_2…A_n是等角n边形时（2）式取等号．二、几个引理引理1凸n边形至多有两个内角不超证明用反证法及n边形外角和定理．引理2当n≥3时，关于x的函数族：分别都是增函数．证明引理3证明：不妨设0＜α≤β≤/4，和差化积．引理4当n≥3时，成立不等式递增知（4）（5）成立；当n=3，4，5，6，7时．经验算知（4），（5）也成立．三、定理的证明据引理1及0＜A_1＜π（i＝1，2，…，n）… 相似文献
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文[1］将欧拉（Ewler)不等式向双圆n边形（既有外接圆又有内切圆的凸n边形）推广，得到:Rcos≥r(1)近期，文[2］和[3］从“长度”出发，分别给出了不等式（1）的加强形式．本文拟建立它的一种新的面积隔离，即有定理设双圆n边形的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为S、R、r，则当且仅当n边形是正n边形时不等式（2取）等号．证如图1，I为双圆n边形A_1A_2…A_n的内切圆圆心，令A_iA(i＋1)之长为a_i(i=1，2，……，n;A_(n l)≡A_1）.考虑到y=ctgx在（0，）上是下凸函数，且，从而由下凸函数的琴生不等式得：因此，有：下面分几种情形来证… 相似文献
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赵忠华老师在文[1]中证明了正五边形的一个共点线性质,并提出猜想:猜想平面上任意一点P关于同一平面内的一个正n边形(n为奇数)的n个顶点的对称点与该顶点的对边中点连线共点.经过探究,我发现猜想不仅成立,而且其中 相似文献
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1990年全国祖冲之杯数学邀请赛的最后一题,给出了祖冲之点集的定义:在平面上由n个点所组成的点集,如果点集中任意两点连线的中垂线都经过点集中至少一点,那么这个点集就叫做n点的祖冲之点集;举出了由5点和7点组成祖冲之点集的两个例子,然后要求考生在平面上分别表示出6个点和10个点的祖冲之点集。 相似文献
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文[1]、[2]中分别证明了有关正多边形充要条件的两个定理。 定理1 如果凸n边形A_1A_2…A_n满足: 1°A_1A_2=A_2A_3=…=A_nA_1; 2°∠A_1≥∠A_2≥…≥∠A_n那么A_1A_2…A_n是正n边形。 定理2 如果凸n边形A_1A_2…A_n满足: 1°∠A_1=∠A_2=…=∠A_n; 2°A_1A_2≤A_2A_3≤…≤A_nA_1。那么A_1A_2…A_n是正n边形。 相似文献
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文【1】论及正三角形3个顶点在3条等距平行线上、正方形4个项点在4条等距平行线上的计算问题,并在文末提出可进一步探讨正n边形的n个顶点在n条等距平行线上的计算问题和存在性问题．为了进一步探索正n边形的情况,笔者首先分析了正五边形,发现其5个顶点不可能在5条等距平行线上． 相似文献
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命题 1 [1] 平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .若确保图形中出现以给定点为顶点的三角形 ,求证 :x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) .笔者认为 ,x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) 是充分不必要条件 ,并发现如下命题 .命题 2 平面上给定n(n≥3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .图形中出现以给定点为顶点的三角形的充要条件是x≥ n2 n - n2 1 ,其中 ,[x]表示不超过x的最大整数 .证明 :设平面上给定的n个点分别为… 相似文献
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蒋明斌 《中学数学教学参考》2004,(6):57-57,64
文[1 ]得到如下恒等式:命题1 设P、Q是△ABC的等角共轭点(即∠PAB =∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB=∠QCA) ,则有AP·AQAB·AC BP·BQBA·BC CP·CQCA·CB=1 .①文[2 ]将命题1推广为命题2 设P、Q为△ABC所在平面内任意两点,则AP·AQAB·AC BP·BQBA·BC CP·CQCA·CB≥1 ( =|P、Q为等角共轭点) .②本文将命题2推广到凸n边形,我们有命题3 设P、Q为凸n边形A1A2 …An(n≥3 )所在平面上任意两点,F为这凸n边形的面积,则∑ni=1PAi·QAisinAi≥2F .③注:由正弦定理知②等价于PA·QAsinA PB·QBsinB P… 相似文献
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由[1]我们知道格点多边形的面积公式,即:皮克定理如果格点多边形A1A2A3An面积为A,内部格点数和边上格点数分别为N和L,则12A=N L?.本文试将上述公式推广到格点广义回形折线.定义若广义回形折线的顶点全是格点,则称之为格点广义回形折线.(关于格点广义回形折线及其面积等概念,请参看文[2])定理若k环n边的格点广义回形折线A1A2A3An A1(简记为A(n)k)的同侧域至少包含一个格点,则该广义回形折线的面积为1()(1)2njk jjLA n N=?=∑ ?其中N j、L j分别为A(n)k的第j层多边形内部和边上格点数.证明如图,设格点M是封闭折线A(n)k的同侧点.由文… 相似文献
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本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是 相似文献
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（一）知识要点本单元的主要内容可分为三大部分：多边形的概念和性质;平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定;梯形的定义、性质和判定．重点是平行四边形和梯形的定义、性质、判定及应用．一、多边形的有关概念和性质1．多边形的定义在平面内,由n（npe3）条线段首尾顺次连接所构成的图形叫做n边形．2．n边形内角和定理n边形的内角和等于（n一月·阴”．3．推论任意多边形的外角和都等于36（．二、平行四边形的概念、性质和判定是．平行四边形定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．性质（豆）平行四边形的对角相等;… 相似文献
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（一）知识要点本单元的主要内容可分为三大部分：多边形的概念和性质;平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定;梯形的定义、性质和判定．重点是平行四边形和梯形的定义、性质、判定及应用．一、多边形的有关概念和性质1．多边形的定义在平面内,由n（,;＞3）条线段首尾顺次连接所构成的图形叫做n边形．2．多边形内角和定理n边形的内角和等于（n－2）·180”．3．推论任意多边形的外角和都等于360”．二、平行四边形的概念、性质和判定1．平行四边形定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．性质（1）平行四边形的对角… 相似文献
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平面直角坐标系中,纵坐标和横坐标都为整数的点称为格点,顶点都为格点的凸n边形称为平面格点凸n边形,1×1的格点正方形称为单位格点正方形.文[1]中提出了下列关于格点凸九边形的几个性质而没有给出证明:命题A(1)平面格点凸九边形的内部至少有11个格点;(2)平面格点凸九边形的内部及边界包含一个长为3,宽为2的格点长方形;(3)平面格点凸九边形的内部及边界最少包含10个两两不同的单位格点正方形.经研究后发现上述3个结论都不正确,事实上如下图,我们取格点A1(0,0),A2(3,1),A3(7,2),A4(12,3),A5(18,4),A6(16,3),A7(12,2),A8(7,1),A9(1,0).则… 相似文献
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邵志华 《宁波教育学院学报》2008,10(2):68-69
将Desargues定理从三点形有条件地推广到平面n点形。得到了如果不同平面上的两个多点形(n≥4)对应顶点的连线交于一点,则两个多点形对应边的交点在同一直线上。 相似文献