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题 令ｘ、ｙ、ｚ是满足ｘ ｙ ｚ =1的非负实数。证明 :ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ≤ 42 7,并求不等式成立的条件。( 1 999年加拿大数学奥林匹克题 )简证 由于不等式是关于ｘ、ｙ、ｚ轮换对称的 ,故可设ｘ≥ｙ≥ｚ ,从而ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ≤ｘ2 ｙ 2ｘｙｚ=ｘｙ(ｘ 2ｚ) =12 ｘ·2 ｙ·(ｘ 2ｚ)≤ 12 ( ｘ 2 ｙ ｘ 2ｚ3 ) 3 (∵ｘ、ｙ、ｚ非负 )=12 [2 (ｘ ｙ ｚ)3 ]3=42 7,等号在ｘ =2 ｙ =ｘ 2ｚ时成立 ,即ｘ =2 /3,ｙ =1 /3,ｚ =0。推广 若条件不变 ,则结论可推广为 :ｘｎｙｍ ｙｎｚｍ ｚｎｘｍ≤ ｎｎ·ｍｍ(ｎ ｍ) … 相似文献
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文 [1]利用“消去———配方法”所证明的一类三元非齐次条件不等式问题 ,均可转化为形如ｘｙ ｙｚ ｚｘ-ｔｘｙｚ≤Ｍ的不等式问题 .利用下文的定理 ,或证明定理的方法 ,可以使这类不等式获得统一的解决 .定理 已知ｘ ,ｙ ,ｚ均为非负实数 ,且ｘ ｙ ｚ=Ｍ (Ｍ >0 ) ,ｔ∈Ｒ ,则ｘｙ ｙｚ ｚｘ -ｔｘｙｚ≤12 7(9-ｔＭ)Ｍ2 (0 <ｔ≤ 94Ｍ) ; (1)14Ｍ2 (ｔ >94Ｍ) . (2 )证明 由于不等式关于ｘ ,ｙ ,ｚ轮换对称 ,不妨设ｘ=ｍｉｎ{ｘ ,ｙ ,ｚ} ,因为ｘ ｙ ｚ=Ｍ ,所以 0≤ｘ≤Ｍ3.(1)当 0 <ｔ≤ 94Ｍ 时 ,由于ｘｙ ｙｚ … 相似文献
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运用分母代换法证明不等式举例 总被引：1，自引：1，他引：1
对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1 分子为常数型例 1 若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明 设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜… 相似文献
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一类分式不等式的一种证法 总被引：2，自引：0，他引：2
在分母为多项式的分式不等式中 ,有些不等式 ,通过变量代换 ,把分母化为单项式 ,灵活运用均值不等式或适当的放缩 ,便能得到简洁明快的证法 .举例如下例 1 已知△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ ,ｃ ,求证 :ａｂ ｃ -ａ ｂｃ ａ -ｂ ｃａ ｂ -ｃ≥ 3.证 设ｂ ｃ-ａ =2ｘ ,ｃ ａ -ｂ=2ｙ ,ａ ｂ-ｃ=2ｚ,ｘ ,ｙ ,ｚ >0 .令不等式的左端为Ｍ ,则Ｍ =ｙ ｚ2ｘ ｘ ｚ2ｙ ｘ ｙ2ｚ= (ｙ2ｘ ｘ2ｙ) (ｚ2ｙ ｙ2ｚ) (ｘ2ｚ ｚ2ｘ)≥ 2 ｙ2ｘ· ｘ2ｙ 2 ｚ2ｙ· ｙ2ｚ 2 ｘ2ｚ· ｚ2ｘ= 1 1 1=3.例 2 设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,求证 :ｘ2ｘ ｙ ｚ ｙｘ 2ｙ… 相似文献
5.
构造对偶式解题是一种常用的方法 ,是指挖掘出题目中潜在的对称性 ,充分利用对称原理 ,就能在纷繁的困惑中 ,求得简捷的解法 .下面例谈构造对偶式解题的若干途径 ,供参考 .一、互倒构造是指利用倒数关系构造对偶式 .例 1 若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1 ) ,求证 11 -ｘ ｙ 11 -ｙ ｚ 11 -ｚ ｘ≥ 3 .证明 设Ｍ =11 -ｘ ｙ 11 -ｙ ｚ 11 -ｚ ｘ,构造互倒对偶式Ｎ =(1 -ｘ ｙ) (1 -ｙ ｚ) (1 -ｚ ｘ) ,则Ｍ Ｎ =11 -ｘ ｙ (1 -ｘ ｙ) 11 -ｙ ｚ (1 -ｙ ｚ) 11 -ｚ ｘ (1 -ｚ ｘ) ≥ 2 2 2 =6.而Ｎ =3 ,故Ｍ≥ 3 .即 11 -ｘ ｙ 11 -ｙ … 相似文献
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余学虎 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):20-20
大家知道 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )根的判别式Δ =ｂ2 - 4ａｃ有着广泛的应用 .下面就用Δ≤ 0求某些函数最值谈谈它的应用 .例 1 若ｘ、ｙ、ｚ为正实数 ,且ｘ + 3ｙ + 5ｚ =15,求 ｘ + 5ｙ+ 2ｚ的最大值 .解 :设函数ｆ (ｍ ) =(ｘ + 3ｙ + 5ｚ)ｍ2 + 2 (ｘ + 5ｙ + 2ｚ)ｍ +1+ 532 + 252 =( ｘｍ + 1) 2 + 3ｙｍ + 532 + 5ｚｍ + 252≥ 0 ,ｘ + 3ｙ + 5ｚ=15>0 ,所以Δ =4 (ｘ + 5ｙ+ 2ｚ) 2 - 4(ｘ + 3ｙ + 5ｚ) 1+ 53+ 25≤ 0 .即ｘ +5ｙ+ 2ｚ≤ 4 6 .易得等号可以成立 ,故所求式的最大值为 4 6 .例 2 设θ为锐角 ,求… 相似文献
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研究庞大的生物体从研究细微的细胞开始 ,同样的道理 ,对错综复杂的不等式研究 ,可以从对一些最为简单的不等式的探索开始。本文旨在探讨一个不惹人注意的简单不等式 :ｘ ｙ≤ 2 (ｘ ｙ) (其中ｘ、ｙ∈Ｒ ) ( )(当且仅当ｘ =ｙ时 ,等式成立 )证明不难 : 依基本不等式ｘ ｙ≥ 2ｘｙ,知(ｘ ｙ) 2 =(ｘ ｙ) 2 ｘｙ≤ (ｘ ｙ) (ｘ ｙ) =2 (ｘ ｙ) ,两边开平方 ,即得ｘ ｙ≤ 2 (ｘ ｙ) 。不等式 ( )的结构简单 ,而应用却十分广泛。1 求不等式恒成立时的参数最值例 1 若正数ａ使不等式 ｘ ｙ≤ａ ｘ ｙ对一切正数… 相似文献
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例 1 已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明 设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2 在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明 设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ… 相似文献
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设△ＡＢＣ的三边长为ａ、ｂ、ｃ,Ｆ是△ＡＢＣ内的费尔马点 ,延长ＡＦ、ＢＦ、ＣＦ分别交对边于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′ ,记ＡＡ′=ｘ ,ＢＢ′ =ｙ ,ＣＣ′=ｚ .文 [1]、[2 ]分别建立了如下不等式 :ｘ ｙ ｚ≤ 32 (ａ ｂ ｃ) ,(1)1ｘ 1ｙ 1ｚ ≥ 6ａｂ ｂｃ ｃａ. (2 ) 本文给出不等式 (1)、(2 )的统一加强形式 ,即定理 在△ＡＢＣ中 ,有ｘ ｙ ｚ≤ 32 ａｂ ｂｃ ｃａ. (3) 引理 1[3] 设Ｐ为△ＡＢＣ内任一点 ,∠ＡＰＢ、∠ＢＰＣ、∠ＣＰＡ的平分线与边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ分别交于Ｅ1、Ｅ2 、Ｅ3,则ＰＡ ＰＢ ＰＣ ≥ 2 (Ｐ… 相似文献
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在△ＡＢＣ中 ,有著名的Ｆｉｎｓｌｅｒ Ｈａｄｗｉｇｅｒ不等式∑ａ2 ≥ 43△ + ∑(ｂ-ｃ) 2 .①其中ａ、ｂ、ｃ、△分别是△ＡＢＣ三边、面积 ,∑为循环和 .文 [1 ]将其加强为∑ａ2 ≥ 43△ + ∑(ｂ -ｃ) 2 +∑[ｂ(ｃ+ａ -ｂ) -ｃ(ａ +ｂ -ｃ) ]2 .②事实上 ,Ｆ—Ｈ不等式①可以这样得到 :对任意正数ｘ、ｙ、ｚ,有恒等式(ｘｙ +ｘｚ+ｙｚ) 2=3ｘｙｚ(ｘ+ｙ +ｚ) + 12 [ｘ2 (ｙ -ｚ) 2+ｙ2 (ｘ -ｚ) 2 +ｚ2 (ｘ -ｙ) 2 ].③在③中 ,令ｘ =ｓ -ａ ,ｙ =ｓ -ｂ ,ｚ =ｓ-ｃ,得[∑(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) ]2=3ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)+ 12 ∑(ｓ-ａ)… 相似文献
11.
定理 设Ｐ是△ＡＢＣ平面一动点 ,ＢＣ=ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ.则有ＰＡａ ＰＢｂ ＰＣｃ ≥ ∑ａ2∑ｂ2 ｃ2 . ( 1 )为证式 ( 1 ) ,先给出两个引理 .引理 1 [1] 设ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ .在△ＡＢＣ中 ,有(ｘ ｙ ｚ) (ｘＰＡ2 ｙＰＢ2 ｚＰＣ2 )≥ａ2 ｙｚ ｂ2 ｚｘ ｃ2 ｘｙ . ( 2 )引理 2 [2 ] 在△ＡＢＣ中 ,有ＰＢ·ＰＣｂｃ ＰＣ·ＰＡｃａ ＰＡ·ＰＢａｂ ≥ 1 . ( 3 )式 ( 2 )即著名的Ｋｌａｍｋｉｎ不等式 ,式 ( 3 )是我们熟知的Ｈａｙａｓｈｉ不等式 .定理证明 :在式 ( 2 )中 ,令ｘ =1ａ2 ,ｙ =1ｂ2 ,ｚ =1ｃ2 ,得 Ｐ… 相似文献
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王松柏 《中学数学教学参考》2000,(7)
在众多的高三复习资料中流行着这样一个问题 :“已知ａ2 ｂ2 ｃ2 =1 ,ｘ2 ｙ2 ｚ2 =9,ａｘ ｂｙ ｃｚ≤ｔ,求ｔ的最小值 .”批阅学生作业时发现绝大多数学生产生下面的误解 .求ｔ的最小值即求ｕ =ａｘ ｂｙ ｃｚ的最大值 .因为ａｘ≤ ａ2 ｘ22 ,ｂｙ≤ ｂ2 ｙ22 ,ｃｚ≤ｃ2 ｚ22 .所以ａｘ ｂｙ ｃｚ≤ 12 (ａ2 ｘ2 ｂ2 ｙ2 ｃ2 ｚ2 ) =5 .故ｕ =ａｘ ｂｙ ｃｚ的最大值是 5 ,即ｔ的最小值是 5 .错误剖析 :应用基本不等式得到ｕ =ａｘ ｂｙ ｃｚ≤ 5是正确的 ,这只能说ｕ最大值小于或等于 5 ,并不能得出ｕ的最大值是 5 … 相似文献
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一个猜想不等式的证明 总被引：2，自引：0，他引：2
文 [1 ]的末尾提出如下一个猜想不等式 :证明或否定 :对于任意正实数ｘ、ｙ、ｚ ,有ｘｘ ｙ ｙｙ ｚ ｚｚ ｘ≤322 ①经反复推敲 ,①式是一个真命题。现给出其证明。证明 为方便起见 ,记①式的左边为Ｍ ,设ｕ =ｙ ｚ ,ｖ =ｚ ｘ ,ｗ =ｘ ｙ ,由此解出 :ｘ =ｖ ｗ -ｕ2 ,ｙ =ｗ ｕ -ｖ2 ,ｚ =ｕ ｖ -ｗ2 ,代入①式左边 ,得Ｍ =ｖ ｗ -ｕ2ｗ ｗ ｕ -ｖ2ｕ ｕ ｖ -ｗ2ｖ②注意到长度分别为ｕ、ｖ、ｗ的三条线段构成三角形 ,设其对角分别为Ａ、Ｂ、Ｃ ,正弦定理应用于△ＡＢＣ ,得ｖ ｗ -ｕｗ =ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ -ｓｉｎＡ… 相似文献
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罗增儒 《中学数学教学参考》2000,(12)
本文讨论两道不等式证明题 ,每一题都在杂志上发表过多种证法 ,我们将分析这些解法的结构 ,抓住本质步骤 ,做出节省解题力量的改进 .一、案例 1题目 1 设ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ≠ｙ ,且ｘ2 - ｙ2 =ｘ3-ｙ3,求证 :1<ｘ ｙ <43 .《数学通报》1998年 (见文 [1]Ｐ .8)、2 0 0 0年 (见文[2 ]Ｐ .2 6)分别给出了下面的证明 1、证明 2 .其他地方也有类似问题的讨论 (见文 [3] ) .证明 1:设ｘ ｙ =ｔ,由 ｘ2 -ｙ2 =ｘ3-ｙ3 ｘ≠ｙ ｘｙ =ｔ2 -ｔ,①∴ｘ、ｙ为一元二次方程ｚ2 -ｔｚ (ｔ2 -ｔ) =0的两根 ,记 ｆ(ｚ) =ｚ2 -ｔｚ (ｔ2 -ｔ) .由… 相似文献
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杨志文 《中学数学教学参考》2001,(4)
一、选择题 (本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 50分 )1 .设Ｍ ={ｘ|0≤ｘ≤ 2 },Ｎ ={ｙ|0≤ ｙ≤ 2 },给出下列 4个图形 ,其中能表示集合Ｍ到Ｎ的函数关系的是 ( ) .2 .设函数 ｙ =ｌｇ(ｘ2 -2ｘ -3 )的定义域为Ｍ ,不等式 |ｘ -1 |≥ａ的解集为Ｎ ,且Ｍ Ｎ ,则ａ的取值范围为 ( ) .Ａ .ａ =2 Ｂ .ａ≥ 2Ｃ .0≤ａ≤ 2 Ｄ .ａ≤ 23 .函数 ｙ =|ｃｏｓ2ｘ -3 ｓｉｎ2ｘ|的最小正周期为( ) .Ａ .π2 Ｂ .π Ｃ .2π Ｄ .4π4 .设向量ＯＺ对应的复数为ｚ =1 ｉ,它的辐角主值为θ,将向量ＯＺ… 相似文献
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《中学数学教学参考》2003,(3):58-61
一、选择题 (每小题 5分 ,共 60分 )1 .若集合Ｍ ={ｙ|ｙ =2 -ｘ},Ｐ ={ｙ|ｙ =ｘ -1 },则Ｍ∩Ｐ等于 ( ) .Ａ .{ｙ|ｙ>1 } Ｂ .{ｙ|ｙ≥ 1 }Ｃ .{ｙ|ｙ >0 } Ｄ .{ｙ|ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ -1ｘ ,则方程 ｆ( 4ｘ) =ｘ的根是( ) .Ａ .12 Ｂ .-12 Ｃ .2 Ｄ .-23 .设复数ｚ1=-1 +ｉ,ｚ2 =12 +32 ｉ,则ａｒｇ ｚ1ｚ2等于 ( ) .Ａ .1 3π1 2 Ｂ .71 2 πＣ .51 2 π Ｄ .-51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ( 1 -ｘ) 的最大值是 ( ) .Ａ .45 Ｂ .54 Ｃ .34 Ｄ .435… 相似文献
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1√狻∏蠛?ｙ =ｘ2 1 (ｘ -1 2 ) 2 1 6的最小值。解 设ｚ1=ｘ ｉ,ｚ2 =(ｘ -1 2 ) 4ｉ,则 |ｚ1|=ｘ2 1 ,|ｚ2 |=(ｘ -1 2 ) 2 1 6,由 ｙ =|ｚ1| |ｚ2 |≥ |ｚ1-ｚ2 |=1 5 3 ,得函数 ｙ的最小值为 1 5 3。解答有错 !错在哪里 ?错在忽视了复数模不等式 |ｚ1| |ｚ2 |≥ |ｚ1-ｚ2 |等号成立的条件上。该不等式等号成立的条件是ｚ1、ｚ2 所对应的点与原点Ｏ在同一条直线上且在原点Ｏ的异侧。该解答若令 1 /ｘ =4/(ｘ -1 2 ) ,得ｘ =-4,则ｚ1、ｚ2 的对应点在原点Ｏ的同侧 ,等号不成立。正确解答 设ｚ1=ｘ ｉ,ｚ2 =(ｘ -1 2 ) -4ｉ,… 相似文献
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郭成伟 《中学数学教学参考》2002,(8)
关于三个正数的一个代数不等式设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,∑表示三数的循环和 ,Π表示三数的循环积 定理 ∑ ｙｚ( ｙ ｚ)(ｘ2 ｙ2 ) (ｘ2 ｚ2 ) ≥∑ｘ .①证明 :① ∑ ｙｚ ( ｙ ｚ) ｙ2 ｚ2 ≥∑ｘΠ ｙ2 ｚ2 ,两边平方 ,得∑ｙ2 ｚ2 ( ｙ ｚ) 2 ( ｙ2 ｚ2 ) 2∑ｘ 相似文献
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有些数学竞赛题所涉及的对象之间存在着数量间的大小关系 ,如果我们能抓住这一本质特征 ,在不改变原题性质的基础上有目的地将这些对象按大小顺序排列起来 ,再结合其他数学方法和技巧 ,往往可使问题获得解决 .这种方法叫做排序法 ,下面举例说明它在解竞赛题中的应用 .1 解方程 (组)例 1 若ｘ ,ｙ,ｚ为互不相等的正整数 ,且 1ｘ 1ｙ 1ｚ =ａ,ａ为整数 ,求ｘ,ｙ,ｚ的值 .(1 999年河南省初中数学竞赛 )解析 因为ｘ ,ｙ,ｚ是互不相等的正整数 ,不妨设ｘ <ｙ <ｚ,则ｘ≥ 1 ,ｙ≥ 2 ,ｚ≥ 3,所以 1ｘ 1ｙ 1ｚ ≤ 1 12 13 ,即 1ｘ 1ｙ 1… 相似文献
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二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1 推证几个重要结论命题 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明 由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上… 相似文献