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平面几何学习中 ,一题多证是从不同角度应用已有知识分析综合。对同一问题通过不同路径得出相同结论的证题过程。这种思路利在跳跃思维和创新精神的培养。例题 :求证 :菱形对角线交点到各边距离相等 (九年义务教材初中几何第二册Ｐ1 60 7题 )已知 :如图 ,四边形ＡＢＣＤ是菱形 ,对角线ＡＣ与ＢＤ直交于Ｏ ,ＯＥ⊥ＡＢ ,ＯＦ⊥ＣＢ ,ＯＧ⊥ＣＤ ,ＯＨ⊥ＡＤ ,垂足分别为Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ。求证 :ＯＥ =ＯＦ =ＯＧ =ＯＨ .证法 1 :(直接证三角形全等 )∵四边形ＡＢＤ是菱形。∴ＡＯ =Ａ0 =ＯＣ =ＣＯ .∴∠ＨＡＯ =∠ＥＡＯ =∠ＦＣＯ =∠ＧＣＯ… 相似文献
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解梯形及有关问题时 ,往往需要作一些辅助线 ,把梯形问题转化为平行四边形 (或矩形、正方形 )和三角形问题来解决 .常用的转化思路有以下几种 .一、平移对角线转化平移一对角线 ,把两对角线与两底边的和转移到一个三角形中 .图 1例 1 已知 :如图1,在等腰△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,点Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＣ的中点 ,ＣＥ⊥ＢＦ于点Ｏ .求证 :(1)四边形ＥＦＣＢ是等腰梯形 ;(2 )ＥＦ2 +ＢＣ2 =2ＢＥ2 .(2 0 0 1年广东省深圳市中考题 )证明 (1)略 .(2 )过Ｅ作ＥＧ∥ＦＢ交ＣＢ的延长线于点Ｇ ,作ＥＤ⊥ＢＣ于点Ｄ ,则ＥＧＢＦ是平行四边形 .… 相似文献
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矩形、菱形、正方形这三种特殊平行四边形的边与边之间、角与角之间、对角线之间都有着一些特殊的关系 ,如平行、垂直、相等、互补和平分等 .这些性质在证明线段相等、角相等、线段平行与垂直、线段成比例、面积相等等问题 ,或利用这些知识求线段的长、线段的和差倍半、角度、图形的周长及面积有着广泛的应用 .图 1例 1 如图 1 , ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ的垂直平分线ＥＦ与边ＡＤ、ＢＣ分别交于Ｅ、Ｆ .求证 :四边形ＡＦＣＥ是菱形 .( 2 0 0 1 ,北京市东城区 2 0 0 0 ,陕西省汉中市中考题 )分析 :证四边形为特殊的平行四边形有两种方法 :一… 相似文献
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相似三角形是本学期《几何》的重点内容．通过证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质进行计算或证明的题型，也是统考命题的热点．本文就此归纳一些常见的题型，供同学们学习和参考．一、证角相等例１ 如图１，四边形ＡＢＣＤ为梯形，ＣＤ／／ＡＢ，ＡＢＣ＝９０°，Ｅ为对角线交点，ＥＦ ＢＣ于Ｆ．求证：ＥＦ平分ＡＦＤ．分析 要证ＥＦ平分ＡＦＨ，即证１＝２，但△ＨＥＦ与△ＡＥＨ明显不相似，考虑到１＋３＝２＋４＝９０°，转而去证３＝４．由已知条件知ＥＦ／／ＤＣ／／ＡＢ，因。，ＣＦＤＥＣＤＤＥｒ。＿ＣＦＣＤ＿＿ｆ”Ｆ… 相似文献
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唐录义 《中学数学教学参考》2001,(9)
本刊 2 0 0 1年第 1～ 2合期刊登了吴家驷先生“十五点共圆”一文 ,证明了有 1 2个特殊点在三角形外接圆上 .事实上还有 6个点 ,合为 2 1点共圆 .定理 不等边三角形的每个顶点的内外角平分线与对边中垂线的两个交点 ,在其外接圆上 .证明 : 如图 ,ＰＱ为△ＡＢＣ的边ＡＣ的中垂线 ,ＢＰ平分∠ＤＢＣ ,ＢＱ平分∠ＡＢＣ ,作ＰＭ⊥ＢＤ ,垂足为Ｍ ,ＰＮ⊥ＢＣ ,垂足为Ｎ ,ＱＥ⊥ＢＡ ,垂足为Ｅ ,ＱＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｆ ,易知ＱＡ =ＱＣ ,ＱＥ =ＱＦ ,Ｒｔ△ＱＥＡ≌Ｒｔ△ＱＦＣ ,∠ＥＡＱ =∠ＱＣＦ ,Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｑ共圆 ,即Ｑ在△ＡＢＣ的外… 相似文献
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一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.① 再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.② 比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ… 相似文献
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对于某些几何证明问题 ,同学们可以从线段垂直平分线入手 ,常可找到解决问题的捷径。一、直接利用已知的线段垂直平分线图 1.例 1 如图 1,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＥＦ是ＡＤ的垂直平分线交ＡＤ于Ｅ ,交ＢＣ的延长线于Ｆ ,连ＡＦ ,求证 :∠Ｂ =∠ＣＡＦ证明 :∵ＥＦ是ＡＤ的垂直平分线∴ＦＡ =ＦＤ ∠ＦＤＥ =∠ＦＡＥ∴∠Ｂ +∠ 1=∠ＣＡＦ +∠ 2∵∠ 1=∠ 2∴∠Ｂ =∠ＣＡＦ .二、挖掘利用隐含的线段垂直平分线例 2 如图 2 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＣＥ⊥ＡＤ于Ｏ ,ＣＥ是∠ＤＥＦ的平分线 ,求证ＥＦ∥ＢＣ .图 2证明 :在△ＡＥＯ和… 相似文献
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圆中添加辅助线的几种思路兰州市三十五中刘晓娟一、解决题目中与弦、弧有关的问题，可考虑作半径、弦心距例１．如图（１），已知：ＡＢ是⊙０的直径，ＣＤ是弦，ＡＥ⊥ＣＤ，ＢＦ⊥ＣＤ，垂足分别为Ｅ，Ｆ。求证：ＣＥ＝ＤＦ。题目给出圆的弦ＣＤ，可作弦心距ＯＧ⊥ＣＤ... 相似文献
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向中军 《中学数学教学参考》2000,(3)
正方形ＡＢＣＤ被两条与边平行的线段ＥＦ、ＧＨ分割成四个小矩形 ,Ｐ是ＥＦ和ＧＨ的交点 ,若矩形ＰＦＣＨ的面积恰是矩形ＡＧＰＥ的面积的 2倍 ,试确定∠ＨＡＦ的大小 ,并证明你的结论 .( 1998年北京市中学生数学竞赛复赛试题 )最初看到这个题目 ,感到颇难入手 ,因要证明的不是一个明确的结论 ,按常规的思路 ,首先应认真观察图形 ,对∠ＨＡＦ的大小作出粗略的估计 ,再将一般条件特殊化 ,验证原来的估计 ,若估计是正确的 ,再将特殊条件一般化 ,设法证明这个结论 .仔细观察就会发现 :∠ＨＡＦ很可能是 4 5°,怎样验证呢 ?令四边形ＡＧＰＥ和… 相似文献
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题 (2 0 0 2年全国初中数学竞赛试题一 ,3 ) 点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ的中点 ,连ＡＦ、ＣＥ ,设ＡＦ、ＣＥ交于点Ｇ ,则 Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ等于 ( )。(Ａ) 56 (Ｂ) 45 (Ｃ) 34 (Ｄ) 23本文给出该试题的两个推广。定理 1 点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ上的内点 ,且 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ(ｋ >0且ｋ∈Ｒ) ,连ＡＦ、ＣＥ相交于点Ｇ ,则Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ=ｋ 1ｋ 2 。证明 设ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,连结ＡＣ、ＥＦ ,如下图。∵ ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ ,∴ＥＦ∥ＡＣ ,Ａ… 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1 如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ=ＢＣ ,ＡＥ是ＢＣ边上的中线 ,过Ｃ作ＣＦ⊥ＡＥ ,垂足是Ｆ ,过Ｂ作ＢＤ⊥ＢＣ交ＣＦ的延长线于Ｄ ,ＡＣ =1 2 .求ＢＤ的长 . ( 1 997年浙江省中考题 ) 解 ∵ ∠ＡＣＢ =90°,ＣＦ⊥ＡＥ于Ｆ ,∴ ∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△ＤＢＣ和△ＥＣＡ中 ,∵ ∠ＤＢＣ =∠ＥＣＡ =90° ,ＢＣ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ △ＤＢＣ≌△ＥＣＡ .∴ ＢＤ =ＣＥ .∵ Ｃ… 相似文献
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垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线,它具有如下重要性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等．求解某些几何证明问题,从构造线段垂直平分线人手,然后利用其性质,可简化思维过程,收到事半功倍的效果．例１如图１,Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上两点,ＡＢ＝ＡＣ,ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＡＤ＝ＡＥ．证明过Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ．∵ＡＢ＝ＡＣ,∴ＢＦ＝ＣＦ．∵ＢＤ＝ＣＥ,∴ＤＦ＝ＥＦ．∴ＡＦ是ＤＥ的垂直平分线．∴ＡＤ＝ＡＥ．例２如图２,Ｅ为△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线ＡＤ上一点,ＡＢ＞ＡＣ．求证：ＡＢ… 相似文献
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四边形是初中几何的重要内容之一,也是中考的必考内容,它既是三角形知识的扩展,又是学好相似形和圆的基础.但在四边形的证题过程中,不少同学都容易犯一个错误——漏证“三点共线”.一、证题过程中漏证“三点共线”例1从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线,求证连接各垂足的四边形是矩形.已知:如图1,在菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,OH⊥DA于点H,依次连结EF、FG、GH和H E,求证:四边形EFGH为矩形.误证:因为BD为菱形ABCD的对角线,所以∠ABD=∠CBD.又因为OE⊥AB,OF⊥BC,由角… 相似文献
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<正> 在几何证明中,有时需要证明三点共线,但往往被同学们所忽视.初中《几何》第二册第193页有这样一道复习题: 例1 从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线,求证:连结各垂足的四边形是矩形. 相似文献
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一、利用面积之和证题通过引辅助线 ,把三角形分割成几个小三角形 ,则原三角形的面积等于分割成的各个小三角形的面积之和 .运用这一关系 ,可以证明线段之间的和差关系 .例 1 已知 :如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｐ为ＢＣ上任一点 ,ＰＤ⊥ＡＢ ,ＰＥ⊥ＡＣ ,垂足分别为Ｄ、Ｅ ,ＣＦ是ＡＢ边上的高 .求证 :ＰＤ ＰＥ =ＣＦ .分析 由ＰＤ、ＰＥ是垂线段不难联想到三角形的高 ,由高进一步联想到面积 .这样 ,思维的角度就定位在面积关系上了 .连结ＡＰ ,容易看出ＰＤ、ＰＥ、ＣＦ分别是△ＡＰＢ、△ＡＰＣ、△ＡＢＣ的高 ,而这三个三角形… 相似文献
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要判定一个四边形是平行四边形,常用的判定方法有以下五种：两组对边分别平行从边的关系考虑两组对边分别相等一组对边平行且相等从角的关系考虑两组对角分别相等从对角线的关系考虑对角线互相平分平行四边形由于判定一个四边形为平行四边形的方法较多,因此要注意认真分析题目的特点,选取最简捷的证题思路．例１如图１,四边形ＡＢＣＤ中,ＡＢ＝ＣＤ,ＡＤＢ＝ＣＢＤ＝９０°．求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．分析１由已知条件和上述的方法２可知,欲证ＡＢＣＤ为平行四边形,只须证ＡＤ＝ＢＣＲｔ△ＡＤＢ≌Ｒｔ△ＣＢＤ ＡＢ＝Ｃ… 相似文献
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吴运涛 《湖南师范大学教育科学学报》2001,(5)
习题的求解是掌握数学知识和进行数学研究的一个重要环节。而思维能力的培养是数学教学的重要任务。在求解习题时 ,分析解题思路 ,使学生了解思维过程和思维方法 ,是培养思维能力的重要环节。下面我们以一个习题为例进行探讨 :已知 :△ＡＢＣ ,∠Ｃ为直角 ,内切圆Ｉ和边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ分别相切于点Ｄ、Ｅ、Ｆ。①求证 :四边形ＣＤＩＥ是正方形②设ＢＣ=ａ、ＣＡ =ｂＡＢ=ｃ,用ａｂｃ表示内切圆半径γ。证明 : ＩＥ⊥ＡＣ ＩＤ ⊥ＢＣＩ是Ｒ△ＡＢＣ 内心 ∠Ｃ =90 矩形ＣＤＩＥＩＤ =ＩＥ 正方形ＣＤＩＥ解 :设… 相似文献
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一、选择题1.两条异面直线在同一平面内的射影一定不是 ( ) (Ａ)两条相交直线 (Ｂ)两条平行直线 (Ｃ)重合直线 (Ｄ)以上结论都不正确2 .直线ｌ1 、ｌ2 互相平行的一个充分条件是 ( ) (Ａ)ｌ1 、ｌ2 都平行于同一平面 (Ｂ)ｌ1 、ｌ2 都垂直于同一平面 (Ｃ)ｌ1 、ｌ2 分别在两个平行平面内 (Ｄ)ｌ1 平行于ｌ2 所在的平面3 .空间四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＣ⊥ＢＤ ,Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点 ,则四边形ＡＢＣＤ为 ( ) (Ａ)平行四边形 (Ｂ)菱形 (Ｃ)矩形 (Ｄ)不能确定4.若直线ａ不平… 相似文献