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涉及三等分角线的又一定理 总被引：1，自引：0，他引：1
莫勒定理是涉及三等分角线的著名定理,类比三角形的内心与旁心,可得到一个令人吃惊而又全然意外的结论: 定理如图,设AE和AF,BD和BF,CD和CE分别是∠A,∠QBC,∠PCB的三等分线,则△DEF是正三角形,且其边长为8RsinA/3sin(60°-B/3)sin(60°-C/3),其中R为△ABC的外接圆半径。证明:需引入下列两个三角恒等式: (1)sinθ =4sinθ/3sin(60°-θ/3)sin(60°+θ/3). (2)sin~2α+sin~2β十2sinαsinβcos(α+β) =sin~2(α+β). 在△BCD中,由正弦定理得 相似文献
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命题,若△ABC所在平面β与过AB的平面α成角θ,另两边AC,BC与平面α所成的角分别为θ_1,θ_2,A,B为△ABC的两个内角,则 sin~2θ_1 sin~2θ_2 =(sin~2A sin~2B)sin~2θ 相似文献
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求二面角的一般方法是根据定义找出二面角的平面角,然后通过论证计算求解,下面介绍一种较简捷的方法,即应用面积射影定理求解,可避免作、找、论证二面角的平面角.面积射影定理:若二面角M—a一N的大小为θ,在平面M内的一个三角形的面积为S,它在平面N上的射影面积为S′,则有:cosθ=S′/S.证:设平面M内的△ABC,且S_(△ABC)=S(1)若△ABC的边AB与交线a重合(如图1),设C在平面N上的射影为C′,则S_(△ABC′)=S′,在平面M内过C作CE(?)a于E,连C′E,则∠CEC′=θ,在Rt△CC′E中:C′E=CE·cosθ.∴cosθ=C′E/CE=(1/2C′E·AB)/(1/2CE·AB)=S′/S.(2)若△ABC的边AB∥平面N(如图2),则过AB作平面N′∥平面N,设C在平面N,N′内的射影分别为C′C″.A、B在平面N上的射影分别是A′、B′则△A′B′C′、△ABC″分别是△ABC在N、N′ 相似文献
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朱盛琪 《中学数学研究(江西师大)》2010,(7):23-24
在△ABC中,则有cot2A+cot2B+cot2C≥1 (1),cot2 A/2+cot2 B/2+cot2 C/2≥9 (2),当且仅当△ABC为正三角形时,(1)式及(2)式取等号. 相似文献
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在选择题中常能见到如下一类的判定三角形形状的问题。例1 在△ABC中有(a~3+b~3-c~3)/(a+b-c)=c~2且sinAsinB=3/4,则△ABC必定是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰三角形或直角三角形。例2在△ABC中有(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,则△ABC是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 相似文献
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本刊93年第5期“抛物线与三角形面积”一文,给出了下面的两个结论:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)当△=b~2-4ac>0时,抛物线与x轴的两交点为A、B,顶点为C,与y轴的交点为D,则本文拟对结论(2)作两点补充: ①若△ABC为等边三角形,则△=b~2-4ac=12,S_(△ABC)=3 3~(1/2)/a~2. ②若△ABC为等腰直角三角形,则△=b~2-4ac=4,S_(△ABC)=1/a~2. 由于△ABC的底边AB=△/|a|,高为|△/4a|;当△ABC为等边三角形时,高为底边的3~(1/2)/2倍;当△ABC为等腰直角三角形时,高为底边的一半,利用这两点,不难证明以上两个结 相似文献
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教材里有道立体几何题: 已知△A_1BC是△ABC在平面α上的正射影,平面ABC与平面α所成的二面角等于θ,△ABC与△A_1BC的面积分别为S,S＇,求证:S＇=Scosθ。 相似文献
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(一) 在△ABC中,有Kooistra不等式: ctgA/2+ctgB/2+ctgC/2≥3 3~(1/2)。 (1)等号成立当且仅当△ABC为正三角形。 1992年,马统一把这个不等式加强为 ctgA/2+ctgB/2+ctgC/2≥(4R/r+19)~(1/2)。 (2)其中R,r分别是△ABC外接圆与内切圆的半径。在(2)的形式的启发下,周才凯与宋庆分别进一步证明了更强的结果: ctgA/2+ctgB/2+ctgC/2≥(12R/r+3)~(1/2)。 (3) 相似文献
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陈云烽 《中学数学教学参考》2006,(19)
在2004年全国高中数学联赛的试题中,有一道被广泛关注的选择题:设 O 点在△ABC 的内部,且+2+3=0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为( ).A.2 B3/2 C.3 D.5/3不少人对该题进行研究和推广,已公开发表的关于这方面的文章,至少有十多篇.其中,文[1]、文[2]有如下结论:’命题1(文[1]中的定理)设 O 为△ABC 所在平面上的一点,p,q,r 是不同时为0的实数,且 p+q+r=0,①则△AOB、△BOC、△AOC 的面积与△ABC 的面积之比分别为 相似文献
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△ABC中,记BC=a,AC=b,AB=c面积记为△;三条中线m_a=AD,m_b=BE,m_c=CF,重心为G;∠BGC=θ_1,∠AGC=θ_2,∠AGB=θ_3. 性质1、 如图,△ABC三条中线为AD、BE、CF,重心为G。△DGL、△FGM为正三角形,N为BG中点,则△LMN为正三角形。 引理 相似文献
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岳建良 《中学数学教学参考》2006,(11)
1 已有推广的呈现对于2004年全国高中数学联赛题中的向量题:设 O 点在△ABC 内部,且有+2+3=0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为().A.2 B.3/2 C.3 D.5/3文[1]和文[2]均将其推广,但叙述稍有不同.为行文方便,将其叙述分别摘录如下.文[1]的推广为:设 O 点在△ABC 内部,且有 p·+q·+r·=0(p,q,r∈(0,+∞)),则△ABC 的面积与△AOB、△BOC、△AOC 的面积的比分别为(p+q+r)/r、 相似文献
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一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集I=R,集合M={x|x2>2},N={x|logx7>log37},那么M∩RN等于().A.{x|x<-2}B.{x|x<-2或x≥3}C.{x|x≥3}D.{x|-2≤x≤3}2.我们用记号eiθ来表示复数cosθ+isinθ.即eiθ=cosθ+isinθ.(其中e=2.718…是自然对数的底数,θ的单位是弧度),则①2eiπ2=2i;②eiθ+e-iθ2=sinθ;③eiπ+1=0.其中正确的式子代号是().A.①B.①②C.①③D.②③3.在△ABC中,cos2A2=b+c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边),则△ABC的形状为().A.直角三角形B.等… 相似文献
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题目:△ABC中,如果a+b≥2c,证明C≤60°.(2011年北约自主招生数学试卷第4题)
证明:由余弦定理知cos C=a2+b2-c2/2ab≥a2+b2-(a+b/2)2/2ab=3/4(a2+b2)-ab/2/2ab≥1/2.所以,C≤60°.故得证.
笔者经过研究,发现本题结论可以推广为:
定理1:△ABC中,如果an+cn≥2bn(n∈Z),则B≤60°,其中a,b,c表示△ABC中角A,B,C的对应边. 相似文献
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1987年,苏化明未加证明地介绍了如下不等式链:在△ABC中,有 -cos2A-cos2B-cos2C ≤cosA+cosB+cosC ≤sinA/2+sinB/2+sinC/2 ≤3/2. (1) 杨学枝老师在文中给出了△ABC中的一个不等式: sin~2A/2+sin~2B/2+sin~2C/2≤1/4 (ctgB/2ctgC/2+ctgC/2ctgA/2+ctgA/2ctgB/2)~(1/2) (2) 相似文献
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有些三角不等式问题蕴含着丰富的几何直观性。此时,可考虑构造直观的几何图形来解决此类问题。例1在锐角三角形中,求证 求证:sin2θ·tgθ/2≤1/2 sinA sinB sinC>cosA cosB cosC 证明:(1)当π/2≤θ<π,θ=0时, 证明:△ABC是锐角三角形,如图1, 相似文献
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本文介绍一个求平分三角形面积的直线方程的方法.首先证明一个定理: 若点M在△ABC的边BA上,定比λ=BM/MA满足0≤λ≤1,那么过点M且平分△ABC面积的直线l分CA于定比1-λ/1+λ的点N处.如图1,连接MC,并设S△ABC=S,S△BMC=S1,S△AMN=S2,S△MCN=S3.由题意有:S2=S/2.因为BM/MA=λ,所以AB/BM=1+λ/λ图 1又因为△BMC与△BAC等高, 相似文献
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在△ABC中,设△ABC的面积为S,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有下列不等式链:a^2+b^2+c^2≥bc+ca+ab≥4√3S.①类比此不等式,文[1]得到一个类似不等式:a^2 sinA/2+b^2 sinB/2+c^2 sin C/2≥bcsin A/2+ca sin B/2+ab sin C/2≥2√3S. 相似文献