n元均值不等式的妙用(高一、高二、高三)     

李家煜 《数理天地(高中版)》2002,(2)

灵活应用n元均值不等式,可提高解题效率和质量. 例1 已知m、n是正整数,且1(1+n)m. (2001年高考) 分析此题证明方法甚多,若灵活运用均值不等式,可快速获解. 证明由n元均值不等式得(1+n)m  相似文献   

一道不等式题引理的错解引发修正及另解     

《福建中学数学》2007,(11)

问题(1991年32届IMO加拿大训练题)已知x,y是正实数,x y=1,m,n是大于1的正整数,证明:(1-xm)n (1-yn)m>1.这个问题在新蕾出版社92年出版的数学奥林匹克题库的《加拿大中学生数学竞赛题解》的148页[1]中  相似文献   

一题多解,培养思维的灵活性和创造性     

黄桂君 《数学教学通讯》1999,(3)

高中《代数》下册 P_(132·)第31题第(1)小题为:用数学归纳法证明1·2·3 2·3·4 … n(n 1)(n 2)=1/4n(n 1)(n 2)(n 3)(1).这一题除了用数学归纳法证明(思路1)外,是否还有其它方法呢?回答是肯定的.思路2 (裂项相消法)因为 n(n 1)(n 2)=  相似文献   

浅谈不等式证明中的技巧     

谢启鸿 《中学教研》1993,(11)

不等式的证明历来是各级数学竞赛中的热点与难点。在本文中,对不等式的性质及一些重要不等式应用不再加以探讨,而着力于从近几年的竞赛题中归纳出一些证明不等式的技巧,供读者参考。一、利用递推如果在不等式的证明中,遇到了证明f(n)相似文献   

一则课本例题与高考(高二、高三)     

左新安 《数理天地(高中版)》2002,(4)

题已知a、b、m∈R+,并且aa/b. 这个不等式的内涵非常丰富,证明方法也很多.本文只是说明它解某些高考题的特别作用. 例1 已知i,m,n是正整数,且1(1+n)m.(2001年高考) 证明(1)由niPmiPmi/Pni,  相似文献   

2001年高考（理科）第20题的巧证与推广     

赵生筱 《中学数学月刊》2001,(10):42-42

今年全国高考 (理科 )第 2 0题 :已知 i,m,n是正整数 ,且 1 ( 1 n) m.不等式 ( )的证明 ,标准答案提供的证法需借助 ( )的结论 ,利用二项式定理证明 ,颇有难度 .事实上无须借助 ( )的结论 ,亦可利用算术 -几何平均值不等式给出不等式( )的一种简捷明快的证法 .并可引伸推广 ,得到一组新颖的不等式 .证明　因 n>m,所以存在正整数 k使得n=m k,从而由算术 -几何平均值不等式知n ( 1 n) m=n ( 1 n) m1 k<( 1 n) m kn =nm m kn=nm nn =1 m,故 ( 1 m) n>( 1 n) m.推…  相似文献   

2005中国数学奥林匹克的不等式题     

单墫 《中等数学》2005,(6):11-12

2005年中国数学奥林匹克的试题比2004年容易些,只有第4题较困难.如下:已知数列{an}满足条件a1=2116,2an-3an-1=32n 1,n≥2.①设m为正整数,m≥2.证明:当n≤m时,有an 32n 31mm-23n(m-1)m相似文献   

2003年高考“数列试题”的分析与反思     

宋庆 《高中生之友》2003,(3)

一试题概述今年数学高考新课程卷(理科)第22题即压轴题是一道数列试题: 设α0为常数,且αn=3n-1-2αn-1(n∈N+). (Ⅰ)证明对任意,n≥1,αn=1/5[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2nα0; (Ⅱ)假设对任意,n≥1有αn>αn-1,求α0的取值范围. 本题主要考查数列、等比数列的概念,考查数学归纳法,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 由抽样统计得知,本题(满分14分)平均得分仅为2-33分.  相似文献   

一道课本习题的推广     

于伟  廖义杰 《数学教学通讯》1999,(3)

在中师二年级秋季半期考试题中有这样一道题:“用数学归纳法证明:4~(2n·1) 3~(n·2)(n≥2,,n∈N)能被13整除”。笔者后来发现它与《代数与初等函数》第2册第48页第22题第(1)题“用数学归纳法证明:4~(2n 1) 3~(n 2)。能被13整除”非常相似.这对这两道题深入研究发现:  相似文献   

一道结论不成立的数学竞赛题     

潘光明  高秀军 《数学教学通讯》1994,(6)

一九九四年四川省高中数学联赛(初赛)试题最后一大题(即第七题)的结论是不能成立的.原题为:设非负实数列{a_n}满足 a_(n+1)≤2a_n-4a_n~2证明:a_n≤2/(n+6).(n≥2)此题若用数学归纳法证明,只能证出 n 取第  相似文献   

一道不等式题的微分证法     

左开平 《数学教学通讯》1986,(5)

在不少的数学刊物中刊登了对求证:n~(n 1)>(n 1)~n(3≤n∈N)这道不等式题的证明,而多数采用的是数学归纳法或二项式定理给予证明的。其实用微分中的导数的性质来证明此题也较为简单。思考:要证明n~(n 1)>(n 1)~n成立,变形为n~(1/n)>(n 1)~(1/(n 1)),由此可以看出只要证明函数f(x)=x~(1/x)(x≥3)为减函数,此题就迎刃而解了。证明:设 f(x)=x~(1/x)(x≥3) 则 f′(x)=(x~(1/x))′=(e~(1/xlnx))′ =e~(1/xlnx)·(1-lnx)/x~2。  相似文献   

从一道美国竞赛题谈起     

司志本 《中学数学杂志》2011,(11):26-27

美国普特南数学竞赛(1963年)中有这样一道题:设f(x)是定义在自然数集上且取自然数的严格递增函数,如果f(2)=2,且当m,n互素时,有f(mn)=f(m)f(n).(1)证明对一切正整数x,有  相似文献   

由一个简单结论联想到的数论题     

向雍立  江海兵  石莹 《中等数学》2022,(7):14-16

<正>在数学竞赛的学习中,我们会有很多的联想,将一道题的思路运用到其他题目甚至其他板块中.在学习数论时,非常熟悉下面的结论:命题1设a、m、n是正整数,a> 1,则(a^m-1,aⁿ-1)=a⁽(m,n))-1.证明不妨设m≥n,且令m=qn+r(0≤r 相似文献   

一道竞赛题的多种解法及其推广     

王刚 《福建中学数学》2008,(3)

题:求证:对n∈N ,112536n∑i=n i<.析:由于1()n1iF n=∑=n i递增,所以直接用数学归纳法来证明思路受阻.可以考虑把命题加强为1125()36nif n∑=n i≤?,然后用数学归纳法证明加强后的命题.先分析f(n).由于是不等式的左边是分式求和,显然猜测f(n)为分式形式较好.若f(n)为分式形式,  相似文献   

用数学归纳法证题要点     

周家章 《师范教育》1992,(11)

数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的一种严密的证题方法。其证题步骤为:(1)证明当n取第一个值n_0(例如n_0=1或2等)时结论正确;(2)假设当n=k(k∈N,k≥n_0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。对于初学者来说,稍不注意,就会出现  相似文献   

一道高考题的深层探究     

《中学生数理化(高中版)》2016,(1)

<正>2011年高考数学安徽卷理科第10题,题目新颖,内涵丰富,引起了我们的思考。题目如下:函数f(x)=ax^m(1-x)m(1-x)ⁿ在区间[0,1]上的图像如图1所示,则m,n的值可能是()。A.m=1,n=1 B.m=1,n=2C.m=2,n=1 D.m=3,n=1一、试题分析本题是个函数图像题,此类题目在高考中已不新鲜,但本题的出现却令人耳目一新,  相似文献