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1.
有这样一道习题: 设a sin bθ cos=c acscθ b secθ=c, 求证: sin2θ=(2ab)/(c~2-a~2-b~2). 这是一个流行很广的错题。下面我们做些探讨。 有关资料,给出了如下答案（记为方法一）。 由已知a cscθ b secθ=c,得a cosθ b sinθ=c.sinθcosθ,又∵a sinθ b cosθ=c,∴(a sinθ b cosθ)(a cosθ b sinθ)=c~2sinθcosθ, 整理后可得sin2θ=2sinθcosθ=(2ab)/(c~2-a~2-b~2) 这种证法用到了三角变换、三角恒等式、二倍角公式,并且中间没有不严密之处,所以解答是正确的、完 相似文献
2.
周作杰 《中学数学教学参考》1994,(9)
2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ)cos2θ=cos~2θ-sin~2θ=(cosθ sinθ)(cosθ-sinθ) =2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ) ·2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ-2~(1/2)/2sinθ), 则得cos2θ=2cos(θ π/4)cos(θ-π/4)或者cos2θ=2sin(π/4 θ)sin(π/4-θ). 应用上面的结论求解某些余弦函数或正弦函数的乘积时则显得简洁又明快,现举例如下. 例1 求证sin15°sin30°sin75°=1/8. 证明:sin15°sin30°sin75°=1/2sin15°sin75° 相似文献
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柳毓 《数理化学习(高中版)》2006,(20)
对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx+bcosx=a2+b2(sinx·a22+cosx·b a2+b2).由于上式中的aa2+b2与ba2+b2的平方和为1,故可记aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ,则y=a2+b2(sinxcosθ+cosxsinθ)=a2+b2sin(x+θ).由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ),()其中θ由aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ来确定.通常称式子()为辅助角公式.它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析.一、求周期例1(2006年上海卷选)求函数y=2cos(x+π4)cos(x-π4)+3sin2x的最小… 相似文献
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利用配对法 巧解高考题 总被引：1，自引：0，他引：1
黄立俊 《中学数学教学参考》1994,(6)
研究高考试题的解法,对高考复习具有重要的意义,本文采取配对的方法,可以获得一些高考题的巧解。下面举例说明配对法在解高考题中的应用。 一、和式配对 例1 sin20°cos70° sin10°sin50°的值是( ). A.1/4 B.3~(1/2)/2 C.1/2 D.3~(1/2)/4 (1993年全国高考理科试题) 分析:本题原型见高中《代数(必修)》上册P.190,3(3)题。根据该题的特点,可以利用和差角公式sin(α±β)=Sinαcosβ±cosαsinβ和cos(α±β)=cosαcosβ于sinαsinβ配对解之。 解:设a=sin20°cos70° sin10°sin50°, b=cos20°sin70° com10°cos50°. 则 a b=sin90° cos40°=1 cos40°, ① b-a=sin50° cos60°=1/2 cos40°. ② 由①一②得 2a=1/2,即a=1/4.故选A. 相似文献
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文 [1]中的例 1是 :若 sin4θa + cos4θb =1a+ b(a,b为正数 ) .求证 :sin8θa3 + cos8θb3 =1(a+ b) 3 .该例是文 [2 ]例 4的特例 :设 sin4xa + cos4xb =1a+ b,a>0 ,b>0 .证明 :对任何正整数 n都有 sin2 nxan-1 + cos2 nxbn-1 =1(a+ b) n-1 .文 [2 ]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .实际上 ,如果发现了条件与结论中的某种对称性 ,用数形结合的思想和方法来思考 ,揭示这个三角恒等式的几何背景 ,简便易行 ,过程简明 ,体现了数学的和谐美与简洁之美 .设椭圆 (或圆 )的方程为(a+ b)· X2b + (a+ … 相似文献
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郑光耀 《新课程学习(社会综合)》2015,(1):42
我们课本上的一道题:已知sinθ+cosθ=2,求sin2θ的值。现3将sinθ+cosθ=2两边平方,易得sin2θ=-5。39顺水推舟,由2sinθcosθ=-5两边乘以-1后再加1得(sinθ-9cosθ)2=14,9姨姨姨姨姨sinθ+cosθ=2姨sinθ+cosθ=2姨姨姨3解方程组姨3姨姨或姨姨姨姨姨姨姨sinθ-cosθ=姨14姨sinθ-cosθ=-姨14姨9姨9姨姨姨姨姨sinθ=2+姨14姨姨姨sinθ=2-姨14姨姨6姨姨6得姨姨姨或姨姨姨姨姨姨姨姨cosθ=2-姨14姨cosθ=2+姨14姨6姨6不难发现sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ之间有着知其一可求 相似文献
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《高中数学竞赛培训教材》[1](高一)P107,第6题:“已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos2θ=95,则sinθcosθ的值是().A.±!32B.!32C.-!32D.±13”.作为选择题,作者的本意是不用计算的:∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ>0,排除A、C、D,选B.但一些同学计算的结果是23,这是怎么回事呢?方法一:由sin4θ+cos2θ=95,得:sin2θ(1-cos2θ)+cos2θ=95,∴sin2θ+cos2θ-sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=94,∴sinθcosθ=±32,∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ=32.看来同学们做对了(命题人也希望这样做).再看下面的解法:方法二:由sin4θ+cos2θ=95,∴sin4… 相似文献
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运用数学知识处理物理问题的能力是高考考查学生五种能力之一,也是参加奥赛的必须要求.下面以函数y=sin2θcosθ的最值关系,求解几道竞赛题,以供读者参考.数学探究:函数y=sin2θcosθ,由y2=21sin2θsin2θ(2cos2θ),及由数学不等式:a b c≥3#3abc,abc≤(a b3 c)3,当且仅当a=b=c时,上式取等号,则y2≤21(sin2θ sin32θ 2cos2θ)3;当且仅当2cos2θ=sin2θ,即θ=arctan"时,y有最大值,即ymax=2#93.竞赛题1一个面积为S的风筝,迎着速度为v的水平方向的风飞翔,为使风筝获得最大的升力,风筝平面应与水平面成多大的角度?相应的最大升力有多大?设空… 相似文献
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题目给定曲线族()22sinθ?cosθ 3x2?(8sinθ cosθ 1)y=0,θ为参数,求该曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大值.(1995年全国高中数学联赛第2试试题)解曲线族与直线y=2x相交于原点O(0,0)和另一交点为()P x0,y0,显然x0≠0,并且x0,y0满足方程()()2228y0?4x0sinθ y0 2x0cosθ=6x0?y0,构造向量()22a=8y0?4x0,y0 2x0,b=(sinθ,cosθ),由?a b≤a?b≤a b,即a?b2≤a2b2(当且仅当a,b共线时取等号),得[(8y0?4x02)?sinθ (y0 2x02)?cosθ]222222222≤[(8y0?4x0) (y0 2x0)](sinθ cosθ),即(6x02?y0)2≤(8y0?4x02)2 (y0 2x02)2(*),把y0=2x0代入(*)并… 相似文献
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构造点的坐标 ,应用平面解析几何的公式或原理解题 ,是一个常用的解题的方法 .下面从几个方面加以说明 .1 应有两点间的距离公式求解例 1 已知在实数 m,n,a,b和角 θ之间成立关系式m sinθ- n cosθ=m2 +n2 ,(1)sin2 θa2 +cos2 θb2 =1m2 +n2 , (2 )求证 :m2a2 +n2b2 .证 :在平面上取两点 A (m ,- n) ,B (m2 +n2 sinθ,m 2 +n2 cosθ)均满足 (1) ,(2 ) ,于是 A,B两点间的距离为 |AB|=m2 +n2 sinθ- m 2 +m2 +n2 cosθ+n 2=2 (m2 +n2 ) - 2 m2 +n2 (m sinθ- n cosθ) 2=0 .则 A,B两点重合 ,从而m2 +n2 sinθ=m,m2 +n2 cosθ=- n,代… 相似文献
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高等数学初等化问题,已成为高考数学试题发展的新趋势,它给师生带来了新的思维挑战.本文就这方面问题作如下归纳:计算条件初等化例1:若两个向量a!,b"的夹角为θ,则称向量“a!×b"”为“向量积”,其长度｜a!×b"｜=｜a!｜·｜b"｜·sinθ.今已知｜a!｜=1,｜b"｜=5,｜a!×b"｜=｜a!｜·｜b"｜·sinθ=3,则a!·b"=_____.解:由“向量积”的定义可知｜a!×b"｜=｜a!｜·｜b｜·sinθ=3,带入条件有sinθ=53,且θ∈[0,π],所以cosθ=±54.所以a!·b"=｜a!｜·｜b"｜·cosθ=±4.例2:若定义运算ca bd=ad-bc,则符合条件1-1Z Zi=4+2i的复数Z为().A.3… 相似文献
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丁丽芳 《数学大世界(高中辅导)》2005,(4):10-11,27
一、a·b=｜a｜｜b｜cosθ中的cosθ与S=12｜a｜｜b｜sinθ中的sinθ是建立起数量积与面积关系的桥梁.【例1】设i,j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的单位向量,且AB=4i 2j,AC=3i 4j,则△ABC的面积等于()(A)15(B)10(C)7.5(D)5分析:①由题意可知:AB=(4,2),AC=(3,4),所以｜AB｜=25,｜AC｜=5,AB·AC=4×3 2×4=20②由S△ABC=12｜AB｜｜AC｜sin∠BAC,故知必须先求sin∠BAC.由AB·AC=｜AB｜｜AC｜cos∠BAC,可得cos∠BAC=25从而由sin2∠BAC cos2∠BAC=1可求出∠BAC=55,S△ABC=5,故选D.二、利用a⊥bZx1x2 y1y2=0来实… 相似文献
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许多三角题若运用方程视角来审视,就会发觉解题路子比原来更宽.本文例述其主要思考方式.一、直解方程即问题明确呈现方程本质,只须从中直接解出所求即可.例1已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),求cotθ的值.解析:本题解法较多,但最为稳妥的方法是解方程组:sinθ+cosθ=15,sin2θ+cos2θ=1.即有:sin2θ+(15-sinθ)2=1,整理得25sin2θ-5sinθ-12=0,(5sinθ+3)(5cosθ-4)=0,∴sinθ=45(舍sinθ=-35,∵θ∈(0,π)),从而cosθ=-35,∴tanθ=-43,cotθ=-34.例2在△ABC中,A+C=2B,且1cosA+1cosC=-2cosB,求cosA-C2的值.解析:由条件易知B=60°,从而A+… 相似文献
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一、选择题(每小题5分,共60分)1.在△ABC中,sinAcosC<0,则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定2.函数(x)f=asinx b的最大值是A.a b B.｜a｜ b C.｜a b｜D.｜a｜ ｜b｜3.若α![0,2π),且1 cosα 1-cosα=sin-α"2"22cosα,则α的取值范围是2A.[0,2π)B.[π,π)C.[0,π)D.[π,π)224.设a=cos6°-1"3sin6°,b=2tan13°c=221 tan213°,"1-cos50°,则有2A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c5.若y=2cosωx在[0,23]上是递减的且有最小值π1,则ω的值可以是A.2B.1C.3D.1236.函数(x)=cos x sin x的图像中相邻的两条f2255… 相似文献
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公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos… 相似文献
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题 :已知 sin2α =a,cos2α =b,则 tan(α π4 )恒等于下列数值中的 ( )( A) b1- a. ( B) 1 ab .( C) 1 a b1- a b. ( D ) a - b 1a b - 1.解法 1:tan(α π4 ) =sin(α π4 )cos(α π4 )=2 sin2 (α π4 )2 sin(α π4 ) cos(α π4 )=1- cos( 2α π2 相似文献
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一、构造函数例1设α、m为常数,θ是任意实数,求证:眼cos(θ+α)+mcosθ演2≤1+2mcosα+m2.证明构造函数y=f(θ)=1+2mcosα+m2-眼cos(θ+α)+mcosθ演2,则只需证明y≥0即可.f(θ)=sin2(θ+α)+2m眼cosα-cosθcos(θ+α)演+m2sin2θ.令sin(θ+α)=x,则得二次函数y=x2+2msinθ·x+m2sin2θ.由于Δ=4m2sin2θ-4m2sin2θ=0,且二次项系数为1,故y≥0,即原不等式成立.二、构造数列例2已知:sinφcosφ=60169,π4<φ<π2,求sinφ、cosφ的值.解由题意可知,sinφcosφ=(215姨13)2且sinφ>cosφ,构造等比数列cosφ,215姨13,sinφ.设sinφ=215姨13·q,c… 相似文献
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考察下列恒等式: cos2θ=2cos~2θ-1; cos2θ=-(2sin~2θ-1) cos3θ=4 cos~3θ-3cosθ; sin3θ=-(4sin~3θ-3sinθ) cos4θ=8 cos~4θ-8cos~2θ+1; cos4θ=8sin~4θ-8sin~2θ+1 cos5θ=16cos~5θ-20cos~3θ+5cosθ;sin5θ=16sin~5θ-20sin~3θ+5sinθ, ………………………………我们或许会猜测;是否存在某个定理,可以揭示上列展开式之间的微妙关系呢? 回答是肯定的。本文将提出并证明这个定理。定理若已知casnθ=F(cosθ)) 相似文献
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一、求角的范围例1若sinθ cosθ >0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解∵sinθcosθ>0,∴sinθcosθsin2θ+cos2θ>0,∴tanθtan2θ+1>0,∴tanθ >0.选B.二、求值例2已知tan(π4+α)=2,求12sinαcosα+cos2α的值.解∵tan(α +π 4)=2,∴1+tanα1-tanα =2,tanα=1 3.∴ 12sinα cosα +cos2α=sin2α +cos2α2sinα cosα +cos2α=tan2α +12tanα +1=2 3.例3已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α 缀[π2,π],求sin(2α+π3)的值.解显然cosα≠0,∴原条件可化为6tan2α+tanα-2=0,解得tanα=-2… 相似文献
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甘志国 《数理化学习(高中版)》2015,(3):18
一、用公式sin3α=3sinα-4sin3α简解题设中含"B=2A"的两道解三角形的高考题普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》第138页的习题B组第1题是:证明:(1)sin3α=3sinα-4sin3α;(2)cos3α=4cos3α-3cosα.笔者发现运用上面的第一个公式"sin3α=3sinα-4sin3α"可以简解题设中含"B=2A"的解三角形问题.定理1:在△ABC中,若B=2A,则cos A=b/(2a),a(a+c)= 相似文献