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设 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n是n次实系数多项式,如果当x取非负整数值时,f(x)都是整数,则称f(x)是整值多项式。一个多项式什么时候是整值多项式呢?本文介绍一种简单的判定方法。先介绍一个引理。引理。设f(x)为n次多项式,则f(x)能唯一地表示成下面的形状: 相似文献
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韩世忠 《开封教育学院学报》1990,(4)
§1.引言 我们知道,求多项式f(x)与g(x)的最大公因式d(x)的传统方法是辗转相除法(也称欧几里得算法)。而最后倒推求出多项式u(x)与v(x),使得下面的等式成立: u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)=(f(x),g(x)).(1)用这种方法,当多项式f(x)与g(x)的次数较高,并且其系数较大时是相当麻烦的,而最后求满足(1)式的多项式u(x)与v(x)时,也是很不容易的。 相似文献
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定义:若实系数n次多项式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n 当x取任何整数时,多项式f(x)的值皆为整数。则称F(x)是整值多项式。关于整值多项式的知识在有关书籍上已有论述。但所给判定方法及其证明既非初等且表述冗长,运算复杂。有的还需要巧妙的变形与详尽的讨论.这里介绍一个判定定理,把整值 相似文献
4.
冯录祥 《重庆第二师范学院学报》1996,(1)
对多项式 f(x),g(x),把用辗转除法求出的使u(x)f(x) υ(x)g(x)=f(x),g(x))(※)成立的多项式 u(x),υ(x)称为基元多项式。指出基元多项式是使(※)式成立的唯一的次数最低的一对多项式;用基元多项式给出了所有使(※)成立的多项式 u(x),υ(x)的表达式。 相似文献
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眭锡坤 《苏州教育学院学报》1986,(1)
多项式理论是高等代数的重要内容之一,在研究有理系数多项式的因式分解时,有下述定理:设f(x)=a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+……+a_1x+a_0是n次整(数)系数多项式,如果有一个素数P,使: 相似文献
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我们熟知整数的哥德巴赫命题是:每一个大于2的偶数都可写成两个质数的和。这个命题的正确性至今尚未得到证明。在《数学爱好者》1980,1期刊载的《容易证明的“1 1”》(以下简称文[1])一文中提出了一个有兴趣的定理: 定理1.每一个整系数n(≥1)次多项式可写为两个n次不可约整系数多项式的和。这个定理的证明依赖于下述整系数多项式不可约的艾森施坦因判定法则定理2.整系数多项式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n (1) 相似文献
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将高等代数中的一般的综合除法 ,即除式g(x)为一次多项式x -α的情况推广到除式g(x)为m次多项式的情况 ,并讨论了其多方面的应用 相似文献
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一、拼凑法形如f[h(x)]=g(x)的结构,通过对g(x)进行观察、分析、变形,转化为关于h(x)的多项式,用x替换h(x)即得函数的解析式.例1已知函数f(x)满足:f(x-x1)=x2+x12,求f(x).解∵f(x-x1)=x2+x12=(x-1x)2+2,∴设x-x1=t,则有f(t)=t2+2.∴f(x)=x2+2.二、换元法形如f[h(x)]=g(x)的结构,可设h(x)=t,解出x,代入g(x)进行换元来解,以达到求f(x)的目的.例2已知f(11+-xx)=x(x≠-1),求f(x).解设1-x1+x=t,则x=11+-tt.∵f(t)=11+-tt,∴f(x)=11-+xx(x≠-1).三、待定系数法在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写成一般形式,其中系数待定… 相似文献
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本文旨在 :(1)用有理数域多项式矩阵证明以下定理 :设Z代表整数环 ,Z[ ]代表整数系数多项式环 (我们简称整系数多项式环 ) ,定理 :设f1;f2 ;…fn 是Z[x]中一组 (n个 )元素 ,d是它们的最大公因式 ,则Z[x]中一定有一组相应的元素q1;q2 ;…qn,使得 :d =f1·q1 f2 ·q2 … fn·qn.(2 )用矩阵来计算若干个整系数多项式的最大公因式 . 相似文献
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Eisen就ein(艾森斯坦因)判别法(以下简写为E判别法)说的是: 如果f(哟=a。扩+气一1砂一1+…十a。(a。沪0)是一个整系数多项式,且有一个素数夕,满足以下条件: L夕十a,; 2.夕】a卜:,夕】a。一:,…,夕}a。; 3.夕2扣。,那么f(哟在有理数域上是不可约的。 (证明可见《高等代数》) 问题一E判别法的应用范围是什么? 答:E判别法是针对。次整系数多次式的.实际上,由于下述原因,这个判别法的应用范围可有所增减. ①任意一次整系数多项式总是Q(Q表示有理数域)上的不可约多项式.因此,,召判别法无须用于一次整系数多项式. 任意二次整系数多项式都能用判… 相似文献
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题 1 给定一个非负整数n及两个实数a和c ,求证 :存在无限多个实系数一元多项式P(x) ,使得对每一个x∈R ,都有P(x) +P( 1 -x) =(a·x2 -a·x +c) n。题 2 确定所有的有序非负整数组 (m ,n ,t) ,使得存在至少一个实系数一元多项式P(x) ,对每一个x∈R ,都有P(x) +xm·P( 1 -x) =(x2 -x +1 ) n·(x2 -x -1 ) t;并确定这样的P(x)是否有无限多个 ,请说明理由。(注 供题人对第一位完整且正确的应征解答者授予奖金 60元 ,每小题各设 3 0元 )有奖解题擂台(64)$广州大学理学院数学系@吴伟朝!邮编:510405… 相似文献
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把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.本文笔者对求解函数解析式常用的八种方法逐一进行介绍.一、配凑法已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的解析式,常用配凑法.该方法主要通过观察、配方、凑项等使原函数变形为关于“自变量”的表达式,然后以x代替“自变量”得出所求函数的解析式.例1已知f(1 1x)=x12-1,求f(x)的解析式.解析把解析式按“自变量”1 1x变形得f(1 1x)=(1 1x)2-2(1 1x),在上式中以x代替(1 1x),得f(x)=x2-2x(x≠1).这里需要特别注意的是,不要遗漏解析式的定义域x≠1.二、待定系数法已知函数类型或图像以及相关条件,求函数解析式时,常用待定系数法.此方法适用于所求函数的解析式表达式是多项式的情形,首先确定多项式的次数,写出它的一般表达式,然后由已知条件以及多项式相等的条件确定待定的系数.例2已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1及f(x 1)-f(x)=2x,求f(x).解析设f(x)=ax2 b... 相似文献
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将高等代数中的一般的综合除法，即除式g(x)为一次多项式x-α的情况推广到除式g(x)为m次多项式的情况，并讨论了其多方面的应用。 相似文献
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设f(x) ,g(x)∈F[x],且 °(f(x) ) =n , °(g(x) ) =m ,其中f(x) =a0 xn+a1xn -1+…+an (1)g(x) =b0 xm+b1xm -1+…+bm (2 )用矩阵表示f(x) =(a0 ,a1,…,an) (xn,xn-1,…,1) T (3)为了叙述方便,给出如下定义.定义1 在(3)式中,称1×(n +1)矩阵A =(a0 ,a1,…,an)为多项式f(x)的系数矩阵;称(n +1)×1矩阵X =(xn,xn -1,…,1) T 为f(x)基底矩阵。其中f(x)的系数矩阵A与基底矩阵X都是f(x)按降幂排列而构成的,且A的行数和X的列数都等于 °(f(x) ) +1。显然(f(x) =AX .定义2 已知多项式(1) ,(2 ) ,则(n +1)×(n +m +1)矩阵B(f,g) =b0 b1…bmb… 相似文献
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代数部分1.求所有次数为2且首项系数为1的整系数多项式P(x),使得存在一个整系数多项式Q(x),满足P(x)Q(x)的所有系数均为±1.2.设R+表示正实数集.求所有的函数f:R+→R+,使得对所有正实数x、y,有f(x)f(y)=2f(x+yf(x)).3.已知实数p、q、r、s满足p+q+r+s=9,p2+q2+r2+s2=21.证明:存在(p,q,r,s)的一个排列(a,b,c,d),使得ab-cd≥2.4.求所有的函数f:R→R,对于所有实数x、y,满足f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1.5.本届IMO第3题.几何部分1.已知△ABC满足AB+BC=3AC,I为△ABC的内心,内切圆与边AB、BC的切点分别为D、E.点D、E关于点I的对称点… 相似文献
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关于整系数不可约多项武的判别,有着著名的定理1(Eisenstein判别法).设 f(x)=α_0 α_1x …α_nx~n是一个整系数多项式,若是能够找到一个素数p,使得 相似文献
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王兆雄 《苏州教育学院学报》1994,(1)
在复数域C上,设f(x)=C_nx~n C_(n-1)x~(n-1) … C_1x C_0C_i∈C,(i=0,1,2,…,n)是一个复系数多项式,则称 其中是C_i的共轭复数 为f(x)的共轭多项式。 在复数域C上,复系数多项式f(x)与其共轭多项式的最大公因式(f(x),(?)(x))是一个实系数多项式。 事实上,设d(x)=(f(x),(?)(x)),则d(x)|f(x),d(x)|(?)(x),所以(?)(x)|(?)(x),(?)(x)|(?)(x),即(?)(x)|f(x),因此,(?)(x)|(f(x),(?)(x))即(?)(x)|d(x),d(x)|(?)(x),所以d(x)=(?)(x),这说明d(x)的系数为实数,因此,(f(x),(?)(x))是一个实系数多项式。 关于共轭多项式,有一些很有趣的性质,本文仅讨论其中的一个。 定理:若复数α=a bi(a,b∈R)是复系数多项式f(x)的一个根,则α的共轭复数 相似文献