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早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法 相似文献
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文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4 相似文献
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一类二元函数的条件最值,如能进行适当的齐次代换转化为分式函数,利用判别式法易于简捷巧妙地获解。例1 已知|3x-y|≥4,求S=2x~2-xy y~2的最小值,并求S取最小值时的x、y值。解:显然x,y不全为零,不妨设x≠0,令t=y/x。 u=S/(3x-y)~2=(2x~2-xy y~2)/(9x~2-6xy y~2)=(2-t t~2)/(9-6t t~2)化为(1-u)t~2 (6u-1)t (2-9u)=0其△=(6u-1)~2-4(1-u)(2-9u)=32u-7≥0,解得u≥7/32。 相似文献
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本刊1984年第1期上何平老师的“条件等式的一些证法”一文,读后收益不少。但我们感到还可以作些补充。因式分解法有以下几种情况: 1、通过对已知条件分解因式,获得某种简单关系,使证明得到解决。例1 已知x~2-yz=y~2-zx,x(?)y,求证z~2-xy=y~2-zx。证由已知x~2-yz=y~2-zx,移项得 x~2-y~2+zx-yz=0,分解因式得(x-y)(x+y+z)=0,∵x(?)y,∴x+y+z=0。①又z~2-xy-(y~2-zx)=(z-y)(x+y+z), 相似文献
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用定义解题,往往被人忽视。其实,在处理某些问题时,直接利用定义有时会更加干脆利落,并且能加深对概念的认识,起到固本拓新,以少胜多的效果。现举例如下: 一、利用任意角的三角函数的定义 [例1] 求证:secθ=((sec~4θ-tg~4θ)/(2sin~2θ cos~2θ))~(1/2)(0<θ<π/2) 证明:设θ角终边上一点P(x,y),OP=r由任意角三角函数定义得右边=((r~4-y~4)/x~4·r~2/(2y~2 x~2))/~(1/2)=((r~2 y~2)/x~2·r~2(y~2 r~2))~(1/2)=(r~2/x~2)~(1/2)=r/|x| ∵ 0<θ<π/2 ∴ r/|x|=r/x=secθ。一般地,凡只涉及同一个角的三角函数问题,大 相似文献
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我们初学分式时,由于对知识的理解不透彻,方法运用不熟练,常常出现一些不必要的错误,失分率较高.本文对同学们在学习分式时出现的几种常见错误进行了梳理,对其错因作简单剖析,希望帮助同学们避免错误,走出误区.一、随意约分例1 x~2-y~2/x+y是整式还是分式?1/x+2呢?x-1-π呢?错解因为x~2-y~2/x+y=(x+y)(x-y)/x+y=x-y,所以x~2-y~2/x+y是整式;1/x+2是整式;x-1/π是分式. 相似文献
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学生经常产生一些似是而非的错误,如: 例1 求函数y=x (x~2-3x 2)~(1/2)的值域。 错解 由y-x=x~2-3x 2)~(1/2) 可得 (y-x)~2=x~2-3x 2. 整理得 x=（2-y~2)/(3-2y)(y≠3/2). 因而函数的值域为{y|y∈R,y≠3/2}. 相似文献
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丁兴春 《中学数学研究(江西师大)》2006,(10):49-49,F0004
第46届 IMO 第3题是不等式问题:正实数 x,y,z 满足 xyz≥1,证明(x~5-x~2)/(x~5 y~2 z~2) (y~5-y~2)/(y~5 z~2 x~2) (z~5-z~2)/(z~5 x~2 y~2)≥0.本文对其指数及项数作出一般性的推广. 相似文献
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崔子荣 《数理天地(初中版)》2008,(5):8-9
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解.正确理解因式分解的概念是学好因式分解的前提,要注意因式分解的"五忌".1.忌部分分解例1分解因式:x~2-y~2-z~2-2yz.错解原式=(x+y)(x-y)-z(z+2y).分析错在只是分解了原式的某些部分.正解原式=x~2-(y~2+z~2+2yz) =x~2-(y+x)~2=(x+y+z)(x-y-z). 相似文献
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算术——几何平均值的应用非常广泛,这是大家所熟知的。本文的目的是说明它除了用来证明不等式和求函数的极值外,还能解决一些特殊方程的问题。兹仅举二例略述一二,供参考。例1.求方程x(2-y~2)~(1/2) y(2-x~2)~(1/2)=2的正整数解解:∵ x,y为正数, ∴ x(2-y~2)~(1/2)≤(x~2 (2-y~2)/2 (1) (等号仅在x~2=2-y~2成立) y(2-x~2)~(1/2)≤(y~2 (2-x~2)/2 (2) (等号仅在y~2=2-x~2成立) (1) (2)得:x(2-y~2)~(1/2) y(2-x~2)~(1/2)≤2 但由方程x(2-y~2)~(1/2) y(2-x~2)~(1/2)=2 显然等号在x~2=2-y~2和y~2=2-x~2时取得故 x~2=2-y~2即x~2 y~2=2 ∵ x,y为正整数,∴ x=1,y=1 相似文献
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众所周知,对于任意实数x,y,总有x=x y/2 x-y/2,y=x y/2-x-y/2,若令x y/2=a,x-y/2=b,便得到 x=a b,y=a-b. 这个简单的变换有着不同凡响的功效,解题中若能巧妙、合理地运用它,常能独辟蹊径、化难为易、避繁就简,使解题过程显得简洁、活泼、新颖、别致,现例说如下。 1 求变量的取值范围 例1 已知x,y是实数,且x~2 xy y~2-2=0,则x~2-xy y~2的取值范围是( )(1997年湖北省黄冈地区初中数学竞赛题) 解 设x=a b,y=a-b, 代入已知等式,得3a~2 b~2-2=0. 即b~2=2-3a~2。 相似文献
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《中学数学》(苏州大学)1993年第1期与第5期集锦栏对著名的W.Janous猜测: “设x、y、z都是正数,则有y~2-x~2/z+x+z~2-y~2/x+y+x~2-z~2/y+z≥0”给出了两个简证。现可子以推广,得到: 命题设x、y、z都是正教,m、n均为自然数,则有(y~m-x~m)/(z~n+x~n)+(z~m-y~m)/(x~n+y~n)+(x~m-z~m)/(y~n+z~n)≥0. 下面利用对称思想给出一个巧妙的证法。证明:因为命题中不等式左边是一个关于x、y、z的轮换对称式.所以可设x≥y≥z,于是, 左式=((y~m-x~m)/(z~n+x~n)-(y~m-x~m)/(y~n+z~n))+((z~m-y~m)/(x~n+y~n)-(z~m-y~m)/(y~n+z~n))=(y~m-x~m)·(y~n-x~n)/((z~n+x~n)(y~n+z~n)) +(z~m-y~m)·(z~n-x~n)/((x~n+y~n)(y~n+z~n)) 又对任何自然数p,有a~p-b~p=(a-b)(a~(p-1)+a~(p-2)b+…+b~(p-1))。从而,左式 相似文献
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丁兴春 《中学数学研究(江西师大)》2006,(3):45-46
第46届 IMO 试题第3题是一道不等式题:正实数 x,y,z 满足 xyz≥1,证明(x~5-x~2)/(x~5 y~2 z~2) (y~5-y~2)/(y~5 z~2 x~2) (x~5-x~2)/(z~5 x~2 y~2)≥0.本题难度相当大,平均得分仅为0.91分,下面是笔者对命题的分析过程,供参照.要证明上述不等式是成立的,只要证明: 相似文献
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解数学题,虽然掌握定理、公式、法则等是关键,但是由于习题的类型较多,特点不一,技巧也不可忽视,运用技巧不仅可以提高解题速度,而且还由于简单明了,从而可以避免和减少运算的错误。现举几例分析如下。例1 已知x>0,y>0,且x~(1/2)(x~(1/2) y~(1/2))=3y~(1/2)(x~(1/2) 5y~(1/2))。求(2x x~(1/2)y~(1/2) 3y)/(x x~(1/2)y~(1/2)-y)的值。解这类题,是目前初中学生的难点。他们往往不从已知条件去分析,乱碰乱撞。事实上,此题没有给出字母的值,所以不能直接求值,只能根据条件解出x y的明确关系,把所求值式中换成同一个字母。 相似文献
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徐连升 《数理化学习(初中版)》2011,(6):3-5
配方法是初中数学里的一种重要的思想方法,有广泛的应用.本文以近年中考试题为例,将其应用归纳如下.一、因式分解例1(2010年芜湖市)因式分解9x~2-y~2-4y-4=____.解:原式=9x~2-(y~2+4y+4)=(3x)~2-(y+2)~2=(3x+y+2)(3x-y-2) 相似文献