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1.
文[1]在文[2]对不等式“若xi〉0,i=1,2,3,且∑i=1^3 xi=1,则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出的初等证明进行探究的基础上,得出如下结论：在xi〉0,i=1,2,3……且∑i=1^n xi=m的条件下,欲证不等式∑i=1^ng（xi）≤k（≥k）成立。只需构造函数f（x）=g（x）=（ax＋b）且使f（m/n）=0. 相似文献
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杨瑞强 《河北理科教学研究》2015,(3):5-7
对满足条件n∑ i=1 xi=k(≥k,≤k)的形如n∑ i=1 f(xi)≤M(≥M)(k、M为常数)的条件不等式的证明是中学数学的重点和难点内容之一,通常在竞赛和高考压轴试题中出现.此类试题技巧性较强,学生在短时间内难以解决.下面介绍一种“切线法”(构造切线方程实施放缩)来证明此类条件不等式.
切线法 对于x1,x2,…,xn∈D,其中D为给定区间,n∑i=1 xi=k(≥k,≤k),(k为常数),求证:∑f(xi)≤M(≥M). 相似文献
3.
<数学通报>2009年第4期刊登的问题1785:"设0≤xi≤1(i=1,2,3,...,n),n∈N,n≥3,且n∑i=1xi=1.试求f(x1,x2,...,xn)=n∑i=1xi/(1+x2i)的最大值"的解答繁难复杂,不易发现和掌握. 相似文献
4.
柯西不等式常活跃在各类考试中,其重要变式：若xi,yi〉0,则
n∑i=1 yi^2/xi≥（n∑i=1yi）^2/n∑i=1xi（＊）
当且仪x1/yi=x2/y2=…=xn/yn时等号成立． 相似文献
5.
文[1]探讨了如下问题[2]:设x、y、z为非负实数,且x y z=32,求式子x3y y3z z3x的最大值;并猜想:设x、y、z为非负实数,n∈N*,n≥2,则xny ynz znx≤(n n1n)n 1(x y z)n 1.经笔者研究,有如下更一般的结果(本文中,xm 1=x1)定理设∑mi=1xi=1,xi≥0,m,n∈N*,m≥3,n≥2,则∑mi=1xinxi 1≤nn/(n 1)n 1.证明(数学归纳法)当m=3时,需证x1nx2 x2nx3 xn3x1≤nn/(n 1)n 1;考虑到不等式中字母的轮换性,不妨设x1=max(xi):1)若x1≥x2≥x3,则x1nx2 x2nx3 x3nx1≤x1nx2 2x1n-1x3x2≤(x1n nx1n-1x3)x2≤(x1 x3)nx2=(1-x2)n×nx2/n≤[n/(n 1)]n 1/n=nn/(n 1)n 1;2… 相似文献
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我们知道,在△ABC中,已有下列不等式: sinAsinBsinc≤(3/8)3(1/2)=sin~3(π/3) ① Sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8=sin~3(π/6) ② 这类不等式可以推广为: 命题 在△ABC中, Sin(A/k)sin(B/k)sin(C/k)≤sin~3(π/3k)(k∈N) ③ 相似文献
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文[1]用数学归纳法证明了如下不等式:设正整数n≥3,xi＞0(i=1,2,…,n),n∑i=1xi=k≤1,则 相似文献
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1 试题及标准答案
题目 设函数f(x) =ax+cos x,x∈[0,π].
(I)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设f(x)≤1+sin x,求a的取值范围.
标准答案(I)f1(x)=a-sin x.
(i)当a≥1时,f1(x)≥0,且仅当a=1,x=π/2时,f1(x)=0,所以f(x)在[0,π]是增函数;
(ii)当a≤0时,f1(x)≤0,且仅当a=0,x=0或x=π时,f1(x)=0,所以f(x)在[0,π]是减函数; 相似文献
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刘爱农 《中学数学教学参考》2004,(5)
琴生不等式是:若f(x)是区间L上的凸函数,ai∈L ,i=1 ,…,n ,则 ni=1f(ai)≤nf( 1n ni=1ai) .我们还有(以下把 ni=1记作 )定理 设f(x)是闭区间[a ,b]上的凸函数,ai∈[a ,b],i=1 ,…,n ,则f(ai)≥kf(b) (n -k -1 ) f(a) f(c) .①其中 k = ai-nab-a ,c= ai-kb -(n -k -1 )a .证明:任取x1、x2 ,使a 相似文献
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构造函数解决与不等式相关问题是很常见的,但通常都是构造单调函数,并利用其单调性来完成解答.本文介绍一种新的构造方法,它不是利用函数的单调性,而是应用函数值在其变量取值范围内有确定符号来解题.下面举例来加以说明.例1已知a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈[1,2],且∑ni=1ai2=∑ni=1bi2.求证:∑ni=1ai3bi≤1107∑i=n1bi2.证明:构造函数f(x)=(x-12)(x-2)(x+25),则当21≤x≤2时,f(x)≤0故x3-2101x2+52≤0,即x3≤2101x2-52.又21≤abii≤2,所以abi33i≤1210ba2ii2-52,所以ab3ii≤2101ai3-25bi2.故∑ni=1ai3bi≤2110∑i=n1a2i-52∑i=n1bi2=2101∑i… 相似文献
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一个新发现的三角不等式 总被引：2，自引：2，他引：0
苏张延卫、陕西苟春鹏两位老师分别证明 3以下三角不等式 :在△ ABC中 ,有sin A 2 sin B2 3sin C3≤ 3,(1)cos A 2 cos B2 3cos C3≤ 3 3 . (2 )受文 [1]的启发 ,本文作者证得一个类似的新结果 :cot A 2 cot B2 3cot C3≥ 6 3. (3)其实 ,我们有下述定理 在△ABC中 ,对 k≥ 1有cot Ak 2 cot B2 k 3cot C3k≥ 6 cotπ6 k,(4 )等号成立当且仅当 A=π6 ,B=π3.证明 若 x>0 ,y>,且 x y<π,则cotx coty=sin(x y)sinxsiny=2 sin(x y)cos(x- y) - cos(x y)≥ 2 sin(x y)1- cos(x y) =2 cotx y2 .∴cot AR 2 cot B2 … 相似文献
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命题 对o≤七≤2 2/2,在△A8c中成立不等式∑sinA≤掣州∑sin号一争(1)(《中等数学》1 995年第1期P17) 现加强为:对o≤^≤3、//了,在△ABc中有 ∑sM≤学州∑咖导一争(2) 证明 先证在△以Bc中有 ∑sin2A≤掣十3厅[∑。。。A一知 (3) 由三角形恒等式 n 厶sin24—4sin4sinBsinC. ∑c。s以=- tsin导sin詈sin导知 不等式(3) 仁》4sin月sinBsinC ≤t·s、/厂了sin导sin·导sin导 ㈢c。s导c。s鲁c。s导≤生等三. ㈢。。。虿。。。i。。。i≤—百一’ 而这是显然成立的.再对(3)式作变换(么A,么B,么c)一(9卜等.90一譬,9俨等御得∑咖A≤半 3厅(… 相似文献
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用图象法证明一些不等式,方法是相当简洁的,中学生也易掌握。现举例介绍如下。例1.若α_1、α_2、α_3为△ABC的三个内角。则sinα_1 sinα_2 sinα_3≤3(3~(1/2))/2 证明:如图1,显然点A_i(α_i,sinα_i)在y=sinx的图象上,x∈(0,π),i=1,2,3。设G为△A_1A_2A_3的重心,则G是((α_1 α_2 α_3)/3,(sinα_1 sinα_2 sinα_3)/3)。过G作MN⊥x轴。因△A_1A_2A_3在图象下方,G当然也在下方,所以NG≤NM 即(sinα_1 sinα_2 sinα_3)/(?) 相似文献
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对两个优美不等式的再巧证 总被引：1，自引：1，他引：0
《数学通报》2009年第4期刊登的问题1785：“设0≤xi≤1（i=1,2,3,…,”）,n∈N,n≥3,且∑i=1^n xi=1.试求f（x1,x2,…,xn）=∑i=1^n xi/1=xi^2的最大值”的解答繁难复杂,不易发现和掌握．笔者立足基本方法,从简单自然解题的角度探究发现,用均值不等式解之,更能凸现问题本质,展示数学的简洁美． 相似文献
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柯西不等式的再推广 总被引：1，自引：0，他引：1
黄毅老师在文 [1]中给出了柯西不等式的一个变形及其推广 ,本文在此基础上作进一步的推广 .引理 1(赫尔德不等式 )已知 ai,bi ∈ R+ ,i = 1,2 ,… ,n且α +β =1,1)若αβ >0 ,则∑ni=1aαibβi ≤ ( ∑ni=1ai)α( ∑ni=1bi)β2 )若αβ <0 ,则∑ni=1aαibβi ≥ ( ∑ni=1ai) α( ∑ni=1bi) β引理 2 已知 xi,yi ∈ R+ ,i =1,2 ,… ,n1)若 r >1或 r <0 ,则∑ni=1xiyri ≥ ( ∑ni=1yi) r( ∑ni =1x 11 -ri ) 1 -r2 )若 0 相似文献
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设A、B、C表示ΔA BC的三个内角,∑表示循环和,我们有定理在△ABC中,有cos sin cos222∑B C≤∑A,(1)cos sin cos222∑A C≤∑A,(1')sin sin1sin22∑A B≤∑A,(2)sin sin1sin22∑A C≤∑A.(2')当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明不失一般性,无妨设A≤B≤C,由A,B,C为ΔA BC的三个内角,则,,222A B C∈(0,)2π.由于在区间(0,π/2)内的正弦函数和余弦函数均具有单调性,则0sin sin sin1222相似文献
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“在△ABC中,∑sin A≤3√3/2”是一个基本的三角不等式.下面用它证明一个三元不等式问题
题目 正数a、b、c满足∑a=1.证明：
∑1/bc＋a＋1/a≤27/31,其中,“∑”表示轮换对称和.[1]
（2008,塞尔维亚数学奥林匹克）
证明 令a=yz,b=zx,c=xy（x、y、z＞0）. 相似文献