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有的同学认为命题“两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等”是假命题，理由是根据由已知画出的图形不能判断出三角形全等．其实不然，这是一个真命题，虽然由已知不能直接推出三角形全等，但是通过作辅助线，却能证得结论，请看下面的证明：如图，在西△ＡＢＣ和△Ａ’Ｂ’Ｃ’中，ＡＢ＝Ａ’Ｂ’，ＡＣ＝Ａ’Ｃ’，ＡＤ、Ａ’Ｄ’分别是两三角形的中线且ＡＤ＝Ａ’Ｄ’．求证：△ＡＢＣ≌△Ａ’Ｂ’Ｃ’．分析 依据已知图形不能直接证明两个三角形全等，因此我们须作适当的辅助线：分别延长ＡＤ到Ｅ，Ａ’Ｄ’到Ｅ’，使ＤＥ＝… 相似文献
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关于等腰三角形判定定理的证明,课本上的证法是应用全等三角形给出证明．但在已知图形中,并没有以ＡＢ、ＡＣ为一对对应边的全等三角形,因此必须添加适当的辅助线（作ＢＡＣ的平分线ＡＤ）,把ＡＢＣ分成两个三角形ＡＤＢ和ＡＤＣ;然后证明这两个三角形全等;最后根据全等三角形的性质证得ＡＢ＝ＡＣ．除此之外,还有如下几种证法：１．作ＢＣ边上的高ＡＨ（如图１）,把ＡＢＣ分成两个直角三角形ＡＨＢ和ＡＨＣ,则ＡＢ、ＡＣ分别是这两个直角三角形的斜边．于是,欲证ＡＢ＝ＡＣ,只须证Ｒｔ△ＡＨＢＲｔＡＨＣ即可,根据已知条件和辅… 相似文献
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证明三角形全等一般有下面三种思路．一、两个三角形中，已知两边对应相等，需证出它们的夹角对应相等，或者第三边对应相等．例１已知：如图１，Ｂ为ＡＣ的中点，ＢＥ=ＢＤ，∠１=∠２．求证；∠Ａ=∠Ｃ．分析显然需证△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，已有ＡＢ=ＢＣ，ＢＥ=ＢＤ，还需要证明它们的夹角∠ＡＢＥ=∠ＣＢＤ，而∠１=∠２，它们的夹角相等是显然的．证明∠１＝∠２（已知），∠１＋∠３＝∠２＋∠３（等式性质），即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ，△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ… 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个图形．根据三角形全等的定义,可得如下性质：１．全等三角形的对应边相等;２．全等三角形的对应角相等．对于某些几何竞赛题,考虑构造全等三角形来利用上述性质,可使其解答巧妙、简捷．例１如图１,△ＡＢＣ中,ＡＢ＝５,ＡＣ＝３,则ＢＣ边上的中线ＡＤ的长ｌ的取值范围是（）（Ａ）１＜ｌ＜４;（Ｂ）３＜ｌ＜５;（Ｃ）２＜ｌ＜３;（Ｄ）０＜ｌ＜５．（１９９７年希望杯全国数学邀请赛初二试题）解延长ＡＤ到Ｅ,使ＤＥ＝ＡＤ,连ＢＥ,那么ＡＥ＝２ｌ．ＢＤ＝ＣＤ,１＝２,ＥＤ＝ＡＤ,△ＢＤＥ△… 相似文献
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同学们都知道,应用全等三角形可以证明线段相等和角相等．这是全等三角形的基本功能．但具体证题时又感到难以下手,不知道怎样应用全等三角形证题．为了帮助同学们解决这个问题,下面谈两点意见．一、善于从复杂图形中识别全等三角形例１ 如图１,已知ＡＢ＝ＡＣ,ＡＤ＝ＡＥ,∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ,ＡＣ、ＣＥ分别交ＢＤ于Ｆ、Ｇ,ＡＤ交ＣＥ于Ｈ．求证：∠Ｂ＝∠Ｃ．分析 证明此题时,有部分同学只看到∠Ｂ、∠Ｃ分别是△ＡＢＦ和△ＦＣＧ的一个内角,而这两个三角形又不一定全等,从而便束手无策．我们还应该看到,∠Ｂ、∠Ｃ又分别是… 相似文献
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相似三角形是本学期《几何》的重点内容．通过证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质进行计算或证明的题型，也是统考命题的热点．本文就此归纳一些常见的题型，供同学们学习和参考．一、证角相等例１ 如图１，四边形ＡＢＣＤ为梯形，ＣＤ／／ＡＢ，ＡＢＣ＝９０°，Ｅ为对角线交点，ＥＦ ＢＣ于Ｆ．求证：ＥＦ平分ＡＦＤ．分析 要证ＥＦ平分ＡＦＨ，即证１＝２，但△ＨＥＦ与△ＡＥＨ明显不相似，考虑到１＋３＝２＋４＝９０°，转而去证３＝４．由已知条件知ＥＦ／／ＤＣ／／ＡＢ，因。，ＣＦＤＥＣＤＤＥｒ。＿ＣＦＣＤ＿＿ｆ”Ｆ… 相似文献
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高廷福 《山西教育(综合版)》2000,(2)
全等三角形是初中几何中的重要内容之一,全等三角形的学习是几何入门最关键的一步,这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。在教学时可抓住以下几种证明三角形全等的常见思路进行分析。一、已知一边与某一邻角对应相等思路１证已知角的另一邻边对应相等,以利用ＳＡＳ证全等。例１已知：如图,点Ｅ、Ｆ在ＢＣ上,ＢＥ＝ＣＦ,ＡＢ＝ＤＣ,∠Ｂ＝∠Ｃ。求证：ＡＦ＝ＤＥ。证明：∵ＢＥ＝ＣＦ（已知）,∴ＢＥ＋ＥＦ＝ＣＦ＋ＥＦ,即ＢＦ＝ＣＥ。 在△ＡＢＦ和△ＣＤＥ中,ＡＢ＝ＤＣ（已知）∠Ｂ＝∠Ｃ（已知）ＢＦ＝ＣＥ（已证… 相似文献
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勾股定理及其逆定理是平面几何中两个非常重要的定理,不少几何问题需要综合应用这两个定理才能得到解决．现举例说明,供参考．例１如图１,在△ＡＢＣ中,Ｄ是ＢＣ上一点,ＡＢ＝１３,ＡＤ＝１２,ＢＤ＝５,ＡＣ＝１５,求ＤＣ的长．分析在△ＡＤＣ中,已知两边的长,要求第三边的长．若△ＡＤＣ不是特殊三角形,则无法求解．因此我们可以判断△ＡＤＣ是否是特殊三角形,然后利用已知条件证明上述判断．在△ＡＢＤ中,ＢＤ２＋ＡＤ２＝５２＋１２２＝１３２＝ＡＢ２,由勾股定理的逆定理可知,△ＡＢＤ为直角三角形,ＡＤＢ＝９０°．所… 相似文献
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《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵ ∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴ ∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ ∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ… 相似文献
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几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝… 相似文献
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王淑兰 《中学数学教学参考》1999,(10)
１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１ 从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２ 已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ… 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1 如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ=ＢＣ ,ＡＥ是ＢＣ边上的中线 ,过Ｃ作ＣＦ⊥ＡＥ ,垂足是Ｆ ,过Ｂ作ＢＤ⊥ＢＣ交ＣＦ的延长线于Ｄ ,ＡＣ =1 2 .求ＢＤ的长 . ( 1 997年浙江省中考题 ) 解 ∵ ∠ＡＣＢ =90°,ＣＦ⊥ＡＥ于Ｆ ,∴ ∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△ＤＢＣ和△ＥＣＡ中 ,∵ ∠ＤＢＣ =∠ＥＣＡ =90° ,ＢＣ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ △ＤＢＣ≌△ＥＣＡ .∴ ＢＤ =ＣＥ .∵ Ｃ… 相似文献
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三角形中线一个性质的巧用□兰州科学院中学封自珍三角形中线分三角形成两个面积相等的三角形,这一性质在解题、证题中应用很广泛．例１已知Ｅ、Ｆ分别是ＡＢＣＤ的边ＡＤ、ＣＤ的中点．求证Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＦＣＢ．分析：连结ＢＤ,得Ｓ△ＡＢＥ＝１２Ｓ△ＡＢＤ,... 相似文献
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一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ… 相似文献
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一、填空题（每空３分，共３０分）１．若一个三角形的两边分别为６和２，则第三边ｘ的取值范围是２．等腰三角形的一边等于４ｃｍ，另一边等于１０ｃｍ，则三角形的周长是３．在△ＡＢＣ中，∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝１：３：５，则∠Ａ＝度， ∠Ｂ＝度，∠Ｃ＝ 度．这个三角形按角分类是 三角形，按边分类是 三角形４．在△ｔＡＢＣ中，∠Ａ＝５０°，∠Ｂ＝∠Ｃ＝１０°，则∠Ｂ＝ 度．Ｓ．在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＞ＡＣ，则∠Ｂ ∠Ｃ．６．全等三角形对应边上的高．二、判断题（每小题２分，共１０分，对的打“√”，错误的打“×… 相似文献
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