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1.
本文通过斯特瓦特定理推导出三角形三边中线平方和的公式,借助于三角形的中线长不小于该边上的高,进而推导出三角形面积与三边长的不等式S≤√3/4·√a2+b2+c2/1/a2+1/b2+1/c2,该不等式较Weitzenb(o)ck不等式S≤1/4√3(a2+b2+c2)确定的△ABC面积的上界要小.在推导该不等式的同时也给出了Weitzenb(o)ck不等式的一种新的证明方法. 相似文献
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正1919年,Weitezenbock提出了关于三角形的著名不等式:a2+b2+c2≥槡4 3 S,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.关于它的推广与加强被广泛研究,但大多数是增加不等式右边的项数,如著名的Finsler-Hadwiger不等式:a2+b2+c2≥槡4 3S+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.本文从新的角度给出它的一个有趣隔离如下:定理在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C的中线长为m a,m b,m c,内角平分线长为w a,w b,w c,高线长分别为h a,h b,h c,△ABC面积记为S,则 相似文献
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关于三角形中线的一个不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
196 7年 ,V .O .Cordon建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ a2h2b+h2c≥2 .[1] ①文 [2 ]将不等式①加强为∑ a2t2b+t2c≥2(ta、tb、tc 为三角形的内角平分线长 ,a、b、c为△ABC的边长 ,∑ 表示对a、b、c循环求和 ) .本文将证明 ∑ a2m2b+m2c≤2 (ma、mb、mc为三角形的中线长 ) ,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立 .证明 :∑ a2m2b+m2c=∑ 4a24a2 +b2 +c2=∑ 4a22a2 + (a2 +b2 ) + (a2 +c2 )≤∑ 4a22a2 + 2ab + 2ac=∑ 2aa +b +c=2 ,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立 .利用上述方法和凸函数的性质 ,易得∑ akmkb+mkc≤2 k- 1 … 相似文献
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在△ABC中,设△ABC的面积为S,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有下列不等式链:a^2+b^2+c^2≥bc+ca+ab≥4√3S.①类比此不等式,文[1]得到一个类似不等式:a^2 sinA/2+b^2 sinB/2+c^2 sin C/2≥bcsin A/2+ca sin B/2+ab sin C/2≥2√3S. 相似文献
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刘健 《河北理科教学研究》2013,(3)
1919年,R.Weitzenbǒck[1]给出了下述三角形不等式:△ABC的三个边长与面积分别为a,b,c和△,则有a2+b2+c2≥4√3△,(1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
在1961年举行的国际数学竞赛中,不等式(1)被选为赛题.从此这一不等式广为人知,并被称为Weitzenbǒck不等式. 相似文献
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王恒亮 《河北理科教学研究》2015,(3)
△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,大家知道有著名的Euler公式:R≥2r.
上述公式证明方法有多种,本文将给出△ABC中内切圆代换下的证明.
为此,我们先给出有关内切圆的一些基本知识点,这些在不等式证明中时是极其有用的.
如图1,设a=x+y,b=y+z,c =z + x,△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,面积为S,半周长p=a+b+c/2=x+y+z,由海伦公式知S=√p(p-a)(p-b)(p-c) =√xyz(x+y+z),注意到S=pr=a+b+c/2 r,故r=S/P=√xyz/x+y+z,而S=1/2absinC=abc/4R,故R=abc/4S=(x+y)(y+z)(z+x)/4√xyz(x+y+z),故=R/2r=(x+y)(y+z)(z+x)/8xyz≥8xyz/8xyz=1,故R≥2r. 相似文献
8.
V.Ocordon曾给出了三角形的高与边长之间的不等式[1]:∑a2/h2b+h2c≥2 ① (关于△ABC三边及其边上的高的循环不等式,a、b、c为△ABC的三边,ha、hb、hc为对应边上的高,R、r分别为△ABC外接圆半径和内切圆半径) 相似文献
9.
笔者在中国不等式研究小组网站(http://zgbdsyjxz.nease.net/bdbbdb/bdb.htm)上看到一个很有趣的关于三角形中线的一个不等式问题(猜想).今解答如下:命题设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则当△ABC为任意三角形时,必有一条中线不大于R+r;当△ABC为非钝角三角形时,必有一条中线不小于R+r.为以下证明方便,记△ABC三边长为AB=c,BC=a,CA=b,其对应中线分别为mc,ma,mb,不妨设a≤b≤c,则有ma≥mb≥mc(易证从略),于是命题变为去证明:i)当△ABC为任意三角形时,有mc≤R+r;(1)ii)当△ABC为非钝角三角形时,有ma≥R+r.(2)令对以上(1)、… 相似文献
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196 1年 ,在匈牙利举行的第三届国际数学竞赛中 ,有一道由波兰命题的三角形不等式证明题 :已知三角形的边长分别为 a,b,c,面积为 S,证明 :a2 +b2 +c2≥ 4 3S,(1)并求出在什么条件下等号成立 .这就是著名的魏琴伯克 (Weitzenbock)不等式 (1919年 ) ,等号成立的条件是此三角形为正三角形 .后来 ,Finsler(1937年 )又将它加强成2 bc+2 ca+2 ab- a2 - b2 - c2 ≥ 4 3S.(2 )本文将 (1)左式缩小 ,建立如下的定理 :在△ABC中 ,如上所设 ,有2 ab+c2 ≥ 4 3S,(3)等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .根据三角形面积的不同的表达形式 ,下面给出几… 相似文献
11.
九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r.
解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO.
∵SΔAOC=1/2AC·r
SΔBOC=1/2 BC·r
S△AOB=1/2AB·r
∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c)
又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab
∴1/2r( a+b+c)=1/2ab
∴r=ab/a+b+c
解法二:利用切线长性质求
作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形. 相似文献
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13.
文[1]给出如下一个定理: 定理若△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△AEF、△BDF、△CDE的内切圆分别是⊙I1、⊙I2、⊙I3,其半径分别是r1、r2、r3,则有a/r1 b/r2 c/r3≥12√3. 相似文献
14.
一、引言△ABC内任意一点M,若分别记BC=a,AC=b,AB=c,MA=m,MB=n,MC=p,则以下不等式成立: 1/2(a+b+c)相似文献
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《福建中学数学》2004年第5期《垂足三角形的几个有趣性质及其猜想》一文证明了下述命题:设△ABC为锐角三角形,△DEF是它的垂足三角形(AD,BE,CF是它的三条高线),记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a0,FD=b0,DE=c0.△ABC,△DEF,△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径分别记作R,R0,R1,R2,R3;内切圆半径分别记作r,r0,r1,r2,r3;半周长分别记作p,p0,p1,p2,p3;面积分别记作?,?0,?1,?2,?3.则有r1+r2+r3≤3r/2,①②R1+R2+R3≤3R/2,p1+p2+p3≤3p/2,③?1+?2+?3≤3?/2,④⑤a/r1+b/r2+c/r3≥123,a/R1+b/R2+c/R3≥63,⑥⑦R1/r1+R2/r2+R3/r3≥6,a0/a+b0/… 相似文献
16.
有关高线的一个不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
在文献 [1]中 ,有下面一个关于三角形高线的不等式 :ha+rha- r+hb+rhb- r+hc+rhc- r≥ 6 . (Cosnita-Turtoiu) (1)其中 ha,hb,hc 和 r分别为△ ABC相应边上的高线和内切圆半径 .本文试图给出 (1)式左端的一个上界 ,即证明H =ha+rha- r+hb+rhb- r+hc+rhc- r<7. (2 )由 ha =2 Sa,r =2 Sa+b+c(这里 S是△ ABC的面积 ) ,可得 har=a+b+ca ,代入 (2 )可以求得H=har+1har- 1+hbr+1hbr- 1+hcr+1hcr- 1=3+2 (ab+c+ba+c+ca+b) . (3)为了确定起见 ,不妨可设 a≥ b≥ c,且进一步设 a=xc,b=yc,再由 b+c>a,可得 1≤y≤ x<1+y.将 a,b代入 (3)化简后得… 相似文献
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本文通过斯特瓦特定理推导出三角形三边中线平方和的公式,借助于三角形的中线长不小于该边上的高,进而推导出三角形面积与三边长的不等式S≤／3/4.／a2＋b2＋c2/1/a2＋1/b2＋1/c2,该不等式较Weitzenb6ck不等式S≤1/4／3（a2＋b2＋c2）确定的△ABC面积的上界要小．在推导该不等式的同时也给出了Weitzenbock不等式的一种新的证明方法． 相似文献
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文[1]建立了如下关于三角形中线长的一个有趣的不等式:若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,R、r为△ABC外接圆和内切圆半径,则有22222ma mb mc rbc+ca+ab≥+R.研究发现并获得如下加强形式及其对偶不等式.1加强定理1若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,则有22294ma mb mcbc+ca+ab≥.(1)为证定理1,先引入以下引理:引理1设a,b,c>0,则有(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)≤abc.(2)(1983年瑞士数学竞赛试题)引理2设a,b,c为三角形的三边长,则有(3a?b?c)(3b?c?a)(3c?a?b)≤(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)(3)与a3+b3+c3+9abc≤2(a2b+b2c+c2a)+2(ab2+bc2+ca2).(4)简… 相似文献
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在三角形中,关于它的三条角平分线存在着如下一个对称和谐不等式:在△ABC中,ωa,ωb,ωc分别是a,b,c三边对应的角平分线,p=1/2(a b c). 相似文献
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在中学数学教学研究的期刊上常出现下述平均值不等式:
设以a,b∈(0,+∞),则a2+b2/a+b≥√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2ab/a+b.
本文将给出这五个平均值不等式之间的“问距”大小关系.
命题 设a,b∈(0,+∞),记△1=a2+b2/2-√a2+b2/2,△2=√a2+b2/2-a+b/2,△3=a+b/2-√ab,△4=√ab-2ab/a+b,则△3≥△1≥△2≥△4.等号当且仅当a=b时成立. 相似文献