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本文通过斯特瓦特定理推导出三角形三边中线平方和的公式,借助于三角形的中线长不小于该边上的高,进而推导出三角形面积与三边长的不等式S≤／3/4.／a2＋b2＋c2/1/a2＋1/b2＋1/c2,该不等式较Weitzenb6ck不等式S≤1/4／3（a2＋b2＋c2）确定的△ABC面积的上界要小．在推导该不等式的同时也给出了Weitzenbock不等式的一种新的证明方法． 相似文献
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刘健 《河北理科教学研究》2013,(3)
1919年,R.Weitzenbǒck[1]给出了下述三角形不等式:△ABC的三个边长与面积分别为a,b,c和△,则有a2+b2+c2≥4√3△,(1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
在1961年举行的国际数学竞赛中,不等式(1)被选为赛题.从此这一不等式广为人知,并被称为Weitzenbǒck不等式. 相似文献
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笔者在研究三角形中的不等式时得到下面几个有趣的三角形不等式,即
定理1 在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C,△ABC的中线长为ma,mb,mc;内角平分线长为wa,wb,wc;高线长为ha,hb,hc,旁切圆半径为ra,rb,rc,△ABC的面积为S,则4S√m2a/r2a+m2b/r2b+m2c/r2c≥ab+bc+ac≥4S√m2a/ω2a+m2b/ω2b+m2c/ω2c≥4√3S.(1) 相似文献
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Weisenb ck不等式 :设△ABC的三边长和面积分别为a、b、c和S .则有a2 +b2 +c2 ≥ 43S .证法 1:a2 +b2 +c2 ≥a2 +12 (b +c) 2=32 a2 +12 [(b +c) 2 -a2 ]≥ 3· [(b +c) 2 -a2 ]a2≥ 3· [(b +c) 2 -a2 ] [a2 -(b -c) 2 ] .而S =14 [(b +c) 2 -a2 ] [a2 -(b -c) 2 ] ,所以 ,a2 +b2 +c2 ≥ 43S .证法 2 :设ma、ha 分别为边AB上的中线长和高 ,易知ma=12 · 2b2 +2c2 -a2 ,ma≥ha.则有a2 +b2 +c2=12 [3a2 +( 2b2 +2c2 -a2 ) ]≥ 3a 2b2 +2c2 -a2 =2 3ama≥ 2 3aha=43S .因此 ,原不等式成立 .Weisenbck不等式的简证@张延卫$江苏省宿迁市… 相似文献
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Weisenb(o..)ck不等式: 设△ABC的三边长和面积分别为a、b、c和S.则有 a2+b2+c2≥4(3)S. 相似文献
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命题1 设三角形三边长分别为a、b、c,面积为S。则a~n b~n c~n≥2~n·3~((4-n)/4)S~(n/2)(n∈N),当且仅当a=b=c时等号成立。 这个命题是Weisenbck不等式a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)S的推广形式。 证明:当n=1时, 相似文献
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1971年 ,M .S .Klamkin建立了如下一个涉及三角形三边的不等式[1 ] :ab bc ca≥ 13(a b c) 1a 1b 1c . ( 1 )在文 [2 ]中 ,宿晓阳先生给出了Klamkin不等式的上界估计 相似文献
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正1919年,Weitezenbock提出了关于三角形的著名不等式:a2+b2+c2≥槡4 3 S,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.关于它的推广与加强被广泛研究,但大多数是增加不等式右边的项数,如著名的Finsler-Hadwiger不等式:a2+b2+c2≥槡4 3S+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.本文从新的角度给出它的一个有趣隔离如下:定理在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C的中线长为m a,m b,m c,内角平分线长为w a,w b,w c,高线长分别为h a,h b,h c,△ABC面积记为S,则 相似文献
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在计算三角形的面积或利用三角形的面积来计算其它图形的面积时,我们常常运用下列公式:S=(1/2)a·h_a;S=(1/2)absinC;S=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2);S=(abc)/4R.其中,a、b、c 是三角形的边,h_a 是边 a 上的高,s=(1/2)(a+b+c),R 是三角形外接圆的半径。然而,在平面几何的证题中,如遇到有关线段(或 相似文献
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Klamkin不等式的上界估计 总被引：5，自引：2，他引：3
1971年,M.S.Klamkin建立了如下一个涉及三角形三边的不等式: (a/b) (b/c) (c/a)≥(1/3)(a b c)[(1/a) (1/b) (1/c)]. (1) 今给出式(1)一个上界估计. 相似文献
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一个不等式的推广 总被引：3，自引：0，他引：3
文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n … 相似文献
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由三角形三边表示面积公式S=(p(p-a)(p-b)(p-c))~1/2(1),其中a,b,c是三角形三边的长,p=1/2(a+b+c),并记S为面积。 (1)式就是著名的秦九韶——海伦公式。我国宋秦九韶编撰的《数书九章》一书的卷五中曾载过“三斜求积”,它就是根据三角形三边求三角形的面积的问题。本文曰:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何”答曰:“面积二百一十五顷”如图1 相似文献
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Weisenb ck不等式 :设a、b、c和S分别表示△ABC的三边长和面积 ,则a2 +b2 +c2 ≥43S ,当且仅当a =b =c时等号成立 .文 [1 ]将该不等式进行了三维推广 ,得到关于四面体的两个不等式 .本文将对该不等式作进一步的三维推广 ,得出关于四面体的更一般的结论 .引理 设四面体的 6条棱长之积为P ,体积为V ,则P≥72V2 ,当且仅当四面体为正四面体时等号成立[2 ] .命题 1 设四面体ABCD的 6条棱长分别为a、b、c、d、e、f,体积为V .则对任意自然数n有an+bn+cn+dn+en+fn≥6(72V2 ) n6,①当且仅当四面体为正四面体时等号成立 .证明 :根据算术—几… 相似文献
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<正>本文从外森比克不等式出发,联系到贵刊已有结论,获得了一个较强的结论,并提出了一些待证明的不等式问题.1已有成果我们知道,著名的外森比克不等式(Weitzenbck’s inequality,1919)是有关三角形边长和面积的一个不等式:问题1在△ABC中,a、b、c为其三边长,△为其面积,则有 相似文献
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在△ABC中,设△ABC的面积为S,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有下列不等式链:a^2+b^2+c^2≥bc+ca+ab≥4√3S.①类比此不等式,文[1]得到一个类似不等式:a^2 sinA/2+b^2 sinB/2+c^2 sin C/2≥bcsin A/2+ca sin B/2+ab sin C/2≥2√3S. 相似文献
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大家知道,已知三角形的三条边的长a、b、c,应用海伦公式: S=(P(P-a)(P-b)(P-c))~(1/2) (Ⅰ) 其中P=1/2(a+b+c),就可以求出它的面积S。本文的目的,是试想把海伦公式的“构造”推广到四边形中去。换句话说,就是探讨在什 相似文献
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舒绍云 《中学数学研究(江西师大)》2004,(4):15-16
文[1]证明了如下不等式: 设三角形的三边长为a,b,c,p=1/2(a b c),则p-b/b c p-c/c a p-a/a b≥3/4(1)笔者将对(1)给予推广或加强. 相似文献