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1999年全国高考理科试题第20题:设复数z=3cosθ+i2sinθ,求函数y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.此题构题新颖别致,耐人寻味.它把复数的有关概念与三角知识、函数知识有机地结合起来,是一道考察学生的适应能力、等价转化能力、分析问题和解决问题能力及逻辑推理能力等综合素质的好题,真正体现了数学素质教育的思想.本文先给出它的多种解法,然后探索其构题背景,给出它的几何意义,并将其推广.1 从求复数z的辐角主值argz中寻找突破口解法1 由z=3cosθ+i2sinθ及… 相似文献
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刘康宁 《中学数学教学参考》1999,(8)
今年全国高考数学理科(第20)题是:设复数z=3cosθ+i·2sinθ.求函数y=θ-argz(0<θ<π2)的最大值以及对应的θ值.一、试题的背景揭示若令z=x+yi(x,y∈R),则有x=3cosθ,y=2sinθ.{(0<θ<π2)显然,复数... 相似文献
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嵇仲韶 《宁波大学学报(教育科学版)》2000,22(3)
sinnA+sinnB+sinnC的下界就一般△ABC来说是0,而本文主要就非钝角三角形情况,来探讨幻sinnA+sinnB+sinnC的最小值问题. 当n=1或2的时候,易证所求的下界为2,本文着重于n≥3的情况. 设y=sinnx,则y’=nsinn-1xcosx,再求导得: y”= n(n-1)sinn-2 xcosx-nsinnx =nsinn-2x[(n-1)cos2x-sin2x]. 当 tgx≤ y”≥0,此时y=sinnx是凸函数,应用有关凸函数性质可知:(1)当arctg … 相似文献
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《中学数学教学参考》1998,(12)
倒数方程的一种解法命题1x=cosθ±isinθ是方程x+1x=2cosθ的解.代入计算即知,且由棣莫佛定理知命题2若x+1x=2cosθ,则xn+1xn=2cosnθ(n∈Z).由此即知形如a0(xm+1xm)+a1(xm-1+1xm-1)+…+a... 相似文献
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许宝芬 《泉州师范学院学报》1999,(2)
首先给出单位根的一个重要性质:性质1设n∈N且n>1,εk=cos2kπn+isin2kπn(k=,0,1,2…,n-1)是n次单位根,则有εk=εn-k.(1)证事实上,有εk=cos2kπn-isin2kπn=cos2(n-k)πn+isin2(... 相似文献
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参考公式 三角函数和差化积公式 sinθ+sinψ=2sin θ+ψ/2 cos θ-ψ/2; sinθ-sinψ=2sin θ+ψ/2 sin θ-ψ/2; cosθ+cosψ=2cos θ+ψ/2 cos θ-ψ/2;cosθ-cosψ=-2sinθ+ψ/2 sin θ-ψ/2.台体的侧面积公式 S=1/2(C+C')l,其中C,C'分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长台体的体积公式 V台体=1/3(S'+√SS'+S)h其中S',S分别表示上,下底面积,h表示高。 相似文献
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构造二项方程xn=b巧解一类三角问题吴文惠陈叶柳(湖南省新化县六中417613)对于方程xn=b(n∈N且n≥2),设复数b的模和辐角分别为r和θ,则其n个不同的复根为:xk=nr(cosθ+2kπn+isinθ+2kπn).又记θk=θ+2kπn,... 相似文献
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巧用等比性质,可使许多问题变得简单易解,下面举例说明之.例1 已知a-cb=ca+b=ba,求ba的值.解 ∵a-cb=ca+b=ba,∴ ba=a-c+c+bb+a+b+a=a+b2(a+b)=12.例2 已知ctgα=2,求ctgα+2+cosα2+sinα的值.解 ∵ctgα1=21=cosαsinα,∴ctgα+2+cosα1+1+sinα=2,即ctgα+2+cosα2+sinα=2.例3 求n3n-9n+27n5n-15n+45n的值.解 ∵3n5n=-9n-15n=27n45n=3… 相似文献
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一种组合数计算的推广形式 总被引:1,自引:1,他引:0
若2是函数f(x)的周期,则有∑n2[]i=0f(x+i)n-ii=12[f(x)+f(x+1)]Fn+13[f(x)-f(x+I)]sinn+1π3,其中数列{Fn}为Fibonacci数列。 相似文献
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高敏 《中学数学教学参考》1999,(11)
定理 设n∈N,n>2,0<nx<π2,则sinnxsinx>n+3n.(1)证明:n=3时,应用sin3x=3sinx-4sin3x,0<x<π6,从而0<sin2x<14,即知(1)成立.设n=k时,(1)成立,sin(k+1)xsinx>k+1+3k+1sin2(k+1)x>(k+1+3k+1)sin2xsin2(k+1)-sin2x>(k+3k+1)sin2x1-cos(2k+2)x-1+cos2x2>(k+3k+1)sin2xsin(k+2)x·sinkx>(k+3k+1)si… 相似文献
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黄桂君 《中学数学教学参考》1997,(10)
关于DeMoivre定理的注记江苏省高邮中学黄桂君高中课本《代数》下册P.205讲述了棣美佛(Demoivre)定理:复数的n(n∈N)次幂的模等于这个复数的模的n次幂,它的辐角等于这个复数的辐角的n倍.用公式来表示,即[r(cosθ+isinθ)]... 相似文献
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在复数集中解方程是高考经常考查的内容之一,解复数方程通常有以下几种方法: 1.化“虚”为“实” 知识点:如果a、b、c、d R,那么 a+ bi= c+ dia=c, b=d. 例1已知zC,解方程3i=1+3i.(’92全国) 解设z=x+ yi(x,y R), 则x2+y2-3i(x-yi)=1+3i 即解得或 y= 0 y= 3 z1=-1或 z2=-1+3i. 2.两边取共轭 知识点:z1=z2z1=z2. 例2已知zC,解方程z-z=(常数、C,且1) 解…z-A。二。① ·”·Z-2Z=。,即z一人。=J② … 相似文献
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一道三角竞赛题的推广孙猛(山东省临沂市二中276001)1990年烟台市赛题中有这样一道试题:已知sinx+cosx=1,求证sinnx+cosnx=1.此题的一般形式如下:定理1已知sinx+cosx=a,a∈〔-2,2〕,则有sinnx+cosn... 相似文献
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陈智勇 《湖南师范大学教育科学学报》2000,(Z3)
复数与三角,平面几何,解析几何均有内在联系,运算复杂,对能力要求高,若能总结规律,掌握解复数问题的方法和技巧,定能左右逢源,使学习更上一层楼。 一、用习题中的重要结论解复数题。 复数习题中有许多重要结论,例如|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),若z∈c,且z≠±1,则是纯虚数|z|=1…若能灵活运用这些结论,会收到事半功倍之效。 例1:设z∈c,|z|=5,则|z+3-4i|2+|z-(3-4i)|2=? 解:|z+3-4i|2+ |z-3+4i|2=|z+(3-4i)… 相似文献
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三角函数的积化和差公式:sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)];cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)];cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)];sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] 相似文献
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我们把三边边长成等差数列的三角形叫做等差三角形.它有一个重要的性质如下:定理 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,则有tgA2tgC2=13.证明 由题意知 2b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,∴ 4sinA+C2cosA+C2=2sinA+C2cosA-C2.又∵ sinA+C2≠0,则有2cosA+C2=cosA-C2,即 2cosA2cosC2-2sinA2sinC2=cosA2cosC2+sinA2sinC2,∴ 3sinA2… 相似文献
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一个应用广泛的不等式 总被引:1,自引:1,他引:0
设x、y、z是任意实数,A+B+C=π,则x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.(*)证 注意到A+B+C=π,将不等式(*)移项、配方、整理,该不等式等价于(x-ycosC-zcosB)2+(ysinC-zsinB)2≥0.上面不等式显然成立,故不等式(*)成立.不等式(*)揭示了任意三个实数x、y、z与满足条件A+B+C=π的三个角A、B、C的余弦值之间的一个重要关系.在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明.例1 在△ABC… 相似文献