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1.
定理 过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )对称轴上一定点Ｍ(ｘ0 ,0 )作一条直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,若两交点的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,则ｙ1ｙ2 =- 2ｐｘ0 (定值 ) .证明 设直线ＡＢ方程为ｘ=ｍｙ+ｘ0 ,代入抛物线方程ｙ2 =2ｐｘ ,得ｙ2 2ｍｐｙ - 2ｐｘ2 =0 .因为ＡＢ的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,由韦达定理得 ｙ1ｙ2 =- 2ｐｘ0 .特别地 ,当Ｍ(ｐ2 ,0 )时 ,ｙ1ｙ2 =-ｐ2 .(高中《解析几何》课本 10 1页第 8题 )逆定理 一条直线和抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )相交 ,若两交点的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,且满足ｙ1ｙ2 =Ａ(定值 ) ,则这条直线恒过定点 (- Ａ2… 相似文献
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性质 1 如图 1,过点Ｑ( -ａ ,0 ) (ａ >0 )的直线ｌ与抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ( ｐ >0 )相交于Ｍ、Ｎ两点 ,Ｈ为 (ａ ,0 ) ,则∠ＭＨＱ =∠ＮＨｘ .证明 设Ｍ (ｘ1,ｙ1) ,Ｎ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ｌ:ｙ=ｋ(ｘ ａ) (ｋ≠ 0 ) ,与抛物线方程 ｙ2 =2 ｐｘ联立 ,消去 ｙ得ｋ2 ｘ2 ( 2ａｋ2 - 2 ｐ)ｘ ｋ2 ａ2 =0 . 由韦达定理知 ｘ1ｘ2 =ａ2 .又Ｍ、Ｎ在抛物线上 ,且在ｘ轴的同侧 ,∴ｙ1ｙ2 =4 ｐ2 ｘ1ｘ2 =2ａｐ ,ｘ1=ｙ212 ｐ,ｘ2 =ｙ222 ｐ.由ｘ1≠ｘ2 ,知ｘ1≠ａ ,ｘ2 ≠ａ ,故直线ＭＨ、ＮＨ的斜率存在 .又ｋＨＭ ｋＮＨ =ｙ1ｘ1-ａ ｙ2… 相似文献
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圆锥曲线的一个奇妙性质 总被引：1，自引：0，他引：1
熟知关于抛物线的一个命题 :过原点Ｏ任作抛物线ｙ2 =2ｐｘ的两条互相垂直的弦ＯＰ、ＯＱ ,则直线ＰＱ必过定点Ｍ1(2ｐ ,0 )。对于抛物线上的任一点Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )来说是否也有同样的性质 ?探求如下 :设Ｍ(ｙ202ｐ,ｙ0 ) ,Ｐ(ｙ212ｐ,ｙ1) ,Ｑ(ｙ222ｐ,ｙ2 ) ,ＭＰ⊥ＭＱ。则ＫＰＱ=2ｐｙ1+ｙ2,直线ＰＱ的方程为(ｙ1+ｙ2 ) (ｙ -ｙ1) =2ｐ(ｘ - ｙ212ｐ) ,即 2ｐｘ - (ｙ1+ｙ2 )ｙ +ｙ1ｙ2 =0 (1)又由ＭＰ⊥ＭＱ ,ｋＭＰ·ｋＭＱ=- 1,得 2ｐｙ0 +ｙ1· 2ｐｙ1+ｙ0=- 1∴ ｙ1ｙ2 =-ｙ0 (ｙ1+ｙ2 ) - 2ｐｘ0 - 4ｐ2 (2 )把 (2 )代入 (1)得… 相似文献
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许多资料上都有这样一习题 :命题 1 Ｏ为原点 ,ＯＡ、ＯＢ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ ( ｐ>0 )的两弦 ,若ＯＡ ⊥ＯＢ ,求证 :直线ＡＢ过定点Ｐ( 2 ｐ ,0 ) .证明略 .2 0 0 0年春季高考数学 2 2题就是由此题改编而成 .试题 设Ａ ,Ｂ为抛物线ｙ2 =4 ｐｘ ( ｐ>0 )上原点以外的两个动点 ,已知ＯＡ⊥ＯＢ ,ＯＭ ⊥ＡＢ于Ｍ ,求点Ｍ的轨迹方程 .略解 由命题 1知直线ＡＢ过定点Ｐ( 4 ｐ ,0 ) .∵ＯＭ ⊥ＡＢ ,即ＯＭ⊥ＰＭ .∴Ｍ点的轨迹是以ＯＰ为直径的圆 ,除去Ｏ点 ,即方程为(ｘ- 2 ｐ) 2 ｙ2 =4 ｐ2 (ｘ≠ 0 ) . 如果我们把命题 1中… 相似文献
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本文给出圆锥曲线弦的中点坐标与该弦的垂直平分线的截距之间的关系 ,并举例说明它的应用 .定理 设圆锥曲线中与坐标轴不平行的弦Ｐ1Ｐ2 的中点为Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 ) ,该弦的垂直平分线ｌ与ｘ轴的横截距为ａ ,与 ｙ轴的纵截距为ｂ .(1)对于椭圆或双曲线 ｘ2Ａ + ｙ2Ｂ =1 (Ａ >0 ,Ｂ >0或ＡＢ <0 ) ,有 ａ=Ａ-ＢＡ ｘ0 , ｂ=Ｂ-ＡＢ ｙ0 ;(2 ) 对于抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ (ｐ ≠ 0 ) ,有 ａ=ｘ0 + ｐ , ｂ=ｙ0ｐ(ｘ0 + ｐ) ;(3)对于抛物线ｘ2 =2 ｐｙ (ｐ≠ 0 ) ,有 ａ=ｘ0ｐ(ｙ0 + ｐ) , ｂ =ｙ0 + ｐ .证明 (1) 设Ｐ1(ｘ1… 相似文献
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在抛物线与直线的关系中 ,过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要 ,这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质 ,这些性质常常是高考命题的切入点 .本文对此作一些探讨 .不妨设抛物线方程为 ｙ2 =2 ｐｘ( ｐ>0 ) ,则焦点Ｆ ｐ2 ,0 ,准线ｌ的方程 :ｘ=-ｐ2 .过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ(ｘ1 ,ｙ1 )、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )两点 ,又作ＡＡ1 ⊥ｌ,ＢＢ1 ⊥ｌ,垂足分别为Ａ1 、Ｂ1 .ＡＢ⊥ｘ轴时 ,ｘ1 =ｘ2 =ｐ2 ,Ａ ｐ2 ,ｐ ,Ｂ ｐ2 ,-ｐ ,此时弦ＡＢ叫抛物线的通径 ,它的长｜ＡＢ｜ =2 ｐ .ＡＢ与ｘ轴不垂直也不平行时 ,设弦ＡＢ所在直线的斜率为… 相似文献
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杜纪强 《中学生数理化(高中版)》2003,(1):16-18
一、直接由题设得不等关系 ,求得结果若问题中给出了某相关参数的取值范围 ,而所求参数依赖于已知参数 ,则可先建立起它们之间的关系 ,再利用已知参数的范围求得未知参数的范围 ,从而达到解决问题的目的 .例 1 已知双曲线Ｃ :ｘ2 + 1-ｔ2ｔ2 ｙ2 =1(ｔ>1)的右支分别与ｘ轴及直线ｘ + ｙ =0相交于Ａ、Ｂ两点 .以Ａ为焦点 ,对称轴是ｘ轴且开口向左的抛物线经过点Ｂ ,设抛物线的顶点为Ｍ .求当双曲线的一条渐近线的斜率在 415 ,+∞ 上变化时 ,直线ＢＭ的斜率的变化范围 .解 :由ｙ=-ｘ ,ｘ2 + 1-ｔ2ｔ2 ｙ2 =1,得Ｂ(ｔ,-ｔ) .设Ｍ (ｍ ,0 ) ,由… 相似文献
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笔者在研究抛物线的有关问题时 ,意外地得到了抛物线切线的几个性质及其判定方法 ,现以定理的形式介绍如下 :定理 1 Ｐ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ上一动点 ,Ｍ是点Ｐ在准线上的射影 ,Ｆ为焦点 .过Ｐ点的直线ｌ是该抛物线切线的充要条件是直线ｌ垂直于直线ＭＦ . 图 1说明 设Ｐ点坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,则Ｍ(-ｐ2 ,ｙ0 ) ,Ｆ(ｐ2 ,0 ) ,当Ｐ点为抛物线顶点 ,即 ｙ0=0时 ,定理显然成立 ;当Ｐ点不为抛物线顶点 ,即 ｙ0 ≠ 0时 ,充分性 由题设知直线ＭＦ的斜率 ｋＭＦ =ｙ0- ｐ2 - ｐ2=- ｙ0ｐ.因直线ｌ⊥ＭＦ ,且Ｐ∈ｌ,由直线方程的… 相似文献
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今年高考“3 Ｘ”型数学试卷理科第 1 9题(文科第 2 0题 )是 :设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ ∥ｘ轴 ,证明 :直线ＡＣ经过原点 .一、试题的背景揭示该试题是《平面解析几何》(全一册 ,必修 )第 1 0 0页习题八的第 8题 :“过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为ｙ1 ,ｙ2 ,求证 :ｙ1 ｙ2=-ｐ2 ”的改变题 .二、过抛物线的焦点弦的性质设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,若… 相似文献
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在解析几何中当直线过定点 (ｘ0 ,ｙ0 )时 ,学生在解题时往往只会机械地套用点斜式 ,将该直线方程设为ｙ- ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 ) ,这当然没有错 ,但有时会出现下列情况 :(1)容易忽视对斜率不存在的情形 ;(2 )运算较繁 ,有时还会陷入僵局 .如果当我们知道这样的直线斜率不为零时 ,也可将其方程设为ｘ -ｘ0 =ｍ(ｙ- ｙ0 ) .这样不仅可以避免讨论直线斜率存在性 ,而且有时可大大简化运算 .例 1 过抛物线ｙ2 =2 ｐｘ的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为 ｙ1,ｙ2 ,求证 :ｙ1·ｙ2 =- ｐ2 .解 显然过焦点的直线的倾斜角不为零 ,故… 相似文献
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蒋祝权 《中学数学教学参考》2001,(6)
定理 设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′ ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′… 相似文献
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闫敏伦 《连云港师范高等专科学校学报》2000,(3)
在平面仿射变换里 ,对平面内任一点Ｍ(ｘ ,ｙ)施行变换ｘ′ =ｘｙ′ =μｙ ( μ >0 ,且 μ≠ 1) ( 1)把点Ｍ压缩到另一点Ｍ′(ｘ′ ,ｙ′)的仿射变换 ,称之为压缩变换 ,常数 μ称为压缩系数。一、作为仿射变换特例 ,压缩变换除了具有仿射变换的性质以外 ,还具有如下性质 :性质 1:若直线ｌ的斜率为ｋ ,经压缩变换ｘ′ =ｘｙ′ =μｙ( μ >0 ,且 μ≠ 1)后 ,它的象直线ｌ′的斜率ｋ′ =μｋ。证明 :设Ａ(ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )是直线ｌ上两点 ,Ａ′(ｘ′1,ｙ′1)、Ｂ′(ｘ′2 ,ｙ′2 )及ｌ′分别是Ａ、Ｂ及ｌ的象。则ｘ′1=ｘ1,ｙ′… 相似文献
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本刊 2 0 0 1年第 5期文 [1]给出了抛物线的两条互逆性质 ,读后颇受启发 ,但尚觉意犹未尽 .我们自然要问 :椭圆、双曲线有没有类似的性质呢 ?我们把文 [1]关于抛物线的两条性质及推论抄录如下 : 图 1性质 1.1 过点Ｑ(-ａ ,0 ) (ａ>0 )的直线与抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )相交于Ｍ、Ｎ两点 ,Ｈ为 (ａ ,0 ) ,则∠ＭＨＱ =∠ＮＨｘ .性质 1.2 Ｍ、Ｎ是抛物线ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )上非顶点且位于ｘ轴同侧的两点 ,Ｈ为 (ａ ,0 ) (ａ>0 ) ,Ｑ为 (-ａ ,0 ) ,若∠ＭＨＱ =∠ＮＨｘ ,则直线ＭＮ交ｘ轴于点Ｑ .当性质 1.1、1.2中的Ｍ、Ｎ两点… 相似文献
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有关圆锥曲线弦的二端点与原点连线的斜率问题 ,涉及解析几何中许多重要的知识点 ,在各种考试的试题中经常出现 .若用常规方法解决 ,运算量大、过程冗繁 .本文通过实例介绍这类问题的一种简捷解法 .例 1 (1993年上海市高考试题 )抛物线 ｙ=- 12 ｘ2 与过点Ｍ(0 ,- 1)的直线ｌ相交于Ａ、Ｂ两点 ,Ｏ为坐标原点 .若直线ＯＡ与ＯＢ的斜率之和为1,求直线ｌ的方程 .解 设直线ｌ的方程为 ｙ =ｋｘ- 1,即 1=ｋｘ-ｙ .代入抛物线方程 2 ｙ· 1+ｘ2 =0得 2ｙ(ｋｘ- ｙ) +ｘ2 =0 .整理后两边同时除以ｘ2 ,有 2 (ｙｘ) 2 - 2ｋ· (ｙｘ) - … 相似文献
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邵剑波 《中学数学教学参考》2002,(4)
柯西不等式法 Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为定点 ,Ｑ(ｘ ,ｙ)为直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ａ2 Ｂ2 ≠ 0 )上的动点 ,则Ａ(ｘ -ｘ0 ) Ｂ(ｙ -ｙ0 ) =-(Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ) .由柯西不等式 ,则(Ａ2 Ｂ2 ) |ＰＱ|2 =(Ａ2 Ｂ2 ) [(ｘ -ｘ0 ) 2 (ｙ -ｙ0 ) 2 ]≥ [Ａ(ｘ -ｘ0 ) Ｂ(ｙ-ｙ0 ) ]2 相似文献
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1999年第 5期《数学教学研究》刊登了袁良佐老师“双曲线中点弦性质的应用”和王景斌老师“抛物线弦的中点问题”两篇文章 ,读后颇有启发 .本文给出椭圆中点弦的一个性质 ,并举例说明它的应用 .性质 设Ａ、Ｂ是椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上两点 ,Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是弦ＡＢ的中点 ,则有ｋＡＢ·ｋＯＰ=- ｂ2ａ2 .证明 设Ａ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )是椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2= 1上两点 ,则有ｘ21 ａ2 ｙ21 ｂ2 =1, ｘ22ａ2 ｙ22ｂ2 =1,两式相减 ,得 ｘ21 -ｘ22ａ2 ｙ21 - ｙ22ｂ2 =0 ,即 (ｘ1 ｘ2 ) (ｘ1 -ｘ2 )ａ2 … 相似文献
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《中学数学杂志》2 0 0 1年第 6期《曲线的运动与变换》一文中有一个结论是 :“函数ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ =ｆ(ωｘ Ａ)与ｙ=ｆ(Ｂ-ωｘ)的图象关于直线ｘ =Ｂ-Ａ2 对称” .我认为 ,函数 ｙ= ｆ(ωｘ Ａ)与 ｙ =ｆ(Ｂ -ωｘ)的图象关于直线ｘ= Ｂ-Ａ2ω 对称 .事实上 ,若点Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )是函数 ｙ =ｆ(ωｘ Ａ)图象上任意一点 ,则 ｙ0 =ｆ(ωｘ0 Ａ) .设点Ｍ关于直线ｘ =Ｂ-Ａ2ω 的对称点为Ｎ(ｘ′,ｙ′) ,则有ｘ0 ｘ′2 =Ｂ-Ａ2ωｙ0 =ｙ′ ｘ′=Ｂ -Ａω -ｘ0 ,ｙ′=ｙ0因为 ｆ(Ｂ -ωｘ′) =ｆ[Ｂ-ω(Ｂ-Ａω -ｘ0 ) ] =… 相似文献
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直线方程x0x／a^2＋y0y／b^2=1的几何意义 总被引：6，自引：0，他引：6
何才富 《中学数学教学参考》2000,(4):54-55
文 [1]给出了直线方程ｘ0 ｘ ｙ0 ｙ =ｒ2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 ｘ0 ｘａ2 ｙ0 ｙｂ2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .设切线的斜率为ｋ ,则其方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )或ｙ=ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 .将ｙ的表达式代入椭圆方程 ,得ｘ2ａ2 [ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 ] 2ｂ2 =1.化简并整理为ｘ的二次方程就是(ｂ2 ａ2 ｋ2 )ｘ2 - 2ａ2 ｋ(ｋｘ0 - ｙ0 )ｘ ａ2 (ｋｘ0 -ｙ0 ) 2 -ａ2 ｂ2 =0 . 由于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是切点 ,所以ｘ0 是这个方程的二重实… 相似文献
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函数 ｙ =ｘ4 +ｐｘ2 +ｑ的性质及应用在各类考卷中经常出现 ,笔者在此给出其应用较为广泛的两个性质———单调性和恒成立性。性质 1 对于函数ｙ =ｘ4 +ｐｘ2 +ｑ (ｐ、ｑ∈Ｒ) ,(Ⅰ ) ｐ≥ 0时 ,单调减区间为 (-∞ ,0 ];单调增区间为 (0 ,+∞ )。(Ⅱ ) ｐ <0时 ,单调减区间为 (-∞ ,--ｐ/2 ]和 [0 ,-ｐ/2 ];单调增区间为 [--ｐ/2 ,0 ]和[-ｐ/2 ,+∞ )。下面用复合函数单调性理论来证明 (Ⅱ )。令ｕ =ｘ2 ,则 ｙ =ｕ2 +ｐｕ +ｑ ,显然ｕ =ｘ2 在ｘ∈ (-∞ ,0 ]上是减函数 ,在ｘ∈(0 ,+∞ )上是增函数 ,ｙ=ｕ2 +ｐｕ +ｑ在ｕ∈ (-∞ ,-ｐ… 相似文献