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1.
与自然数ｎ有关的恒等式ｈ(ｎ) =ｇ(ｎ)的论证通常采用数学归纳法 .但若构造函数ｆ(ｎ) =ｈ(ｎ) -ｇ(ｎ) ,再通过求ｆ(ｎ 1 ) -ｆ(ｎ)的差而获得ｆ(ｎ 1 ) =ｆ(ｎ) =ｆ(1 ) =0 ,就能得到另一种比较好的证明方法 .例 1 已知数列 {ａｎ}的通项公式满足 :ａ1 =ｂ ,ａｎ 1 =ｃａｎ ｄ . (ｃ≠ 0 ,ｃ≠ 1 )求证 :这个数列的通项公式是ａｎ =ｂｃｎ (ｄ-ｂ)ｃｎ- 1 -ｄｃ-1 .证明 :构造函数ｆ(ｎ) =ｂｃｎ (ｄ -ｂ)ｃｎ- 1 -ｄｃ-1 -ａｎ,则ｆ(ｎ 1 ) =ｂｃｎ 1 (ｄ-ｂ)ｃｎ -ｄｃ -1 -ａｎ 1 .∵ａｎ 1 =ｃａｎ ｄ ,∴ｆ(ｎ 1 ) … 相似文献
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蔡国瑛 《中学数学教学参考》2000,(10)
证明与自然数ｎ有关的不等式 ,一般采用数学归纳法 (包括文 [1]、文 [2 ]技巧 )就可获证 ,但对于某些不等式 (如本文例题 ) ,直接用这种方法是很难奏效的 ,故称其为“受阻”型不等式 .为此 ,本文作如下探讨 .定理 1 关于自然数ｎ的不等式Ｓｎ<ｂ(ｎ∈Ｎ ,ｂ为常数 )成立的充要条件是 ,存在 ｆ(ｎ) ( >0 ) ,使Ｓｎ≤ｂ - ｆ(ｎ) .证明 :充分性 .∵ｆ(ｎ) >0 ,∴ｂ - ｆ(ｎ) <ｂ ,又Ｓｎ≤ｂ- ｆ(ｎ) ,∴Ｓｎ<ｂ .必要性 .若Ｓｎ<ｂ ,则由实数的连续性 ,在区间[Ｓｎ,ｂ)内必存在数 ,事实上 ,即使Ｓｎ 随ｎ的取值无限接近于ｂ ,也总存在比Ｓｎ… 相似文献
3.
黄光前 《中学数学教学参考》2000,(7)
杨之在文 [1 ]中提出问题 (ｗｈｃ1 60 ) :设 ｐ1,… ,ｐｎ是ｎ个不同奇素数 ,证明或否定 ｎｉ=11ｐｉ- ｎｉ=11ｐｉ=ｆ(ｐ)不是自然数 .本文肯定地解决了这个问题 ,即证明了定理 若 ｐ1,… ,ｐｎ 是互不相同的奇素数 ,则ｆ(ｐ) 不是自然数 .引理 1 [2 ] 在定理条件下 , ｎｉ=11ｐｉ可惟一地表示为ｎ个分别以 ｐ1,… ,ｐｎ 为分母的正的既约真分数与一个整数之和 .证明 :设Ａｉ=ｐ1ｐ2 … ｐｎｐｉ,ｉ =1 ,… ,ｎ ,则 (Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｎ) =1 ,由方程ａ1ｘ1 … ａｎｘｎ=ｋ有整数解的充要条件及推论[2 ] 知 ,存在整数ｃ1,… ,ｃｎ 使Ａ1… 相似文献
4.
贵刊 2 0 0 0年第 5期的文 [1],给出了二个定理 ,运用于证明一类与自然数有关的命题 ,是一种较好的方法 ,读后颇受启发 .本文给出一种不借助于辅助定理 ,直接证明这类命题的方法 ,操作起来更容易 .例 1 求证 :1 11 2 … 11 2 … ｎ =2 - 2ｎ 1.证明 令ｆ(ｎ) =1 11 2 … 11 2 … ｎ,则 ｆ(ｎ) - ｆ(ｎ - 1) =11 2 … ｎ =2ｎ(ｎ 1) =2 (1ｎ - 1ｎ 1) (ｎ≥ 2 ) .于是 ｆ(2 ) -ｆ(1) =2 (12 - 13) ,ｆ(3) - ｆ(2 ) =2 (13- 14) ,……ｆ(ｎ) - ｆ(ｎ - 1) =2 (1ｎ - 1ｎ 1) ,累加 ,得 ｆ(ｎ) - ｆ(… 相似文献
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根据周期函数的定义 ,我们不难得到它的几个判定方法 .定理 1 设ａ、Ｔ是常数且Ｔ ≠ 0 ,若 ｆ(ｘ)对定义域内的任意一个ｘ ,满足 ｆ(ｘ+Ｔ) =ａ- ｆ(ｘ) ,则 ｆ(ｘ)是周期函数且它的周期为 2Ｔ .证明 ｆ(ｘ + 2Ｔ) =ｆ[(ｘ+Ｔ) +Ｔ]=ａ-Ｔ(ｘ+Ｔ) =ａ- [ａ-ｆ(ｘ) ]=ｆ(ｘ) ,即 ｆ(ｘ+ 2Ｔ)=ｆ(ｘ) .由周期函数的定义可知 ,ｆ(ｘ)是一个以 2Ｔ为周期的函数 .定理 2 设Ｔ是常数Ｔ ≠ 0 ,若 ｆ(ｘ)对定义域内的任意一个ｘ ,满足 ｆ(ｘ+Ｔ) =ｆ(ｘ-Ｔ) ,则ｆ(ｘ)是周期函数且它的周期为 2Ｔ .证明 ｆ(ｘ+ 2Ｔ) =ｆ[(ｘ+Ｔ) +Ｔ]=ｆ[(ｘ+Ｔ… 相似文献
6.
与自然数n有关的不等式的证明通常采用数学归纳法。这里我们给出可与数学归纳法相媲美的新方法——自然数函数单调性法。定理若n、n_0∈N,且n>n_0,f(n)是自然数n的单调递增(或单调递减)函数且f(n_0)≥m(或≤M),则f(n)≥m(或≤M)。由函数的单调性知上面的定理是显然的,下面举例说明它的应用。例1 求证:当n是不小于3的整数时,有n~(n+1)>(n+1)~n。证明设f(n)=((n+1)~n)/(n~(n+1)), 相似文献
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在数学归纳法的教学中 ,若直接采用如下的归纳公理 :自然数集合Ｎ的任何一个子集 ,若含有数 1 (元之素 ) ,且在含有任何一个数ａ的同时含有它的后继数ａ′,则它与Ｎ相同 .然后再给出数学归纳法的证题法则 ,学生是难以理解与接受的 .所以在几乎所有的关于数学归纳法的教材中 ,都是采用直接给出证明法则的形式 ,即 :若证明一个关于自然数的命题 ,我们先证明它对ｎ =ｎ0 (例如ｎ0=1 )时成立 ,然后假设ｎ =ｋ时命题成立 ,再证明ｎ =ｋ +1时命题也成立 ,就可断定这个命题对于取第一个值ｎ0 后面的所有自然数也都成立 .但这种叙述正如Ｇ·波利亚所… 相似文献
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1 数学归纳法所谓“数学归纳法”是证明一个与自然数ｎ有关的数学命题时 ,所采取的一种证明方法。其具体步骤 :( 1)验证ｎ取第一个值ｎ0 时 (如ｎ0 =1、2或 3)命题成立 ;( 2 )假设ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,并且在此假设条件下 ,当ｎ =ｋ +1时结论也正确。则原命题正确。这种方法我们称之为数学归纳法。如证明等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ证明 :( 1)当ｎ =1时左边 =ａ1右边 =ａ1+( 1- 1)ｄ =ａ1等式成立( 2 )假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ 1)时ａｎ=ａ1+(ｋ - 1)ｄ则当ｎ =ｋ +1时ａｋ +1=ａｋ+ｄ =ａ1+(ｋ - 1)ｄ +ｄ=… 相似文献
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今年全国高考数学最后一题〔理 (2 2 )题〕是 :设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ=1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈ 0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 )·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(Ⅰ )求ｆ 12 及ｆ 14;(Ⅱ )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(Ⅲ )记ａｎ =ｆ 2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .这是一道涉及“函数方程”———含有未知函数的等式的试题〔见题中条件ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ×ｆ(ｘ2 )〕 .此类题目在近些年全国高考中尚不多见 ,但在各类竞赛中却屡见不鲜 .寻求函数方程的解或证明函数方程无解叫做解函数方程 .下面… 相似文献
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不等式的证明是中学数学习题的一大类型,我们知道,与自然数n有关的不等式的证明,其常规解题思路是利用数学归纳法,笔者试图通过下述定理来证明一些与自然数n有关的不等式的问题. 定理若f(n)与g(n)都是自然数集上的函数,则不等式f(n)>g(n)对一切自然数n≥a成立的充分条件是: 相似文献
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韩永强 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z1)
由ｆ(ｍ+ｘ)=±ｆ(ｎ±ｘ)来判断抽象函数ｙ=ｆ(ｘ)的周期性或对称性的情况,这类问题可说是随处可见.那么,孰断周期,孰断对称?下面总结四种类型:类型一:由“ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)”可判断周期性定理1 定义在Ｒ上的函数ｙ=ｆ(ｘ),对于任给的ｘ∈Ｒ,若有ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)成立(其中ｍ、ｎ为常数,且ｍ≠ｎ),则函数ｙ=ｆ(ｘ)为周期函数,Ｔ=ｎ-ｍ为函数ｆ(ｘ)的一个周期(也可以说Ｔ=ｍ-ｎ).分析:此类情况属显性周期,即由周期函数定义可迅速获得上述结论.证明:由已知ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)对于ｘ∈Ｒ均成立,故ｆ[(ｎ-ｍ)+ｘ]=ｆ[ｎ+(ｘ-ｍ)]=ｆ[ｍ… 相似文献
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利用数学归纳法来证明某些与自然数ｎ有关的不等式 ,证ｋ到 (ｋ 1)这一过程是许多同学感到困难的一步 .为此 ,笔者介绍一种“凑配分裂”的转化策略 ,以解决这一难点 .1 凑配从归纳假设ｎ=ｋ的不等式出发 ,凑配出待证ｎ=ｋ 1时的不等式的某一端 ,再结合不等式性质将问题有效转化 .例 1 (《代数》课本下册 12 3页例 5)已知ｘ >- 1,且ｘ≠ 0 ,ｎ ∈Ｎ ,且ｎ≥ 2 ,求证 ( 1 ｘ) ｎ >1 ｎｘ .证明 (ｉ)当ｎ=2时 ,左边 =( 1 ｘ) 2 =1 2ｘ ｘ2 ,右边 =1 2ｘ ,因为ｘ2 >0 ,所以原不等式成立 .(ｉｉ)假设不等式当ｎ =ｋ(ｋ≥ 2 )时成立 ,就是( … 相似文献
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众所周知 ,若ａ≥ｂ且ａ≤ｂ ,则ａ=ｂ .利用这一结论常能解决一些数学问题 .下面是一道 2 0 0 2年全国联赛试题 :已知 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,ｆ( 1 ) =1 ,且对任意ｘ∈Ｒ都有ｆ(ｘ+ 5 )≥ ｆ(ｘ) + 5 ,ｆ(ｘ+ 1 )≤ ｆ(ｘ) + 1 .若 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,则ｇ( 2 0 0 2 ) =.解 由 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,得ｇ(ｘ+ 5 ) =ｆ(ｘ + 5 ) + 1 -ｘ-5=ｆ(ｘ + 5 ) -ｘ-4≥ ｆ(ｘ) + 5 -ｘ -4=ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) ,ｇ(ｘ + 1 ) =ｆ(ｘ+ 1 ) + 1 -ｘ -1=ｆ(ｘ+ 1 ) -ｘ≤ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) .∴ｇ(ｘ) ≤ｇ(ｘ+ 5 )≤ ｇ(ｘ + 4)… 相似文献
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梁卷明 《中学数学教学参考》2001,(3)
等差数列的一个性质定理 设 {ｆ(ｎ) }为等差数列 ,ｎｉ,ｍｉ∈Ｎ ,ｉ =1,… ,ｋ.若∑ｋｉ =1ｎｉ=∑ｋｉ=1ｍｉ,则∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) .证明 :设 {ｆ(ｎ) }的公差为ｄ ,则ｆ(ｎｉ) =ｆ(ｍｉ) (ｎｉ-ｍｉ)ｄ .于是∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =∑ｋｉ=1ｆ(ｍｉ) ∑ｋｉ=1(ｎｉ-ｍｉ)ｄ=∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) ｄ(∑ｋｉ =1ｎｉ-∑ｋｉ=1ｍｉ)=∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) .推论 1 {ｆ(ｎ) }为等差数列 ,ｎｉ∈Ｎ ,且∑ｋｉ=1ｎｉ=ｋｍ ,则∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =ｋｆ(ｍ) .推论 2 {ａｎ}是等差数列 ,公差为ｄ ,Ｓ-ｎ 表示前ｎ个奇数项和 ,Ｓ … 相似文献
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20 0 1年全国高考理工农医类的压轴题是一个典型的函数问题 ,对这一试题的解答没有特别之处 ,但笔者认为 ,发散探究这一试题却妙趣横生 .试题 :设ｆ(ｘ)是在定义Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ =1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(1 )求ｆ 12 及ｆ 14;(2 )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(3)记ａｎ =ｆ2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .下面对该题进行发散探究 .一、题设与结论的分析1 .题设分析本题题设包括 :(1 )函数的奇偶性 ;(2 )函数的对称性 ;(3)某区间上的函数模型及确定该函… 相似文献
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王炳忠 《中学数学教学参考》2000,(7):33-34
函数是贯穿于高中数学全课程的主干 ,也是高考数学命题的主要内容 .许多问题 ,如能用函数的观点去认识和处理 ,将更为深刻 ,运用起来更为灵活 .本文由高考解题浅谈函数思想 ,以提高对函数思想的认识和运用 .一、什么是函数思想请看下面的试题 :试题 1 :设 ｆ(ｘ) =ｌｇ1 2 ｘ … (ｎ -1 ) ｘ ａｎｘｎ ,其中ａ是实数 ,ｎ是任意给定的自然数 ,且ｎ≥ 2 .如果 ｆ(ｘ)在ｘ∈ (-∞ ,1 ]时有意义 ,求ａ的取值范围 .(1 990年高考试题 )分析 :如果 ｆ(ｘ)在ｘ∈ (-∞ ,1 ]时有意义 ,则1ｎ[1 2 ｘ … (ｎ -1 ) ｘ ａｎｘ]>0 1 2 ｘ … (ｎ -1 … 相似文献
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贵刊文 [1]、[2 ]实际上探讨了一类可用数学归纳法证明的与自然数有关的命题的非数学归纳法的证明方法 ,文 [1]给出了二个定理 ,方法虽好 ,但却增加了记忆负担 ;文 [2 ]给出了不借助于辅助定理 ,直接证明的方法 ,虽然操作起来更容易 ,但其关键步骤(即构造相关的不等式或等式 )不易想到 .受文 [1]、[2 ]的启发 ,笔者以这类问题的数学归纳法证明中探寻出一种非数学归纳法的证明方法思路更清晰 ,操作更容易 .例 1 求证1 11 2 … 11 2 … ｎ =2 - 2ｎ 1. 分析 用数学归纳法证明该式时 ,在第二步 ,假设对ｎ- 1时等式成立 ,即等式 1 11 2… 相似文献
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证明形如ｂ1+ｂ2 +… +ｂｎ ≥ｆ(ｎ)和ｂ1·ｂ2 ·… ·ｂｎ ≥ｆ(ｎ)的不等式 (等式 ) ,常见的一般方法是数学归纳法 .此外 ,在某些有关中学数学教学报刊杂志上还能见到放缩法、利用函数的单调性方法等 .在此 ,笔者提供一种所用知识简单、应用却相当广泛的新证法 .首先给出数列的两个浅显的性质 ,并作为定理使用 .根据同向不等式相加不等式的方向不变 ,易得 :定理 1 两个数列 {ａｎ}、{ｂｎ}的前ｎ项和分别为Ｓｎ、Ｓ′ｎ.若ａｎ ≥ｂｎ,则Ｓｎ ≥Ｓｎ′ ;若ａｎ ≤ｂｎ,则Ｓｎ ≤Ｓｎ′ .根据同向正不等式相乘不等式的方向不变 ,易得 :… 相似文献
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一种组合数计算的推广形式 总被引：1，自引：1，他引：0
若２是函数ｆ（ｘ）的周期,则有∑ｎ２［］ｉ＝０ｆ（ｘ＋ｉ）ｎ－ｉｉ＝１２［ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋１）］Ｆｎ＋１３［ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ＋Ｉ）］ｓｉｎｎ＋１π３,其中数列｛Ｆｎ｝为Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列。 相似文献
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由奇函数、偶函数的图象定理知 :若ｆ( -ｘ) =-ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于原点对称 ;若 ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ) ,则函数 ｆ(ｘ)的图象关于 ｙ轴对称 .下面我们研究此结论的推广情况 .1 若 ｆ(ａ -ｘ) =-ｆ(ａ+ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ ,0 )对称 ;2 若 ｆ( -ｘ) =2ａ -ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 ( 0 ,ａ)对称 ;3 若ｆ(ａ-ｘ) =ｆ(ａ +ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =ａ对称证明 1 由 ｆ(ａ-ｘ) =-ｆ(ａ +ｘ)得 ,函数ｆ(ａ+ｘ)是奇函数 ,从而函数 ｆ(ａ+ｘ)的图象关于原点对称 ,由此得函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ … 相似文献