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1.
《湖南教育》2007,(4):45-46
85.设正数a,b,c满足a b c=3,求证:ab 1 bc 1 ca 1 1ab b1c c1a≥6.证明:首先证明下面的命题:设t>0,p,q∈R,且p·q>0,则1 tp q≥tp tq,当且仅当t=1时,等号成立.因为1 tp q≥tp tq#1 tp q-tp-tq≥0#1 tp·tq-tp-tq≥0#(tp-1)(tq-1)≥0.因为t>0,p,q∈R,且p·q>0,所以tp-1与tq-1同号,所以(tp-1)(tq-1)≥0,即要证的不等式1 tp q≥tp tq成立.在不等式1 tp q≥tp tq中,令q=p 1,则有1 t2p 1≥tp 1 tp(p>0,或p<-1),两端同除以tp得tp 1 t1p≥t 1.所以ab 1 a1b≥a 1,bc 1 b1c≥b 1,ca 1 c1a≥c 1,这三个同向不等式相加并将a b c=3代入得ab 1 bc 1 ca 1… 相似文献
2.
1逆向思维的教材原型题与近年高考题
例1 (新课标选修4-5第25页习题
2.2第2题)已知a,b,c,∈R+,用综合法证:
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.
证明 (ab十a+b+1)(ab+ac+bc+c2)=(a+1) (b+1)(a+c) (b+c)≥2√a×2b×2√ac×2√bc=16abc.
例2 (2010年重庆文科第10题)若a,b,c＞0,且a2+2ab+2ac+4bc=12,则ab+c的最小值是(). 相似文献
3.
一类三元分式不等式及其证明 总被引：1，自引：1，他引：0
宋庆 《中学数学研究(江西师大)》2008,(10)
本文旨在介绍几个新颖有趣的三元分式不等式,并给出它们的巧妙证明.例1已知a,b,c为满足abc=1的正数,求证:1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)≤1.证明:因bc ca ab≥3(abc)~(1/3)=3,故1-(1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)) =1-(bc ca ab 4(a b c) 12)/((2 a)(2 b)(2 c)) 相似文献
4.
<正>命题在△ABC中,a、b、c分别为其三边长,R、r分别为其外接圆和内切圆半径,则有a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc≥4-2r()Rabc≥3abc.证明先证明a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc.由于a、b、c是三角形的三边长,所以有a+b>c,即a+b-c>0,同理有b+c-a>0,c+a-b 相似文献
5.
1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/44√ a+√bc/44√ b+√ca/44√c=8√a3b4/2+8√b3c4/2+8√c3a4/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2. 相似文献
6.
王盛裕 《数理天地(初中版)》2004,(8)
1.已知abc≠0,且a b c=0,则代数式a2/bc b2/ca c2/ab的值是( )(A)3. (B)2. (C)1. (D)0.2.已知户,q均为质数,且满足5p2 3q=59,则以p 3,1-P q,2p q-4为边长的三角形是( ) 相似文献
7.
8.
常媛媛 《中学数学研究(江西师大)》2015,(8)
第三届陈省身杯数学奥林匹克第6题:
已知实数a,b,c＞1,且a+b+c =9,试证明:√ab+bc+ca≤√a+√b+√c.
贵刊2014年第12期文“对一道奥林匹克数学竞赛试题的证明及思考”中,把这个不等式加强为:正实数a,b,c≥k,且a+b+c=9,试证明:√ab+bc+ca≤√a+√b+√c该文验证了k=1/2的正确性,但是文末指出最小的k值如何求解呢?笔者试图找出最小的k值. 相似文献
9.
第一试 一、选择题(满分42分,每小题7分)1 .已知abc≠0 ,且a b c=0 ,则代数式a2bc b2ca c2ab的值是( ) .A .3 B .2 C .1 D .0标准答案:原式=-(b c)·abc -(c a)·bca -(a b)·cab =…=3 ,选A .别解1 :∵a3 b3 c3-3abc =…=(a b c)(a2 b2 c2 -ab-bc-ca) =0 ,∴a3 b3 c3=3abc.∴原式=a3 b3 c3abc =3 .别解2 :取a =b=1 ,c=-2 .下略.2 .已知p、q均为质数,且满足5 p2 3 q =5 9,则以p 3 ,1 -p q ,2 p q -4为边长的三角形是( ) .A .锐角三角形 B .直角三角形C .钝角三角形 D .等腰三角形标准答案1 :… 相似文献
10.
题目设a、b、c〉0，且ab＋bc＋ca=1．证明：不等式^3√1/a＋6b＋^3√1/b＋6c＋^3√1/c＋6a≤1/abc.[第一段] 相似文献
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12.
第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2, 相似文献
13.
欧小平 《郴州师范高等专科学校学报》2000,21(4):102-104
本文推广了如下两上关于对称式的不等式：x^2y/z y^2x/y≥x^2 y^2 z^2(x,y,z∈R，x≥y≥z＞0），√ab(a b) √bc(b c) √ca(c a)≤3/2√(a b)(b c)(c a),(a,b,c∈R^*) 相似文献
14.
杨志明 《中学数学研究(江西师大)》2013,(10):22-24
2013年OlympicRevenge 第3题为:
已知a,b,c,d是满足ab+ ac+ad+ bc+ bd+ cd
=6的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1+1/d2+1≥2.(1)
文[1]退化思考得到
命题4 已知a,b,c是满足ab+bc+ca =3的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1≥3/2.(2)
在(2)式中令a=√tanA/2,b=√3tanB/2,c=√3tanC/2,则命题4可变为: 相似文献
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一道IMO预选题的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
第37届(1996年)IMO中有如下一道预选题:若a,b,c,∈(0,+∞),且abc＝1.试证: (ab)/(a5+b5+ab)+(bc)/(b5+c5+bc)+(ca)/(c5+a5+ca)≤1. 相似文献
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《中学数学教学》2 0 0 2年第 6期有奖解题擂台( 5 8)中 ,杨先义老师提出如下猜想 :设a >0 ,b >0 ,c>0 ,a +b +c=1 ,则1b+c2 +1c +a2 +1a +b2 ≥2 74①ab +c2 +bc +a2 +ca +b2 ≥ 94②本文指出 ,猜想不等式①不成立 ,不等式②成立。在①式中 ,令a =0 6,b=0 3 6,c =0 0 4,得左边 =3 41 9455 1 5 2 8<2 74=右边 ;故不等式①不成立。下面证明不等式②成立 ,并修正①式。运用Cauchy不等式 ,得[a(b +c2 ) +b(c +a2 ) +c(a +b2 ) ]( ab+c2 +bc+a2 +ca +b2 )≥ (a +b +c) 2 =1 ,所以 ab +c2 +bc+a2 +ca +b2 ≥1ab +bc +ca +a2 b +b2 c+c2 a。… 相似文献
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正人们知道,对于任意实数x,y,z,有如下不等式成立:(x+y+z)2≥2(xy+yz+zx).①若令x=ab,y=bc,z=ca,则如上不等式等价于:对于任意实数a,b,c,有不等式.(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c)②这是一个十分简单的不等式,利用不等式②,却能够给出一些不等式竞赛试题简捷、明快的证法,本文提供一些例子,供读者探究和玩味.例1(2005年台湾竞赛题)设a,b,c是满足abc=1的正 相似文献
18.
2010年全国高中数学联赛广东省预赛题解答题第3题为:设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca 相似文献
19.
文[1]建立了如下关于三角形中线长的一个有趣的不等式:若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,R、r为△ABC外接圆和内切圆半径,则有22222ma mb mc rbc+ca+ab≥+R.研究发现并获得如下加强形式及其对偶不等式.1加强定理1若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,则有22294ma mb mcbc+ca+ab≥.(1)为证定理1,先引入以下引理:引理1设a,b,c>0,则有(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)≤abc.(2)(1983年瑞士数学竞赛试题)引理2设a,b,c为三角形的三边长,则有(3a?b?c)(3b?c?a)(3c?a?b)≤(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)(3)与a3+b3+c3+9abc≤2(a2b+b2c+c2a)+2(ab2+bc2+ca2).(4)简… 相似文献
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