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1.
在解某些数学题时,若已知两个字母a与b的和等于常数2k,我们则可引入参数t,分别用k+t,k-t代换a和b,使解题获得成功,用这种线性代换法解题来得简捷明快,颇具新意。现举例加以说明。例1 求的实数解的组数。解令x=1+t,y=1-t(t是实数),代入得 (1+t)(1-t)-z~2=1, 展开得 z~2+t~2=0,故z=t=0 因此原方程组有唯一的一组解例2 若a>0,b>0,a~3+b~3=2,试证a+b≤2。证明不妨设a+b=2c,显然c>0,我们只需证2c≤2,为此,又设a=c+t,b=c-t(t是实数),把它们代入a~3+b~3=2得c~3+3ct~2=1,即3ct~2=1-c~3, 相似文献
2.
题目已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a 2+b 2+c 2=3,则c的取值范围是.解答∵a+b+c=1,∴a+b=1-c,又∵a 2+b 2+c 2=3,∴a 2+b 2=3-c 2.根据均值不等式a+b 2≤a 2+b 22得1-c 2≤3-c 22,且该均值不等式成立的条件:a、b∈R,等号成立条件:a=0,b≥0或a≥0,b=0或a=b>0.解不等式1-c 2≤3-c 22得:1-c≤0,3-c 2≥0,或1-c>0,3-c 2≥0,()2≤3-c 22,∴1≤c≤3或-1≤c<1,综上可得:-1≤c≤3. 相似文献
3.
20 0 4年“TRULY信利杯”初中数学竞赛有这样一道试题 :已知a <0 ,b≤ 0 ,c>0 ,且 b2 - 4ac =b- 2ac . ①求b2 - 4ac的最小值 .对文 [1 ]提供的标准答案 ,本刊文 [2 ]作了改进 ,但求解的后半部分走了一点弯路 :由b≤ 0推出ac≤- 1 ,再由ac≤- 1去求b2 - 4ac的最小值 ,不如把ac=b- 1代入①消去ac ,便可直接由b≤ 0去确定b2 - 4ac的最小值 .解法 1 对①两边平方 ,有b2 - 4ac=b2 - 4ac 4a2 c2 .两边减去b2 后 ,再除以 4ac≠ 0 ,可整理得ac=b - 1 . ②代入①后缩小 ,注意到b≤ 0 ,有b2 - 4ac =[b- 2 (b- 1 ) ]2=( 2 -b) 2 ≥ 2 2 =4 .③由③… 相似文献
4.
基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2. 相似文献
5.
黄伟亮 《中学数学教学参考》2006,(7)
设长方体三度为 x、y、z,x≤y≤z,体积 V=xyz,表面积 S=2(xy+yz+zx),棱长 L=4(x+y+z).文[1]得到 V=S=L型空间数不存在;V=S 型的有9个;得到 L=V 型的一个:48;S=L 型的一个:24.本文做进一步探索.探索1 V=L 型空间数.记 a=xy,b=zx,c=yz,则 V=L 化为(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/4(a≤b≤c).①(1)可得5≤a≤12,a=5时,21≤b≤40.由于 x=(abc)~(1/2)/c,y=(abc)~(1/2)/b,z=(abc)~(1/2)/c 知 abc 须为平方数.由1/b+1/c=1/20,得 abc=(100b~2)/(b-20),可见须 b-20为平方数,b 可取21,24,29,36,代入方 相似文献
6.
本刊2007年第4期解题擂台(86)提出如下分式型不等式命题:设a、b、c是正实数,且a b c=1,求证:1a 1b 1c≥1 2458abc(1)上述不等式(1)是成立的,笔者运用代换方法给出它的一个证明.证明因(1)式是对称的,故可设a≥b≥c,令a=12 k①得-61≤k≤21,b-c=t(t≥0),∵a b c=1,∴b=1-24k 2t② 相似文献
7.
洪恩锋 《河北理科教学研究》2015,(2):47-48
题目:已知函数f(x)=x2+ax+1/x2+a/x+b(x∈R,且x≠0)若实数a,b使得f(x)=0有实根,求a2+b2的最小值.
预备工作:令t=x+1/x,则t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),方程f(x)=0(=)t2+at+b-2=0(|t|≥2).
方法一:(消元法)
解析:a2+b2=a2+(2-t2-at)2=(1+ t2)a2+2(2-t2)t·a+ (2-t2)2=(1+t2)(a-t2-2/1+t2)2+(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2≥(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2,令1+t2=m(m≥5)则 t2=m-1 相似文献
8.
例1 已知x、y是实数,且满足 x2+xy+y2—2=0,求x2—xy+y2的取值范围. 解因为 x2+xy+y2=2①设x2—xy+y2=t ②①—②,得③①+③,得④由④知 t≤6,由变式,得解得 t≥2/3,所以例2 已知a、b、C满足a+b+c=0,abc=8, 相似文献
9.
李益强 《中学数学研究(江西师大)》2003,(1):20-20
题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284). 相似文献
10.
题目 已知a、b、c为正实数.证明:a2 b2 c2 abc=4a b c≤3.(第20届伊朗数学奥林匹克(第2轮))文[1]利用三角法给出了证明,本文给出一种代数证明.证明:若a、b、c都大于1,或者都小于1,显然不满足题设条件.因此,a、b、c中一定有两个或者都不大于1,或者都不小于1,不妨设为a、b.则(1-a)(1-b)≥0,即 ab≥a b-1.①由a2 b2≥2ab,有4=a2 b2 c2 abc≥2ab c2 abc,即 ab(2 c)≤4-c2.于是,ab≤2-c.②由①、②,有a b c≤3.一道赛题的简证@羊明亮$湖南师范大学附属中学广益高中!410081[1] 第20届伊朗数学奥林匹克(2002—2003)[J].中等数学2004增刊.70.… 相似文献
11.
题目 :已知f(x) =ax2 -c,且 -4 ≤f( 1)≤-1,-1≤f( 2 ) ≤ 5 ,求f( 3 )的取值范围 .解法 1 由 a-c =f( 1) ,4a -c=f( 2 ) ,可得a =13 [f( 2 ) -f( 1) ] ,-c =43 f( 1) -13 f( 2 ) .∴f( 3 ) =9a -c=83 f( 2 ) -53 f( 1) ,∵ -83 <83 f( 2 )≤ 403 , 53 ≤ -53 f( 1) ≤ 2 03 ,∴ -1≤ f( 3 )≤ 2 0 .解法 2 由 -4 ≤ f( 1)≤ -1,得-4≤a-c≤-1. ①由 -1≤ f( 2 )≤ 5 ,得-1≤ 4a -c≤ 5 . ②由① ,得 1≤ -a+c≤ 4,③由③ +② ,得 0 ≤a≤ 3 ,④③ +④ ,得 1≤c≤ 7,⑤即 -7≤ -c≤ -1.∵f( 3 ) =9a -c,∴ -7≤ f( 3 )≤ 2 6.剖析… 相似文献
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13.
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例 1 已知x >0 ,求函数 y =2x2 +3x的值域 .错解 ∵y=2x2 +3x=2x2 +1x +2x≥ 33 2x2 ·1x· 3x=3 3 6.故所求函数的值域为 [3 3 6,+∞ ) .剖析 由于方程 2x2 =1x =2x 无解 ,即等号不能成立 ,故求解错误 .正解 y=2x2 +3x=2x2 +32x+32x≥ 33 2x2 · 32x· 32x=323 3 6.故所求函数值域为 323 3 6,+∞ .例 2 已知 1≤a+b≤ 5 ,-1≤a-b≤ 3 ,求 3a -2b的取值范围 .错解 ∵ 1≤a+b≤ 5 ,①-1≤a-b≤ 3 ,②∴ 0 ≤ (a +b) +(a-b)≤ 8,∴ 0≤a≤ 4,③∴ 0 ≤ 3a≤ 12 ,又∵ 1≤a+b≤ 5 , -3≤-a +b≤ 1,∴ -2 ≤ (a +b) +( -a+b)≤ 6,∴ -… 相似文献
15.
在比例中,合比定理即若a/b=c/d,则(a b)/b=(c d)/d,(1)但当a b≠0且c d≠0时,(1)还可写成: a/(a b)=c/c d 把(1)、(2)推广到不等式中,可得定理若a/b≥c/d,则 (a b)/b≥c d/d,(*) 若a/b≥c/d>0,则 a/(a b)≥c/(c d).(**) 证:∵a/b≥c/d, ∴a/b 1≥c/d 1, ∴(a b)/b≥(c d)/d。∵a/b≥c/d>0 ∴0相似文献
16.
题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c), 相似文献
17.
命题:a,b,u,v>0,a b=1,s,t是实数,则不等式au~s bv~i≥u~(as)·v~(bt)成立。略证:u~s,v~t>0,由对称性不妨设,x=(?)≥1,在[1,x]上对函数f(x)=x~a应用中值定理得不等式x~a-1≤(x-1)a(当u~s=v~t时取等号),将x=u~s/v~t代入不等式,整理并注意1-a=b即得证。推论:a,b,u,v>0,a b=1,贝au bu≥u~av~b易见不等式(x y)/2≥xy~(1/2)是该推论的特款。 相似文献
18.
《湖南教育》2007,(3):45-46
79.已知a、b、c∈R ,且abc=8,求aabbcc的最小值.解:因为函数(f x)=lnx在(0, ∞)上是增函数,所以对于任意a,b∈R ,恒有(a-b)[f(a)-f(b)]≥0成立,即a ln a b ln b≥a ln b b ln a.①同理,b ln b c ln c≥b ln c c ln b.②c ln c a ln a≥c ln a a ln c.③由① ② ③得2ln(aabbcc)≥(b c)ln a (a c)ln b (a b)ln c.所以有3ln(aabbcc)≥(a b c)ln(abc),即aabbcc≥(abc)a b c3.又因为abc=8,所以a b c≥3#3abc=6,即aabbcc≥82=64.当且仅当a=b=c=2时取等号,所以aabbcc的最小值为64.80.设a,b>0,求证:当λ>2时,有!a aλb$ !b bλa$≤λ$!λ2-1.证明:… 相似文献
19.
闫改选 《数理化学习(初中版)》2005,(10)
求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目,它的解法灵活多样,不可一概而论,下面就初中阶段较常见的解法举例说明,以便同学们复习参考.一、配方法例1设a、b为实数,那么a2+ab+b2-a-2b的最小值是___.解:a2+ab+b2-a-26=a2+(b-1)a+b2-2b=(a+b-1/2)2+3/4(b-1)2-1因为(a+b-1/2)2≥0,3/4(b-1)2≥0, 相似文献
20.
《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明:
ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4.
证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
＜0＜abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3＜2/9.
于是,9q＜2√q.
故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca＜√abc+1/4. 相似文献