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一、引言关于下列Heilbron型问题: 平面上任给n个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比记为λ_n,求infλ_n。已经知道的结果有infλ_3=1,infλ_4=2~(1/2),infλ_5=2sin54°,infλ_6=2sin72°,对于n≥7杜锡录猜测有λ_n≥2sin (n-2)/2nπ,吴报强证明λ_n≥2sinπ/n,即上述猜测成立。吴同时证明:n≥6时,infλ_n>2cosπ/n,即2cosπ/n只是λ_n的下界,并非最佳下界。关于infλ_n他作了猜测: 1.infλ_6=2cosπ/10,([1]已证明) 相似文献
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第二十五届普特南数学竞赛一道试题: 求证:若P_1、P_2、P_3、P_4、P_5、P_6是平面上任意给定的六个点,则λ_6=(MaxP_iP_j)/(MinP_iP_j)≥3~(1/2).(见〔1〕) 在〔2〕中我们证明了,若P_1、P_2、P_3、P_4、P_5、P_6是凸六边形的顶点,则有λ_6≥ 相似文献
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《中学数学教学》2 0 0 3年第 1期有奖解题擂台( 5 9)中 ,吴伟朝老师提出了如下一个三角不等式 :求证 :sin2 0 0 3° >12 ·cos2 0 0 2°。 (不要使用计算器等工具 )本文给出不等式的两个证明。证法一 ∵sin2 0 0 3°=-sin2 3° ,cos2 0 0 2°=-cos2 2° ,欲证不等式即为 sin2 3°<12 cos2 2°①注意到cos2 2°>cos2 3° ,于是若有sin2 3° <12 cos2 3° ,即tan2 3°<12 ②便知①式成立。现证②式成立。先给出命题 :若A >0°,B >0° ,且A +B <1 80°时 ,则tan A +B2 ≤ 12 (tanA +tanB)③等号当且仅当A =B时成立。tanA +tanB =sin(A… 相似文献
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张广学 《中学数学教学参考》2006,(7)
定理1 设α_1,α_2,…,α_n∈[2kπ,(2k+1)π],其中 k 取自然数,α_1+α_2+…+α_n=θ(θ为定值),则 sin α_1+sin α_2+…+sin α_n≤nsin θ/n,当且仅当α_1=α_2=……α_n=θ/n 时等号成立(其中 n≥2).证明:采用数学归纳法.①当 n=2时,sin α_1+sin α_2=2sin((α_1+α_2)/2)cos((α_1-α_2)/2)=2sin(θ/2)cos((α_1-α_2)/2)≤2sin(θ/2).②假设 n=m 时命题成立(这里的 m 是大于2的自然数), 相似文献
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反证法不仅可以用来证明几何命题,还可以用来证明三角命题。有些三角命题用直接证法无从下手,但用反证法证就显得简捷明快、得心应手;同时在三角教学中适当采用反证法将加深学生对其实质的理解,提高解题的能力。 一、证明无理数问题 例1.求证:sin20°是无理数 证明:三倍角公式 sin60°=sin(3×20°)=3sin20°-4sin~320° ∴3sin20°-4sin~320° 假设sin20°是有理数,则①式 左边=有理数,右边=无理数,这是不可能的, 相似文献
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一、填空题（每小题3分,共30分）1.在△ABC中,∠A=30°,且∠A ∠C=2∠B,则sin C=_.2.计算:2sin30°-2cos60° tan45°=_.3.已知半径为6cm的圆中,垂直平分半径的弦长为_cm.4.圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:4: 相似文献
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一、选择题(满分30分,每小题5分) 1.化简(1-2sin20°cos20°)~(1/2)/(cos20°-(1-cos~2160°)~(1/2))得( )。 (A)(1-sin40°)~(1/2) (B)1/(cos20°-sin20°) (C)1 (D)-1 2.设P_1P_2是抛物线x~2=y的一条弦,如果P_1_2的垂直平分线的方程是y=-x 3,则弦P_1P_2所在的直线方程是( )。 相似文献
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一、选择题1.已知α∈(2π,π),sinα=53,则tan(α+π4)的值等于().A.71B.7C.-71D.-72.如图1所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量CD=().A.-BC+21BAB.-BC-21BAC.BC-21BAD.BC+21BA3.设函数f(x)=sin3x+|sin3x|,x∈R.则f(x)为().A.最小正周期为23π的周期函数B.最小正周期为3π的周期函数C.最小正周期为2π的周期函数D.非周期函数4.已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,BC=λCE,则λ等于().A.2B.21C.-3D.-315.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为().A.30°B.60°C.120°D.150°6.将… 相似文献
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方长林 《中学数学研究(江西师大)》2013,(9):46-47
原题1在△ABC中,对λ≥1,求证:tan(A/λ)+2tan(B/2λ)+3tan(C/3λ)≥6tan(π/6λ),当且仅当A=π/6,B=π/3时等号成立.原证明如下:当α>0,β>0且α+β<π时,有:tanα+tanβ=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ)=(sin(α+β))/(cosαcosβ) 相似文献
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1.平面上n个点组成的点集F={p_i}_(i-1)~n,D(F)=Maxp_ip_j表示F的直径,r(F)表示复盖F的最小圆的半径,本文讨论 N_2=inf F D(F)/r(F);(其中下确界对任何有限点集F取) 我们证明N_Z=3~(1/2),并给出一些高维空间的类似推广。 2.N_2=3~(1/2)的证明设复盖F的最小圆为C。 A.若圆C的圆周上只有F中两个点,不妨设为P_1、P_2,我们证明P_1P_2是圆C的直径。若否,不妨设F中其余n-2个点对P_1P_2的张角满足∠P_1P_3P_2≤∠P_1P_4P_2≤…≤∠P_1P_nP_2(不然改变P_i的下标即可)。如果∠P_1P_3P_2>90°,则以P_1P_2为直径的圆C′也复盖F,但比C有更小的半径,与圆C的最小性矛盾。如果∠P_1P_3P_2≤90”,作△P_1P_2P_3的外接圆C′,C′小于C,我们证明C′也同样复盖F。 相似文献
11.
于志洪 《苏州教育学院学报》1986,(1)
本文主要研究用极坐标系中两点P_1(P_1,θ_1)、P_2(P_2,θ_2)间的距离公式:P_1P_2│=(p_1~2+p_2~2-2p_1p_2cos(θ_1-θ_2))~(1/2)和过这两点的直线P_lP_2的斜率公式:Kp_1p_2=(p_2sinθ_2-p_1sinθ_1)/(p_2cosθ_2-p_1cosθ_1),及过这两点的直线方程:sin(θ_2-θ_1)/p=sin(θ_2-θ)/p_1+sin(θ-θ_1)/p_2 (p_1≠0、p_2≠0)来对部分几何题进行证明. 相似文献
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文[1]中介绍了两个三角命题:命题1若sin3θ-cos3θ=-1,则sinnθ-cosnθ=-1(n为正奇数).命题2若sin3θ cos3θ=1,则sinnθ cosnθ=1(n为正整数).笔者阅后深受启发,继续探讨发现一、命题1是命题2的特例(在命题2中用-θ换θ同时令n为奇数就得到命题1).二、命题2可以推广为:命题3若sinmθ cosmθ=1(m为正奇数),则sinnθ cosnθ=1(n为正整数).证明当m=1时,sinθ cosθ=1,∴sinθcosθ=0,∴sinθ=0cosθ=1或csionsθθ==10.∴sinnθ cosnθ=1.当m≠1时,∵sinmθ≤sin2θ,cosmθ≤cos2θ,∴sinmθ cosmθ≤sin2θ cos2θ=1.当且仅当sinmθ=sin2θco… 相似文献
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研究了距离图G(D)的L(2,1)-标号色数λ(D).证明了距离图满足λ(G)≤Δ2.对于任意给定的正整数k,证明了λ({1,2,..., k})＝2k 2和λ({1,3...,2k-1})＝2k 2.假设k,a∈N且k,a≥2.如果k≥a,则λ({a,a 1,...,a k-1})＝2(a k-1).否则,λ({a,a 1,...,a k-1})≤min{2(a k-1),6k-2}.若D由2个正整数构成,则6≤λ(D)≤8.对于特殊的距离集D＝{k,k 1}( k∈N),λ(D)的上界改进到了7. 相似文献
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对于某些不等式问题,直接求解,困难重重.如果巧妙地引进参数,发挥其桥梁作用,则可峰回路转.本文通过深入挖掘现行高中数学教材所蕴藏的丰富内涵,反复考虑学生的接受能力,特给出三类不等式的有关命题及其应用,希望能给读者一些启迪。定理1a,b∈R+,则有ba2≥22λλa?b(λ为参数,且λ>0),当且仅当aλ=b时等号成立.*证明因为22(λa)+(λb)≥2λa?λb,当且仅当λ=ab时等号成立.两边同除以2λb可得ba2≥22λλa?b.定理证毕.例1设1a,2a,…,na是各不相同的正整数,证明:22322123naaaan+++L≥1+21+31+L+n1.证明在定理1中,令λ=1,则ba2≥2a?b.从而122… 相似文献
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例 （2012年北约）求证：若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.
分析 原题可转化为：已知：五边形ABCDE内接于（O）O,且∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.
求证：ABCDE是正五边形. 相似文献
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设△ABC中顶点A、B、C所对的三边是a、b、c,同一平面上另有两点P_1、P_2,令 AP=a_1,BP_1=b_1,CP_=C_1,AP_2=a_2,BP_2=b_2,CP_2=C_2,求证: aa_1a_2+bb_1b_2+cc_1c_2≥abc。中国科技大学杨路老师在1979年第一期的《中学数学教学》里对这一题给予了复数证法,现用三角形面积来证明它。证明:以BC为转轴,将△BP_1C翻转180°得对称△BDC,同法得△BFA、△AEC。连P_2D、P_2E、P_2F,则由三角形面积公式 S=1/2ab sin C可得: S_(△A2)=1/2AF·AP_2sin∠FAP_2 相似文献
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于先金 《河北理科教学研究》2005,(3)
定理若01-22.而tan22°=tan1910π>1910π>11×930·14>0·38>1-22,所以原不等式成立.2恒等变形,联合运用… 相似文献
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一个新发现的三角不等式 总被引：2，自引：2，他引：0
苏张延卫、陕西苟春鹏两位老师分别证明 3以下三角不等式 :在△ ABC中 ,有sin A 2 sin B2 3sin C3≤ 3,(1)cos A 2 cos B2 3cos C3≤ 3 3 . (2 )受文 [1]的启发 ,本文作者证得一个类似的新结果 :cot A 2 cot B2 3cot C3≥ 6 3. (3)其实 ,我们有下述定理 在△ABC中 ,对 k≥ 1有cot Ak 2 cot B2 k 3cot C3k≥ 6 cotπ6 k,(4 )等号成立当且仅当 A=π6 ,B=π3.证明 若 x>0 ,y>,且 x y<π,则cotx coty=sin(x y)sinxsiny=2 sin(x y)cos(x- y) - cos(x y)≥ 2 sin(x y)1- cos(x y) =2 cotx y2 .∴cot AR 2 cot B2 … 相似文献
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殷京平 《中学课程辅导(初三版)》2003,(1):13-16,46
一、本章导析本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法 .三角函数值之间的关系及对应用题题意的理解是难点 ,解应用问题时把握好辅助线的运用是解题的关键 .二、例题解析例 1 计算sin6 0°+3tan30°· cos6 0°( tan37°· tan53°- 2 cot4 5°)· cot30°- sin18°· sin90°( sin2 12°+sin2 78°)· cos72°.解 :原式 =32 +3× 33× 12( 1- 2× 1) 3- sin18°× 11× sin18°=- 2 .说明 :题中出现特殊角时应尽快将其三角函数值代入 ,对于一般角度则应寻找相应的公式 ,必要时可利用角度的互余关系转化之 .例 2 如图 1- 6 - 1,A… 相似文献
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基础篇课时一 三角函数的概念诊断练习一、填空题1.已知 - 990°<α <- 6 30°,且α与 12 0°角的终边相同 ,则α = .2 .若α是第四象限角 ,则π -α是第角限角 .3.扇形中心角为 6 0°,半径为 a,则扇形内切圆面积与扇形面积之比为 .4 .若角α终边在直线 y =2 x上 ,则 sinα=,cosα = ,tanα =.二、选择题5.下列诸命题中 ,假命题是 ( )( A)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 .( B)一度的角是周角的 136 0 ,一弧度的角是周角的12π.( C)根据弧度的定义 ,180°一定等于π弧度 .( D)不论是用角度制还是用弧度制度量角 ,它们… 相似文献