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1.
有许多竞赛题,如果用一元二次方程来解,往往会收到奇妙的效果.现举例说明.
例l 已知x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,且S1=x1 +x2,S2 =x12+x22,S3=x13 +x23,求aS3+bS2+cS1的值,(广东奥林匹克寒假集训试题)
解;因为x1,x2是方程ax2 +bx +c =0(a≠0)的两个根
所以:ax12+bx1+c=0 ax22+bx2+c=0
则:ax13 +bx12 +cx1 =0 ax23+bx22 +cx2 =0
所以:两式相加得:a(x13 +x23)+b(x12 +x22)+c(x1+x2)=0
即:aS3 +bS2 +cS1 =0. 相似文献
2.
唐伟锋 《数理化学习(初中版)》2003,(5):15-16
一般而言,对于二次方程ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0(a,b,c为常数,且a≠0),其中的x1,x2可看作方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根的前提是x1≠x2,这是因为当x1=x2时,x1与x2并不能完全保证是方程ax2+bx+c=0的两根,此时存在两种可能: 相似文献
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江思容 《数理化学习(初中版)》2002,(2)
人教版初中《代数》第三册给出了一个重要的代数恒等式:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次方程ax2+bx+c=0的两个根,也是二次函数y=ax2+bx+c与x轴两个交点的横坐标.巧妙地运用这一恒等式解题可使解题思路明显,过程简捷.下面以若干竞赛题为例说明这一恒等式的应用. 相似文献
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二次函数y=ax2+bx+c的图象是关于直线x=-b/2a成轴对称的图形,利用抛物线的对称性解题也是中考的热点之一,现分类例析如下,供教学参考.一、求顶点坐标例1(2013徐州中考题)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表: 相似文献
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程景德 《数理化学习(初中版)》2003,(4):7-8
在2002年包头市中考试题中有这样一个问题: 已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,c≠0)的两个实数根,且x1/x2=m/n(m≠0,n≠0). 相似文献
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二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0有着密切的联系.对于二次函数或一元二次方程问题,我们依据题目的特征,灵活处理,则能使某些问题得到简捷、巧妙的解决.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的根、判别式△=b2-4ac的符号关系如下表:
一、求方程的根
例1(2014年柳州卷)小兰画了y=x2+ax+b的图像如图1所示,则关于x的方程x2+ax+b =0的解是(). 相似文献
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李殿起 《中学课程辅导(初三版)》2003,(8):9-9
构造一元二次方程是一种重要的解题技巧,它可以使一些看似与方程无关的问题,用方程的知识得以简捷地解决.那么,应根据什么来构造一元二次方程呢? 一、利用一元二次方程根的意义我们知道,若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则有ax12+bx1+c=0、ax22+bx2+c= 相似文献
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正一元二次方程以及二次函数是九年级的重要内容,它们之间联系紧密。我现对它们的关系加以总结、归纳,来帮助学生学习和复习。二次函数通用解析式为:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0),单从形成上看就很像。当二次函数的值为零时,也就是说求解二次函数与x轴交点问题时,可转化为一元二次方程来解决。一、一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴的交点1.△0时,方程有两个不相等的实数根x1、x2,二次函数与x轴有两个不同的交点,其 相似文献
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正二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与其系数的关系是中考命题的重点.这类题能考查我们的逻辑推理能力和数与形的转化能力.现以2014年的中考题为例,说明这类题的解法.典型试题例1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图1所示,则下列结论中正确的是().A.c-1 B.b0C.2a+b≠0 D.9a+c3b解:图像与y轴的交点在点(0,-1)的下方,∴c-1,选项A错误; 相似文献
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关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R且a≠0)的根即为其对应的函数y=ax2+bx+c的零点,亦即该函数的图象与x轴的交点的横坐标.一元二次方程的根的分布问题主要有两类:已知方程中参数 相似文献
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一元二次型问题包括一元二次式(ax2+bx+c)、一元二次方程(ax2+bx+c=0)、二次函数(y=ax2+bx+c)、一元二次不等式(ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0)这四类,这四类问题都有一个共同点:都含有一个相同的代数式:ax2+bx+c,但反映的又是不同类型的问题,对这类形似而非的问题总是能引起学生广泛的兴趣,并激发好奇心——它们之间究竟有什么联系?本文将通过多个例证与广大师生及数学爱好者来探讨这个问题,并努力揭示这种内在的深层次的联系,以供大家参考. 相似文献
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刘其明 《中学生数理化(高中版)》2013,(8):27
本文中的三个"二次"是指:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),一元二次不等式ax2+bx+c>0或<0(a≠0).在初中数学学习中,二次函数、一元二次方程是中考的必考内容,尤其二次函数综合性较强,使得学生难以理解和掌握,一元二次不等式虽不是初中阶段 相似文献
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一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,… 相似文献
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许国泰 《数理天地(初中版)》2004,(7)
大家知道,如果x1,x2(x1≠x2)是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根,则有ax12 bx1 C=0,ax22 bx2 c=0. 反之,若ax12 bx1十c=0,ax22 bx2 c=0,x1≠x2,则x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根. 相似文献
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<正>在初中数学教学中,数形结合思想在二次函数中有着广泛的运用.学生通过解决"一元二次方程ax2+bx+c=0的实根与二次函数y=ax2+bx+c的图像同x轴交点的关系"、"二次函数y=ax2+bx+c的图像分布情况与一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≠0等)解集的关系"、"二次函数中,其自变量在规定的取值范围内函数的最值问题"等诸如此类的问题,逐渐学会用数形结合思想来解决数学问题,毋 相似文献
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函数y=｜ax2 +bx+c｜ (a≠ 0 )是一个常见函数 ,以它为载体考察函数的各种性质的试题和以它为背景考察方程与不等式的试题屡见不鲜 .解决这类题目一般都需要进行数形结合 ,以形助数 ,直观处理 .因此 ,掌握该函数的图象与性质就成为解题的关键 .本文拟介绍函数 y =｜ax2 +bx +c｜ (当a >0时 )的图象性质及其应用 .一、函数 y =｜ax2 +bx +c｜ (a >0 )的图象与性质(1)当Δ=b2 -4ac≤ 0时 ,恒有ax2 +bx+c≥ 0 ,则函数 y =｜ax2 +bx+c｜=ax2 +bx +c的图象为抛物线 ,其性质众所周知 . (2 )当Δ =b2 -4ac>0时 ,函数y =｜ax2 +bx +c｜ 图象为“… 相似文献
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<正>已知一元二次方程解的情况,我们可以利用根的判别式求方程中参数的取值范围.而在学习了二次函数的图象和性质后,我们更习惯采用数形结合的方法来解决问题.下面通过一例说明和比较这两种方法的运用.例题二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),(a,b,c为常数)的图象如图1所示.(1)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个相等的实数根,求k的值;(3)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)没有实数根,求k的取值范围. 相似文献